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    2018-2019学年山东省青岛市城阳区九年级上期末数学试卷(含答案解析)
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    2018-2019学年山东省青岛市城阳区九年级上期末数学试卷(含答案解析)

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    这是一份2018-2019学年山东省青岛市城阳区九年级上期末数学试卷(含答案解析),共21页。试卷主要包含了选择题,填空题,作图题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    山东省青岛市城阳区2017-2018学年九年级(上)期末数学试卷
    一、选择题
    1.如图,是一个几何体的三视图,则这个三视图,则这个几何体是(  )

    A.长方体 B.圆柱体 C.球体 D.圆锥体
    2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,则sinB的值为(  )

    A. B. C. D.
    3.已知反比例函数y=的图象经过点(﹣5,3),则k的值为(  )
    A.﹣15 B. C.﹣2 D.
    4.菱形ABCD的周长为20cm,∠ABC=120°,则对角线BD等于(  )
    A.4cm B.6cm C.5cm D.10cm
    5.如图,在△ABC中,点D在AB上一点,下列条件中,能使△ABC与△BDC相似的是(  )

    A.∠B=∠ACD B.∠ACB=∠ADC C.AC2=AD•AB D.BC2=BD•AB
    6.一个密闭不透明的盒子里由若干个白球,在不允许将球倒出来数的情况下,为估计白球的个数,小刚向其中放入10个黑球,摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒子,不断重复,共摸球200次,其中40次摸到黑球,则可以估计盒中大约有白球(  )
    A.30个 B.35个 C.40个 D.50个
    7.若k≠0,则函数y=和y=kx+3在同一直角坐标系上的图象大致是(  )
    A. B. C. D.
    8.若二次函数y=ax2﹣2x﹣1的图象和x轴有交点,则a的取值范围为(  )
    A.a>﹣1 B.a>﹣1且a≠0 C.a≥﹣1 D.a≥﹣1且a≠0
    二、填空题
    9.已知=,则=   .
    10.计算:cos60°+tan60°=   .
    11.高为8米的旗杆在水平地面上的影子长为6米,同一时刻测得附近一个建筑物的影子长30米,则此建筑物的高度为   米.
    12.如图,在平面直角坐标系中,点A在反比例函数y=(k<0,x<0)的图象上,过点A作AB∥y轴交x轴于点B,点C在y轴上,连结AC、BC.若△ABC的面积是8,则k=   .

    13.如图所示,某幼儿园有一道长为16米的墙,计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD.该矩形草坪BC边的长是   米.

    14.如图,矩形ABCD中,AB=2,E为对角线BD上一点,且BE=3DE,CE⊥BD于E,则BC=   .

    15.已知A(0,3)和B(2,3)在抛物线y=x2+bx+c上,则二次函数y=x2+bx+c的对称轴为直线   .
    16.已知反比例函数y=的图象,当x取1,2,3,…,n时,对应在反比例图象上的点分别为M1,M2,M3…,Mn,则=   .

    三、作图题
    17.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(﹣2,1),B(﹣1,4),C(﹣3,2),以原点O为位似中心,△ABC与△A1B1C1位似比为1:2,在y轴的左侧,请画出△ABC放大后的图形△A1B1C1.

    四、解答题
    18.计算
    (1)x2+6x﹣2=0(配方法)
    (2)已知关于x的方程2x2+(k﹣2)x+1=0有两个相等的实数根,求k的值.
    19.小明为班级联欢会设计了一个摸球游戏.游戏规则如下:在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球,它们除颜色外完全相同,其中红球有2个,黄球有1个,蓝球有1个.游戏者先从纸箱里随机摸出一个球,记录颜色后放回,将小球摇匀,再随机摸出一个球,若两次摸到的球颜色相同,则游戏者可获得一份纪念品.请你利用树状图或列表法求游戏者获得纪念品的概率.
    20.在工程实施过程中,某工程队接受一项开挖水渠的工程,所需天数y(天)与每天完成工程量x米的函数关系图象如图所示,是双曲线的一部分.
    (1)请根据题意,求y与x之间的函数表达式;
    (2)若该工程队有2台挖掘机,每台挖掘机每天能够开挖水渠30米,问该工程队需要用多少天才能完成此项任务?
    (3)如果为了防汛工作的紧急需要,必须在10天内完成任务,那么每天至少要完成多少米?

