2018版高考一轮总复习数学（文）模拟演练 第5章 数列 5-3 word版含答案

(时间：40分钟)

1．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝(　　)

A．4×n   B．4×n－1

C．4×n   D．4×n－1

答案　B

解析　由题意得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5，故a1＝4，a2＝6，所以an＝4×n－1＝4×n－1.

2．在等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值为(　　)

A．1  B．－  C．1或－  D．－1或

答案　C

解析　根据已知条件得

∴＝3，即2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－.

3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则S9的值是(　　)

A．255  B．256  C．511  D．512

答案　C

解析　解法一：依题意，设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，∵S3＝7，S6＝63，∴解得∴S9＝511，选C.

解法二：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，∴S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，∵S3＝7，S6＝63，∴S9－S6＝448，∴S9＝448＋S6＝448＋63＝511，选C.

4．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝(　　)

A．7   B．5

C．－5  D．－7

答案　D

解析　设数列{an}的公比为q，由得或所以或所以或所以a1＋a10＝－7.

5．已知{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a3a5＝a1，且a4与a7的等差中项为，则S5等于(　　)

A．35  B．33  C．31  D．29

答案　C

解析　设等比数列{an}的公比是q，所以a3a5＝aq6＝a1，得a1q6＝，即a7＝.又a4＋a7＝2×，解得a4＝2，所以q3＝＝，所以q＝，a1＝16，故S5＝＝＝31，故选C.

6．设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________.

答案　

解析　由题意得

两式作差，得a1q2＋a1q3＝3a1q(q2－1)，即2q2－q－3＝0，解得q＝或q＝－1(舍去)．

7．等比数列{an}满足：对任意n∈N*,2(an＋2－an)＝3an＋1，an＋1>an，则公比q＝________.

答案　2

解析　由题知2(anq2－an)＝3anq，即2q2－3q－2＝0，解得q＝2或q＝－，又an＋1>an，故q＝2.

8．已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________.

答案　64

解析　由a1、a2、a5成等比数列，得(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)，即(1＋d)2＝1＋4d，解得d＝2(d＝0舍去)，S8＝×8＝64.

9．已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求{bn}的前n项和．

解　(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2.所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1.

(2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝，

因此数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列．

记{bn}的前n项和为Sn，

则Sn＝＝－.

10．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，a＝Sn＋1＋Sn.

(1)求{an}的通项公式；

(2)设bn＝a2n－1·2an，求数列{bn}的前n项和Tn.

解　(1)因为a＝Sn＋1＋Sn，①

所以当n≥2时，a＝Sn＋Sn－1，②

①－②得a－a＝an＋1＋an，

即(an＋1＋an)(an＋1－an)＝an＋1＋an，

因为an>0，所以an＋1－an＝1，

所以数列{an}从第二项起，是公差为1的等差数列．

由①知a＝S2＋S1，因为a1＝1，所以a2＝2，

所以当n≥2时，an＝2＋(n－2)×1，即an＝n.③

又因为a1＝1也满足③式，所以an＝n(n∈N*)．

(2)由(1)得bn＝a2n－1·2an＝(2n－1)·2n，

Tn＝2＋3·22＋5·23＋…＋(2n－1)·2n，④

2Tn＝22＋3·23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1，⑤

④－⑤得－Tn＝2＋2×22＋…＋2×2n－(2n－1)·2n＋1，

所以－Tn＝2＋－(2n－1)·2n＋1，

故Tn＝(2n－3)·2n＋1＋6.

(时间：20分钟)

11．设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的(　　)

A．充要条件   B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件   D．既不充分也不必要条件

答案　C

解析　若对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0，则a1＋a2<0，又a1>0，所以a2<0，所以q＝<0；若q<0，可取q＝－1，a1＝1，则a1＋a2＝1－1＝0，不满足对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0.所以“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的必要而不充分条件．故选C.

12．在各项均为正数的等比数列{an}中，a2，a4＋2，a5成等差数列，a1＝2，Sn是数列{an}的前n项的和，则S10－S4＝(　　)

A．1008  B．2016  C．2032  D．4032

答案　B

解析　由题意知2(a4＋2)＝a2＋a5，即2(2q3＋2)＝2q＋2q4＝q(2q3＋2)，得q＝2，所以an＝2n，S10＝＝211－2＝2046，S4＝＝25－2＝30，所以S10－S4＝2016，故选B.

13．已知数列{an}的首项为1，数列{bn}为等比数列且bn＝，若b10·b11＝2，则a21＝________.

答案　1024

解析　∵b1＝＝a2，b2＝，∴a3＝b2a2＝b1b2.

∵b3＝，∴a4＝b1b2b3，…，an＝b1b2b3·…·bn－1，

∴a21＝b1b2b3·…·b20＝(b10b11)10＝210＝1024.

14．设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.

(1)求a4的值；

(2)证明：为等比数列；

(3)求数列{an}的通项公式．

解　(1)∵4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1，

∴n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，

∴4(a1＋a2＋a3＋a4)＋5(a1＋a2)＝8(a1＋a2＋a3)＋a1，

∴4×＋5×＝8×1＋＋＋1，解得a4＝.

(2)证明：∵n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1，

∴4(Sn＋2－Sn＋1)－2(Sn＋1－Sn)

＝2，

∴(Sn＋2－Sn＋1)－(Sn＋1－Sn)

＝，

∴an＋2－an＋1＝.

又a3－a2＝，

∴是首项为1，公比为的等比数列．

(3)由(2)知是首项为1，公比为的等比数列，∴an＋1－an＝n－1，

两边同乘以2n＋1，得an＋1·2n＋1－an·2n＝4.

又a2·22－a1·21＝4，

∴{an·2n}是首项为2，公差为4的等差数列，

∴an·2n＝2＋4(n－1)＝2(2n－1)，

∴an＝＝.