2018版高考一轮总复习数学（文）模拟演练 第6章 不等式、推理与证明 6-3 word版含答案

(时间：40分钟)

1．若x，y满足则2x＋y的最大值为(　　)

A．0   B．3

C．4   D．5

答案　C

解析　画出可行域，如图中阴影部分所示，令z＝2x＋y，则y＝－2x＋z，当直线y＝－2x＋z过点A(1,2)时，z最大，zmax＝4.故选C.

2．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，则m的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　C

解析　图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含y＝x－1上的点，只需要可行域的边界点(－m，m)在y＝x－1下方，也就是m<－m－1，即m<－.故选C.

3．已知z＝2x＋y，x，y满足且z的最大值是最小值的4倍，则m的值是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　画出线性约束条件

的可行域，如图阴影部分所示．由可行域知：目标函数z＝2x＋y过点(m，m)时有最小值，zmin＝3m；过点(1,1)时有最大值，zmax＝3，因为z的最大值是最小值的4倍，所以3＝12m，即m＝.

4．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：

为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为(　　)

A．50,0  B．30,20  C．20,30  D．0,50

答案　B

解析　设种植黄瓜x亩，种植韭菜y亩，因此，原问题转化为在条件

下，

求z＝0.55×4x＋0.3×6y－1.2x－0.9y＝x＋0.9y的最大值．画出可行域如图．利用线性规划知识可知，当x，y取的交点(30,20)时，z取得最大值．故选B.

5．变量x，y满足约束条件若使z＝ax＋y取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a的取值集合是(　　)

A．{－3,0}  B．{3，－1}  C．{0,1}  D．{－3,0,1}

答案　B

解析　作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．易知直线z＝ax＋y与x－y＝2或3x＋y＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a＝1或－a＝－3，

∴a＝－1或a＝3.

6．不等式组表示的平面区域的面积为________．

答案　4

解析　作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S△ABC＝×2×(2＋2)＝4.

7．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋2y的最小值为________．

答案　3

解析　画出不等式组所确定的可行域(如图阴影部分)．

由z＝x＋2y，得y＝－x＋z，作直线l：y＝－x，平移l，由图形可知当l经过可行域中的点A(1，1)时，z取最小值，所以zmin＝1＋2×1＝3.

8．设变量x，y满足则2x＋3y的最大值为________．

答案　55

解析　不等式组表示的区域如图所示，令z＝2x＋3y，目标函数变为y＝－x＋，因此截距越大，z的取值越大，故当直线z＝2x＋3y经过点A时，z最大，由于⇒故点A的坐标为(5,15)，代入z＝2x＋3y，得到zmax＝55，即2x＋3y的最大值为55.

9．当x，y满足约束条件

(k为负常数)时，能使z＝x＋3y的最大值为12，试求k的值．

解　在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图所示)．

当直线y＝－x＋z经过区域中的点A时，截距最大．

由

得x＝y＝－.

∴点A的坐标为，

则z的最大值为－＋3＝－k，

令－＝12，得k＝－9.

∴所求实数k的值为－9.

10．变量x，y满足

(1)设z＝，求z的最小值；

(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围；

(3)设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范围．

解　由约束条件

作出(x，y)的可行域如图所示．

由

解得A.

由解得C(1,1)．

由解得B(5,2)．

(1)因为z＝＝，所以z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率．

观察图形可知zmin＝kOB＝.

(2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝|OC|＝，dmax＝|OB|＝，所以2≤z≤29.

(3)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，dmin＝1－(－3)＝4，dmax＝＝8.所以16≤z≤64.

(时间：20分钟)

11．设x，y满足约束条件则下列不等式恒成立的是(　　)

A．x≥3   B．y≥4

C．x＋2y－8≥0   D．2x－y＋1≥0

答案　C

解析　不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由图象可知x≥2，y≥3，A、B错误；点(3,8)在可行域内，但不满足2x－y＋1≥0，D错误；设z＝x＋2y，y＝－x＋z，由图象可知当其经过点(2,3)时，z取得最小值8.

12．设不等式组所表示的平面区域为M，若函数y＝k(x＋1)＋1的图象经过区域M，则实数k的取值范围是(　　)

A．  B．  C．  D.

答案　D

解析　画出不等式组

，所表示的平面区域M，如图中阴影部分所示，函数y＝k(x＋1)＋1的图象表示一条经过定点P(－1,1)的直线，当直线经过区域M内的点A(0,2)时斜率最大，为1，当直线经过区域M内的点B(1,0)时斜率最小，为－，故实数k的取值范围是，选D.

13．若变量x，y满足则2x＋y的取值范围为________．

答案　

解析　作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线2x＋y＝0，经过点(1,0)时，2x＋y取得最大值2×1＋0＝2，经过点(－1,0)时，2x＋y取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x＋y的取值范围为．

14．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：

现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．

(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．

解　(1)由已知，x，y满足的数学关系式为

该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：

(2)设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.

考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－x＋，这是斜率为－，随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大．又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．

解方程组得点M的坐标为(20,24)．

所以zmax＝2×20＋3×24＝112.

答：生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．