    21.某商店经销一种销售成本为每件40元的商品,根据市场分析,当销售定价为52元时,每月可售出180件,定价每增加1元,销售量就将减少10件;定价每减少1元,销售量就将增加10件.若商店想在销售成本不高于7200元的情况下,使该商品的月销售利润达到2000元,则销售价应定为每件多少元?
    22.小华为了测量楼房AB的高度,他从楼底的B处沿着斜坡向上行走20m,到达坡顶D处.已知斜坡的坡角为15°.小华的身高ED是1.6m,他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45°,求楼房AB的高度.(计算结果精确到1m)
    (参考数据:sin15°=,cos15°=,tan15°=)

    23.如图,在▱ABCD中,AC⊥CD.
    (1)延长DC到E,使CE=CD,连接BE,求证:四边形ABEC是矩形;
    (2)若点F,G分别是BC,AD的中点,连接AF,CG,试判断四边形AFCG是什么特殊的四边形?并证明你的结论.

    24.如图,一个圆形喷水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置OA,O恰好在水面中心,安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,且在过OA的任一平面上,按如图所示建立直角坐标系,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式可以用y=﹣x2+bx+c表示,且抛物线经过点B(,2),C(2,).
    请根据以上信息,解答下列问题;
    (1)求抛物线的函数关系式,并确定喷水装置OA的高度;
    (2)喷出的水流距水面的最大高度是多少米?
    (3)若不计其他因素,水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不至于落在池外?

    25.(8分)△ABC是一张等腰直角三角形纸板,∠C=90°,AC=BC=2,
    (1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形,有甲、乙两种剪法(如图1),比较甲、乙两种剪法,哪种剪法所得的正方形面积大?请说明理由.
    (2)图1中甲种剪法称为第1次剪取,记所得正方形面积为s1;按照甲种剪法,在余下的△ADE和△BDF中,分别剪取正方形,得到两个相同的正方形,称为第2次剪取,并记这两个正方形面积和为s2(如图2),则s2=   ;再在余下的四个三角形中,用同样方法分别剪取正方形,得到四个相同的正方形,称为第3次剪取,并记这四个正方形面积和为s3,继续操作下去…,则第10次剪取时,s10=   ;
    (3)求第10次剪取后,余下的所有小三角形的面积之和.

    26.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8.动点P从点A出发沿AC向终点C运动,同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动,到达A点时停止运动.点P也同时停止.点P,Q运动速度均为每秒1个单位长度,连接PQ,设运动时间为t(t>0)秒.
    (1)当点Q从B点向A点运动时(未到达A点),
    ①当t=   时PQ∥BC
    ②求△APQ的面积S关于t的函数关系式,并写出t的取值范围;
    (2)伴随着P,Q两点的运动,线段PQ的垂直平分线为l:
    ①当l经过点A时,射线QP交AD于点E,求此时的t的值和AE的长;
    ②当l经过点B时,求t的值.


