2018版高考一轮总复习数学（文）模拟演练 第2章 函数、导数及其应用 2-10 word版含答案

(时间：40分钟)

1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)等于(　　)

A．－e  B．－1  C．1  D．e

答案　B

解析　∵f′(x)＝2f′(1)＋，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，

∴f′(1)＝－1.故选B.

2．曲线f(x)＝在点(1，f(1))处切线的倾斜角为，则实数a＝(　　)

A．1  B．－1  C．7  D．－7

答案　C

解析　f′(x)＝＝，

又∵f′(1)＝tan＝－1，∴a＝7.

3．已知直线y＝kx是曲线y＝ln x的切线，则k的值是(　　)

A．e  B．－e  C.  D．－

答案　C

解析　依题意，设直线y＝kx与曲线y＝ln x切于点(x0，kx0)，则有由此得ln x0＝1，x0＝e，

k＝，选C.

4．曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为(　　)

A．y＝3x－1  B．y＝－3x－1

C．y＝3x＋1  D．y＝－2x－1

答案　A

解析　依题意得y′＝(x＋1)ex＋2，则曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线的斜率为(0＋1)e0＋2＝3，故曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为y＋1＝3x，即y＝3x－1，故选A.

5．若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小值为(　　)

A．1  B.  C.  D.

答案　B

解析　因为定义域为(0，＋∞)，所以y′＝2x－＝1，解得x＝1，则在P(1,1)处的切线方程为x－y＝0，所以两平行线间的距离为d＝＝.

6．直线x－2y＋m＝0与曲线y＝相切，则切点的坐标为________．

答案　(1,1)

解析　

7．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．

答案　－3

解析　由曲线y＝ax2＋过点P(2，－5)，

得4a＋＝－5.①

又y′＝2ax－，所以当x＝2时，4a－＝－，②

由①②得所以a＋b＝－3.

8．函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，且f(x)在R上的导函数f′(x)＞，则不等式f(x)＜的解集为__________．

答案　(－∞，1)

解析　据已知f′(x)＞，可得′＝f′(x)－＞0，即函数F(x)＝f(x)－x在R上为单调递增函数，又由f(1)＝1可得F(1)＝，故f(x)＜＝＋x，化简得f(x)－x＜，即F(x)＜F(1)，由函数的单调性可得不等式的解集为(－∞，1)．

9．已知曲线y＝x3＋.

(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；

(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．

解　(1)根据已知得点P(2,4)是切点且y′＝x2，所以在点P(2,4)处的切线的斜率为y′＝4.

所以曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.

(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率为y′|x＝x0＝x.

所以切线方程为y－＝x(x－x0)，

即y＝x·x－x＋.

因为点P(2,4)在切线上，所以4＝2x－x＋，

即x－3x＋4＝0，所以x＋x－4x＋4＝0，

所以x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，

所以(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，

故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.

10．已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．

(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；

(2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求l的直线方程．

解　(1)f′(x)＝1－，因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝1－＝0，解得a＝e.

(2)当a＝1时，f(x)＝x－1＋，f′(x)＝1－.

设切点为(x0，y0)，

①＋②得x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0.

若k＝1，则②式无解，∴x0＝－1，k＝1－e.

∴l的直线方程为y＝(1－e)x－1.

(时间：20分钟)

11．若曲线f(x)＝acosx与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝(　　)

A．－1  B．0  C．1  D．2

答案　C

解析　依题意得，f′(x)＝－asinx，g′(x)＝2x＋b，于是有f′(0)＝g′(0)，即－asin0＝2×0＋b，则b＝0，又m＝f(0)＝g(0)，即m＝a＝1，因此a＋b＝1，选C.

12．若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是(　　)

A．y＝sinx  B．y＝ln x  C．y＝ex  D．y＝x3

答案　A

解析　设两切点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．选项A中，y′＝cosx，cosx1cosx2＝－1，当x1＝0，x2＝π时满足，故选项A中的函数具有T性质；选项B、C、D中函数的导数均为正值或非负值，故两点处的导数之积不可能为－1，故选A.

13．若曲线f(x)＝ax3＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．

答案　(－∞，0)

解析　由题意，可知f′(x)＝3ax2＋，又存在垂直于y轴的切线，所以3ax2＋＝0，即a＝－(x>0)，故a∈(－∞，0)．

14．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.

(1)求f(x)的解析式；

(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

解　(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.

当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，

于是解得故f(x)＝x－.

(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上的任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为

y－y0＝(x－x0)，

即y－＝(x－x0)．

令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.

切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．

所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为＝6.

故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.