2018版高考一轮总复习数学（文）模拟演练 第6章 不等式、推理与证明 6-4 word版含答案

(时间：40分钟)

1．已知x，y∈R＋，则“xy＝1”是“x＋y≥2”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　若xy＝1，由基本不等式，知x＋y≥2＝2；反之，取x＝3，y＝1，则满足x＋y≥2，但xy＝3≠1，所以“xy＝1”是“x＋y≥2”的充分不必要条件．故选A.

2．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)

A.  B．2  C．2  D．4

答案　C

解析　由≥2，得ab≥2，当且仅当＝时取“＝”，选C.

3．已知a>0，b>0,2a＋b＝1，则＋的最小值是(　　)

A．4  B.  C．8  D．9

答案　D

解析　∵2a＋b＝1，又a>0，b>0，

∴＋＝·(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当即a＝b＝时等号成立．故选D.

4．函数y＝(x>1)的最小值是(　　)

A．2＋2   B．2－2

C．2   D．2

答案　A

解析　∵x>1，∴x－1>0.

∴y＝＝＝

＝＝

x－1＋＋2≥2＋2＝2＋2.

当且仅当x－1＝，即x＝1＋时取等号．

5．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　对于x2＋3xy－1＝0可得y＝，∴x＋y＝＋≥2＝(当且仅当x＝时等号成立)．

6．已知实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则x＋y的最大值为________．

答案　2

解析　因为x2＋y2－xy＝1，

所以x2＋y2＝1＋xy.

所以(x＋y)2＝1＋3xy≤1＋3×2，

即(x＋y)2≤4，解得－2≤x＋y≤2.

当且仅当x＝y＝1时等号成立，

所以x＋y的最大值为2.

7．函数y＝2x＋(x>1)的最小值为________．

答案　2＋2

解析　因为y＝2x＋(x>1)，

所以y＝2x＋＝2(x－1)＋＋2≥2＋2＝2＋2.

当且仅当x＝1＋时取等号，

故函数y＝2x＋(x>1)的最小值为2＋2.

8．函数f(x)＝－1<x<的最大值为________．

答案　

解析　f(x)＝＝，

因为－1<x<，所以2x＋2>0,1－2x>0，且(2x＋2)＋(1－2x)＝3.

由基本不等式可得(2x＋2)＋(1－2x)≥2当且仅当2x＋2＝1－2x，即x＝－时等号成立，即≤.

所以f(x)＝ ≤×＝.

9．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：

(1)xy的最小值；

(2)x＋y的最小值．

解　(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，

又x>0，y>0，则1＝＋≥2＝，

得xy≥64，当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．

所以xy的最小值为64.

(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，

则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋

≥10＋2＝18.

当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，

∴x＋y的最小值为18.

10．若a>0，b>0，且＋＝.

(1)求a3＋b3的最小值；

(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．

解　(1)因为a>0，b>0，且＋＝，

所以＝＋≥2，所以ab≥2，

当且仅当a＝b＝时取等号．

因为a3＋b3≥2≥2＝4，

当且仅当a＝b＝时取等号，

所以a3＋b3的最小值为4.

(2)由(1)可知，2a＋3b≥2

＝2≥4>6，

故不存在a，b，使得2a＋3b＝6成立．

(时间：20分钟)

11．设实数m，n满足m>0，n<0，且＋＝1，则4m＋n(　　)

A．有最小值9  B．有最大值9

C．有最大值1  D．有最小值1

答案　C

解析　因为＋＝1，所以4m＋n＝(4m＋n)＋＝5＋＋，又m>0，n<0，所以－－≥4，当且仅当n＝－2m时取等号，故5＋＋≤5－4＝1，当且仅当m＝，n＝－1时取等号，故选C.

12．设a>0，b>1，若a＋b＝2，则＋的最小值为(　　)

A．3＋2  　　B．6  　C．4  　D．2

答案　A

解析　由题可知a＋b＝2，a＋b－1＝1，∴＋＝(a＋b－1)＝2＋＋＋1≥3＋2，当且仅当＝，即a＝2－，b＝时等号成立，故选A.

13．已知a>b>0，则a2＋的最小值是________．

答案　16

解析　因为a>b>0，所以b(a－b)≤2＝，当且仅当a＝2b时等号成立．

所以a2＋≥a2＋＝a2＋≥2＝16，

当且仅当a＝2时等号成立．

所以当a＝2，b＝时，a2＋取得最小值16.

14．已知lg (3x)＋lg y＝lg (x＋y＋1)．

(1)求xy的最小值；

(2)求x＋y的最小值．

解　由lg (3x)＋lg y＝lg (x＋y＋1)，

得

(1)∵x>0，y>0，∴3xy＝x＋y＋1≥2＋1，

∴3xy－2－1≥0，

即3()2－2－1≥0，

∴(3＋1)(－1)≥0，

∴≥1，∴xy≥1，

当且仅当x＝y＝1时，等号成立．

∴xy的最小值为1.

(2)∵x>0，y>0，

∴x＋y＋1＝3xy≤3·2，

∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，

∴≥0，

∴x＋y≥2，当且仅当x＝y＝1时取等号，

∴x＋y的最小值为2.