    参考答案
    一、选择题
    1.如图,是一个几何体的三视图,则这个三视图,则这个几何体是(  )

    A.长方体 B.圆柱体 C.球体 D.圆锥体
    【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形,再根据几何体的特点即可得出答案.
    【解答】解:圆柱体的主视图和左视图均为矩形,俯视图是圆,
    故选:B.
    【点评】此题考查了由三视图判断几何体,关键是对三视图能熟练掌握和灵活运用,体现了对空间想象能力的考查.
    2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,则sinB的值为(  )

    A. B. C. D.
    【分析】利用勾股定理求出AB的长度,然后根据sinB=代入数据进行计算即可得解.
    【解答】解:∵∠C=Rt∠,AC=4,BC=3,
    ∴AB===5,
    ∴sinB==.
    故选:D.
    【点评】本题考查了锐角三角函数的定义及运用:在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边.
    3.已知反比例函数y=的图象经过点(﹣5,3),则k的值为(  )
    A.﹣15 B. C.﹣2 D.
    【分析】将点的坐标代入反比例函数解析式中可求k的值.
    【解答】解:∵反比例函数y=的图象经过点(﹣5,3),
    ∴k=﹣5×3=﹣15
    故选:A.
    【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,掌握图象上的点的坐标满足解析式是本题的关键.
    4.菱形ABCD的周长为20cm,∠ABC=120°,则对角线BD等于(  )
    A.4cm B.6cm C.5cm D.10cm
    【分析】由菱形的性质可得,AB=AD=5cm,∠A=60°,则△ABD是等边三角形,则对角线BD的长为5cm.
    【解答】解:∵菱形的周长为20cm,
    ∴AB=BC=CD=AD=5cm,
    ∵∠ABC=120°,
    ∴∠A=60°,
    ∴△ABD是等边三角形,
    ∴BD=AB=5cm.
    故选:C.

    【点评】此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定.关键是掌握菱形的四条边相等.
    5.如图,在△ABC中,点D在AB上一点,下列条件中,能使△ABC与△BDC相似的是(  )

    A.∠B=∠ACD B.∠ACB=∠ADC C.AC2=AD•AB D.BC2=BD•AB
    【分析】根据两边成比例夹角相等的两个三角形相似,即可判断.
    【解答】解:选项A、B、C的条件无法判断△ABC与△BDC相似.
    正确答案是D.理由如下:
    ∵BC2=BD•BA,
    ∴=,∵∠B=∠B,
    ∴△ABC∽△CBD(两边成比例夹角相等的两个三角形相似).
    故选:D.
    【点评】本题考查相似三角形的判定和性质,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于基础题,中考常考题型.
    6.一个密闭不透明的盒子里由若干个白球,在不允许将球倒出来数的情况下,为估计白球的个数,小刚向其中放入10个黑球,摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒子,不断重复,共摸球200次,其中40次摸到黑球,则可以估计盒中大约有白球(  )
    A.30个 B.35个 C.40个 D.50个
    【分析】可根据“黑球数量÷黑白球总数=黑球所占比例”来列等量关系式,其中“黑白球总数=黑球个数+白球个数“,“黑球所占比例=随机摸到的黑球次数÷总共摸球的次数”.
    【解答】解:设盒子里有白球x个,
    根据得:
    解得:x=40.
    故选:C.
    【点评】本题主要考查利用频率估计概率,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系列出方程,再求解,注意分式方程要验根.
    7.若k≠0,则函数y=和y=kx+3在同一直角坐标系上的图象大致是(  )
    A. B. C. D.
    【分析】根据一次函数和反比例函数的特点,k≠0,所以分k>0和k<0两种情况讨论.当两函数系数k取相同符号值,两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案.
    【解答】解:分两种情况讨论:
    ①当k>0时,y=kx+3与y轴的交点在正半轴,过一、二、三象限,y=的图象在第一、三象限;
    ②当k<0时,y=kx+3与y轴的交点在正半轴,过一、二、四象限,y=的图象在第二、四象限.
    故选:A.
    【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质,关键是由k的取值确定函数所在的象限.
    8.若二次函数y=ax2﹣2x﹣1的图象和x轴有交点,则a的取值范围为(  )
    A.a>﹣1 B.a>﹣1且a≠0 C.a≥﹣1 D.a≥﹣1且a≠0
    【分析】直接利用根的判别式进行计算,“图象和x轴有交点”说明△≥0,a≠0,即可得出结果.
    【解答】解:∵二次函数y=ax2﹣2x﹣1的图象和x轴有交点,
    ∴△=b2﹣4ac=4+4a≥0,a≠0,
    ∴a≥﹣1,且a≠0;
    故选:D.
    【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、判别式的应用;熟练掌握根的判别式的运用是解决问题的关键,本题的易错点是漏掉a≠0.
    二、填空题
    9.已知=,则= ﹣ .
    【分析】根据题意,设x=3k,y=4k,代入即求得的值.
    【解答】解:设x=3k,y=4k,
    ∴==﹣.
    【点评】已知几个量的比值时,设一个未知数,把题目中的几个量用所设的未知数表示出来,实现消元.
    10.计算:cos60°+tan60°= 2 .
    【分析】直接利用特殊角的三角函数值计算得出答案.
    【解答】解:cos60°+tan60°=+×=2.
    故答案为:2.
    【点评】此题主要考查了实数运算,正确记忆相关数据是解题关键.
    11.高为8米的旗杆在水平地面上的影子长为6米,同一时刻测得附近一个建筑物的影子长30米,则此建筑物的高度为 40 米.
    【分析】设此建筑物的高度为h,再根据同一时刻物高与影长成正比即可得出h的值.
    【解答】解:设此建筑物的高度为h,
    ∵同一时刻物高与影长成正比,
    ∴,解得h=40m.
    故答案为:40m.
    【点评】本题考查的是相似三角形的应用,熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键.
    12.如图,在平面直角坐标系中,点A在反比例函数y=(k<0,x<0)的图象上,过点A作AB∥y轴交x轴于点B,点C在y轴上,连结AC、BC.若△ABC的面积是8,则k= ﹣16 .

    【分析】连接AO,利用同底等高三角形面积相等求出AOB面积,利用反比例函数k的几何意义求出k的值即可.
    【解答】解:接AO,由同底等高得到S△AOB=S△ABC=8,
    ∴|k|=8,即|k|=16,
    ∵反比例函数在第二象限过点A,
    ∴k=﹣16,
    故答案为:﹣16.

    【点评】此题考查了反比例函数系数k的几何意义,以及反比例函数图象上点的坐标特征,熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解本题的关键.
    13.如图所示,某幼儿园有一道长为16米的墙,计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD.该矩形草坪BC边的长是 12 米.

    【分析】可设矩形草坪BC边的长为x米,则AB的长是,根据长方形的面积公式列出一元二次方程求解.
    【解答】解:设BC边的长为x米,则AB=CD=米,
    根据题意得:×x=120,
    解得:x1=12,x2=20,
    ∵20>16,
    ∴x2=20不合题意,舍去,
    故答案为:12.
    【点评】本题考查了一元二次方程的应用,注意得出结果后要判断所求的解是否符合题意,舍去不合题意的解.注意本题表示出矩形草坪的长和宽是解题的关键.
    14.如图,矩形ABCD中,AB=2,E为对角线BD上一点,且BE=3DE,CE⊥BD于E,则BC= 2 .

    【分析】根据矩形的性质可得OA=OB=OC=OD,由BE=3DE可得OE=DE,根据线段垂直平分线的性质可得OC=DC=2,根据勾股定理可求BC的长.
    【解答】解:∵四边形ABCD是矩形
    ∴AO=BO=CO=DO,AB=CD=2,
    ∵BE=3DE
    ∴BD=4DE,OD=2DE,
    ∴OE=DE,且CE⊥DB,
    ∴CO=DC=2,
    ∴AO=CO=2,
    ∴AC=4
    在Rt△ABC中,BC==2
    故答案为2
    【点评】本题考查了矩形的性质,线段垂直平分线的性质,勾股定理,熟练运用矩形的性质是本题的关键.
    15.已知A(0,3)和B(2,3)在抛物线y=x2+bx+c上,则二次函数y=x2+bx+c的对称轴为直线 x=1 .
    【分析】根据抛物线对称性求解可得.
    【解答】解:∵A(0,3)和B(2,3)在抛物线y=x2+bx+c上,
    ∴点A和点B是抛物线上关于对称轴对称的两点,
    ∴对称轴为直线x==1,
    故答案为:x=1.
    【点评】此题考查了二次函数的性质与图象,解题的关键是熟练掌握抛物线的对称性.
    16.已知反比例函数y=的图象,当x取1,2,3,…,n时,对应在反比例图象上的点分别为M1,M2,M3…,Mn,则=  .

    【分析】先确定M1(1,1),M2(2,),M3(3,),…,Mn(n,),再根据三角形面积公式得到S△P1M1M2=×1×(1﹣),S△P2M2M3=×1×(﹣),…,S△Pn﹣1Mn﹣1Mn=×1×(﹣),然后把它们相加即可.
    【解答】解:∵M1(1,1),M2(2,),M3(3,),…,Mn(n,),
    ∴S△P1M1M2=×1×(1﹣),S△P2M2M3=×1×(﹣),…,S△Pn﹣1Mn﹣1Mn=×1×(﹣),
    ∴=×1×(1﹣)+×1×(﹣)+…+×1×(﹣)
    =(1﹣+﹣+…+﹣)
    =•
    =.
    故答案为.
    【点评】本题考查了反比例函数y=(k≠0)中比例系数k的几何意义:过反比例函数图象上任意一点分别作x轴、y轴的垂线,则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为|k|.
    三、作图题
    17.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(﹣2,1),B(﹣1,4),C(﹣3,2),以原点O为位似中心,△ABC与△A1B1C1位似比为1:2,在y轴的左侧,请画出△ABC放大后的图形△A1B1C1.

    【分析】利用位似比为1:2,进而将各对应点坐标扩大为原来的2倍,进而得出答案.
    【解答】解:如图所示,△A1B1C1即为所求.

    【点评】此题主要考查了位似变换,正确掌握位似比与坐标的关系是解题关键.
    四、解答题
    18.计算
    (1)x2+6x﹣2=0(配方法)
    (2)已知关于x的方程2x2+(k﹣2)x+1=0有两个相等的实数根,求k的值.
    【分析】(1)根据配方法的步骤计算可得;
    (2)由方程有两个相等的实数根知△=0,据此列出关于k的方程,解之可得.
    【解答】解:(1)∵x2+6x﹣2=0,
    ∴x2+6x=2,
    则x2+6x+9=2+9,即(x+3)2=11,
    解得x+3=±,
    ∴x=﹣3±,
    即x1=﹣3+,x2=﹣3﹣;

    (2)∵方程有两个相等的实数根,
    ∴△=0,即(k﹣2)2﹣4×2×1=0,
    整理,得:k2﹣4k﹣4=0,
    解得:k1=2+2,k2=2﹣2.
    【点评】此题考查了配方法解一元二次方程与一元二次方程判别式的知识.此题比较简单,注意掌握一元二次方程有两个相等的实数根,即可得△=0.
    19.小明为班级联欢会设计了一个摸球游戏.游戏规则如下:在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球,它们除颜色外完全相同,其中红球有2个,黄球有1个,蓝球有1个.游戏者先从纸箱里随机摸出一个球,记录颜色后放回,将小球摇匀,再随机摸出一个球,若两次摸到的球颜色相同,则游戏者可获得一份纪念品.请你利用树状图或列表法求游戏者获得纪念品的概率.
    【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数,再找出两次摸到的球颜色相同的结果数,然后根据概率公式求解.
    【解答】解:画树状图为:

    共有16种等可能的结果数,其中两次摸到的球颜色相同的结果数为6,
    所以游戏者获得纪念品的概率==.
    【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.
    20.在工程实施过程中,某工程队接受一项开挖水渠的工程,所需天数y(天)与每天完成工程量x米的函数关系图象如图所示,是双曲线的一部分.
    (1)请根据题意,求y与x之间的函数表达式;
    (2)若该工程队有2台挖掘机,每台挖掘机每天能够开挖水渠30米,问该工程队需要用多少天才能完成此项任务?
    (3)如果为了防汛工作的紧急需要,必须在10天内完成任务,那么每天至少要完成多少米?

    【分析】(1)将点(24,50)代入反比例函数的解析式,即可求得反比例函数的解析式;
    (2)用工作效率乘以工作时间即可得到工作量,然后除以工作效率即可得到工作时间;
    (3)工作量除以工作时间即可得到工作的效率.
    【解答】解:(1)设y=.
    ∵点(24,50)在其图象上,
    ∴所求函数表达式为y=;

    (2)由图象,知共需开挖水渠24×50=1200(m);
    2台挖掘机需要1200÷(2×30)=20天;

    (3)1200÷10=120(m).
    故每天至少要完成120m.
    【点评】本题考查了反比例函数的应用,解题的关键是从中整理出解决实际问题的函数模型.
    21.某商店经销一种销售成本为每件40元的商品,根据市场分析,当销售定价为52元时,每月可售出180件,定价每增加1元,销售量就将减少10件;定价每减少1元,销售量就将增加10件.若商店想在销售成本不高于7200元的情况下,使该商品的月销售利润达到2000元,则销售价应定为每件多少元?
    【分析】设销售价应定为每件x元,根据利润=2000,列出方程即可解决问题.
    【解答】解:设销售价应定为每件x元,根据题意,得
    (x﹣40)[180﹣10(x﹣52)]=2000
    整理得x2﹣110x+3000=0
    解这个方程得x1=50,x2=60
    当x=50时,销售成本为40×[180﹣10(50﹣52)]=8000(元)
    ∵8000>7200,∴x=50不合题意,应舍去
    当x=60时,销售成本为40×[180﹣10(60﹣52)]=4000(元)
    答:销售价应定为每件60元
    【点评】本题考查一元二次方程的应用,解题的关键是正确寻找等量关系,列出方程解决问题.
    22.小华为了测量楼房AB的高度,他从楼底的B处沿着斜坡向上行走20m,到达坡顶D处.已知斜坡的坡角为15°.小华的身高ED是1.6m,他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45°,求楼房AB的高度.(计算结果精确到1m)
    (参考数据:sin15°=,cos15°=,tan15°=)

    【分析】作DH⊥AB于H,根据余弦的定义求出BC,根据正弦的定义求出CD,结合题意计算即可.
    【解答】解:作DH⊥AB于H,
    ∵∠DBC=15°,BD=20,
    ∴BC=BD•cos∠DBC=20×=19.2,CD=BD•sin∠DBC=20×=5,
    由题意得,四边形ECBF和四边形CDHB是矩形,
    ∴EF=BC=19.2,BH=CD=5,
    ∵∠AEF=45°,
    ∴AF=EF=19.2,
    ∴AB=AF+FH+HB=19.2+1.6+5=25.8≈26m,
    答:楼房AB的高度约为26m.

    【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题和坡度坡角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.
    23.如图,在▱ABCD中,AC⊥CD.
    (1)延长DC到E,使CE=CD,连接BE,求证:四边形ABEC是矩形;
    (2)若点F,G分别是BC,AD的中点,连接AF,CG,试判断四边形AFCG是什么特殊的四边形?并证明你的结论.

    【分析】(1)根据平行四边形的性质得出AB∥CD,AB=CD,求出CE∥AB,CE=AB,根据平行四边形的判定得出四边形ABEC是平行四边形,根据矩形的判定得出即可.
    (2)根据平行四边形的性质得出AD=CB,AD∥CB,求出AG=CF,根据平行四边形的判定得出四边形AFCG是平行四边形,求出AG=CG,根据菱形的判定得出即可.
    【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴AB∥CD,AB=CD,
    ∵CD=CE,
    ∴CE∥AB,CE=AB,
    ∴四边形ABEC是平行四边形,
    ∵AC⊥CD,
    ∴∠ACE=90°,
    ∴四边形ABEC是矩形;

    (2)四边形AFCG是菱形,
    证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴AD=CB,AD∥CB,
    ∵点F、G分别是BC、AD的中点,
    ∴AG=DG=AD,BF=CF=BC,
    ∴AG=CF,
    ∴四边形AFCG是平行四边形,
    ∵∠ACD=90°,G为AD的中点,
    ∴AG=CG,
    ∴四边形AFCG是菱形.
    【点评】本题考查了直角三角形的性质,矩形的判定,平行四边形的判定和性质,菱形的判定的应用,能综合运用知识点进行推理是解此题的关键.
    24.如图,一个圆形喷水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置OA,O恰好在水面中心,安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,且在过OA的任一平面上,按如图所示建立直角坐标系,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式可以用y=﹣x2+bx+c表示,且抛物线经过点B(,2),C(2,).
    请根据以上信息,解答下列问题;
    (1)求抛物线的函数关系式,并确定喷水装置OA的高度;
    (2)喷出的水流距水面的最大高度是多少米?
    (3)若不计其他因素,水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不至于落在池外?

    【分析】(1)根据抛物线y=﹣x2+bx+c表示,且经过点B(,2),C(2,),可以求得抛物线的解析式,然后令x=0,求得y的值,即可得到OA的值;
    (2)将(1)中的函数解析式化为顶点式,即可求得喷出的水流距水面的最大高度;
    (3)根据题意和图象,求出抛物线与x轴的交点,即可得到水池半径的最小值.
    【解答】解:(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c表示,且经过点B(,2),C(2,),
    ∴,
    解得,,
    ∴抛物线y=﹣x2+2x+,
    当x=0时,y=,
    即抛物线的函数关系式是y=﹣x2+2x+,喷水装置OA的高度是米;
    (2)∵y=﹣x2+2x+=﹣(x﹣1)2+,
    ∴当x=1时,y取得最大值,此时y=,
    答:喷出的水流距水面的最大高度是米;
    (3)令﹣x2+2x+=0,
    解得,x1=﹣0.5,x2=2.5,
    答:水池的半径至少要2.5米,才能使喷出的水流不至于落在池外.
    【点评】本题考查二次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,求出相应的函数解析式,利用二次函数的性质解答.
    25.(8分)△ABC是一张等腰直角三角形纸板,∠C=90°,AC=BC=2,
    (1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形,有甲、乙两种剪法(如图1),比较甲、乙两种剪法,哪种剪法所得的正方形面积大?请说明理由.
    (2)图1中甲种剪法称为第1次剪取,记所得正方形面积为s1;按照甲种剪法,在余下的△ADE和△BDF中,分别剪取正方形,得到两个相同的正方形,称为第2次剪取,并记这两个正方形面积和为s2(如图2),则s2=  ;再在余下的四个三角形中,用同样方法分别剪取正方形,得到四个相同的正方形,称为第3次剪取,并记这四个正方形面积和为s3,继续操作下去…,则第10次剪取时,s10=  ;
    (3)求第10次剪取后,余下的所有小三角形的面积之和.

    【分析】(1)分别求出甲、乙两种剪法所得的正方形面积,进行比较即可;
    (2)按图1中甲种剪法,可知后一个三角形的面积是前一个三角形的面积的,依此可知结果;
    (3)探索规律可知:,依此规律可得第10次剪取后,余下的所有小三角形的面积之和.
    【解答】解:(1)解法1:如图甲,由题意,得AE=DE=EC,即EC=1,S正方形CFDE=12=1
    如图乙,设MN=x,则由题意,得AM=MQ=PN=NB=MN=x,
    ∴,
    解得

    又∵
    ∴甲种剪法所得的正方形面积更大.
    说明:图甲可另解为:由题意得点D、E、F分别为AB、AC、BC的中点,S正方形OFDE=1.

    解法2:如图甲,由题意得AE=DE=EC,即EC=1,
    如图乙,设MN=x,则由题意得AM=MQ=QP=PN=NB=MN=x,
    则,
    解得,
    又∵,即EC>MN.
    ∴甲种剪法所得的正方形面积更大.

    (2),.

    (3)解法1:探索规律可知:
    剩余三角形面积和为2﹣(S1+S2+…+S10)=2﹣(1++…+)=
    解法2:由题意可知,
    第一次剪取后剩余三角形面积和为2﹣S1=1=S1
    第二次剪取后剩余三角形面积和为,
    第三次剪取后剩余三角形面积和为,

    第十次剪取后剩余三角形面积和为.
    【点评】本题考查了正方形的性质,勾股定理,等腰直角三角形的性质,得出甲、乙两种剪法,所得的正方形面积是解题的关键.
    26.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8.动点P从点A出发沿AC向终点C运动,同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动,到达A点时停止运动.点P也同时停止.点P,Q运动速度均为每秒1个单位长度,连接PQ,设运动时间为t(t>0)秒.
    (1)当点Q从B点向A点运动时(未到达A点),
    ①当t= 秒 时PQ∥BC
    ②求△APQ的面积S关于t的函数关系式,并写出t的取值范围;
    (2)伴随着P,Q两点的运动,线段PQ的垂直平分线为l:
    ①当l经过点A时,射线QP交AD于点E,求此时的t的值和AE的长;
    ②当l经过点B时,求t的值.

    【分析】(1)①由题意得:BQ=AP=t,根据平行线分线段成比例定理得:,列关于t的方程,解出即可;
    ②作高线PE,根据三角形面积公式可得:S关于t的函数关系式,并根据AB的长和点Q的速度确定t的取值范围;
    (2)①如图2,延长CD交QP于M,根据线段垂直平分线的性质可得:AQ=AP,即6﹣t=t,可得t的值,证明△AQP∽△CMP,列比例式可得CM的长,证明△AQE∽△DME,可得结论;
    ②如图3,作辅助线,构建等腰三角形,根据平行线分线段成比例定理可得结论.
    【解答】解:(1)①由题意得:BQ=AP=t,
    ∵四边形ABCD是矩形,
    ∴∠ABC=90°,
    ∵AB=6,BC=8,
    ∴AC=10,AQ=6﹣t,
    ∵PQ∥BC,
    ∴,
    ∴,
    t=,
    则当t=秒时,PQ∥BC,
    故答案为:秒;
    ②如图1,过P作PE⊥AB于E,
    sin∠BAC=,
    ∴,PE=t,
    ∴S△APQ=S=AQ•PE=(6﹣t)t=﹣+t(0<t≤6);
    (2)①如图2,延长CD交QP于M,
    ∵线段PQ的垂直平分线为l经过点A,
    ∴AQ=AP,即6﹣t=t,
    ∴t=3,
    ∴AQ=AP=3,CP=10﹣3=7,
    ∵AQ∥CD,
    ∴△AQP∽△CMP,
    ∴,
    ∴,CM=7,
    ∴DM=7﹣6=1,
    ∵AQ∥DM,
    ∴△AQE∽△DME,
    ∴=,
    ∵AE+DE=8,
    ∴AE=6;
    ②如图3,连接PB,过P作PG⊥AB于G,则PG∥BC,
    ∵线段PQ的垂直平分线l经过点B,
    ∴PB=BQ=t=AP,
    ∴AG=BG,
    ∴AP=PC=AC=5,
    ∴t=5.



    【点评】本题是四边形综合题目,考查了矩形性质,等腰三角形性质,线段垂直平分线性质,勾股定理,相似三角形的性质和判定的应用等知识,主要考查学生分析问题和解决问题的能力,题目比较典型,但是有一定的难度.


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