2018_2019学年青岛市李沧区九上期末数学试卷

这是一份2018_2019学年青岛市李沧区九上期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 已知 2x=3y，则下列比例式成立的是
A. x2=3yB. x2=y3C. x3=y2D. xy=23

2. 用两块完全相同的长方体摆放成如图所示的几何体，这个几何体的左视图是
A. B.
C. D.

3. 一个袋中有黑球 12 个，白球若干，小明从袋中随机一次摸出 10 个球，记下其黑球的数目，再把它们放回，搅匀后重复上述过程 20 次，发现共有黑球 48 个，由此估计袋中的白球数是
A. 28 个B. 38 个C. 48 个D. 50 个

4. 若关于 x 的一元二次方程 kx2−2x−1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是
A. k>−1B. k>−1 且 k≠0
C. k<1D. k<1 且 k≠0

5. 二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象如图所示，则下列说法不正确的是
A. b2−4ac>0B. a>0C. c>0D. −b2a<0

6. 随着私家车的增加，城市的交通也越来越拥挤，通常情况下，某段高架桥上车辆的行驶速度 y（千米/时）与高架桥上每百米拥有车的数量 x（辆）的关系如图所示，当 x≥10 时，y 与 x 成反比例函数关系，当车行驶速度低于 20 千米/时，交通就会拥堵，为避免出现交通拥堵，高架桥上每百米拥有车的数量 x（辆）应该满足的范围是
A. x≤40B. x≥40C. x>40D. x<40

7. 如图，在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑宽度一样的道路（图中阴影部分），余下的种植草坪，要使面积为 540 m2，则宽为
A. 1B. 1.5C. 2D. 2.5

8. 在同一直角坐标系中，函数 y=kx+1 与 y=kxk≠0 的图象大致是
A. B.
C. D.

二、填空题（共6小题；共30分）
9. 计算 cs60∘+sin30∘= ．

10. 已知菱形的周长为 40 cm，一条对角线长为 16 cm，则这个菱形的面积是 ．

11. 平时我们在跳绳时，绳子甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如图，建立直角坐标系，抛物线的函数表达式为 y=−16x2+13x+32（单位：m），绳子甩到最高处时刚好通过站在 x=2 点处跳绳的学生小明的头顶，则小明的身高为 m．

12. 如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=12，BC=5，点 E 在 AB 上，将 △DAE 沿 DE 折叠，使点 A 落在对角线 BD 上的点 Aʹ 处，则 AE 的长为 ．

13. 如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知 BC=BD=15 cm，∠CBD=40∘，则点 B 到 CD 的距离为 cm（参考数据：sin20∘≈0.342，cs20∘≈0.940，sin40∘≈0.643，cs40∘≈0.766．精确到 0.1 cm，可用科学计算器）．

14. 如图，都是由边长为 1 的正方体叠成的图形．
例如第（1）个图形的表面积为 6 个平方单位，第（2）个图形的表面积为 18 个平方单位，第（3）个图形的表面积是 36 个平方单位，依此规律，则第（5）个图形的表面积 个平方单位．

三、解答题（共10小题；共130分）
15. 如图，小刚爸爸要利用一块形状为直角三角形（∠C 为直角）的铁皮加工一个正方形零件，使 C 为正方形的一个顶点，其余三个顶点分别在 AB，BC，AC 边上，请协助小刚爸爸用尺规画出裁割线．

16. （1）用配方法解方程：x2−2x−3=0；
（2）求二次函数 y=−3x2+6x+2 的图象与 x 轴的交点坐标．

17. 如图，晚上，小亮在广场上乘凉．图中线段 AB 表示站在广场上的小亮，线段 PO 表示直立在广场上的灯杆，点 P 表示照明灯．
（1）请你在图中画出小亮在照明灯（P）照射下的影子；
（2）如果灯杆高 PO=12 m，小亮的身高 AB=1.6 m，小亮与灯杆的距离 BO=13 m，请求出小亮影子的长度．

18. 商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同．
（1）若他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是 ；
（2）若他两次去买饮料，每次买一瓶，且两次所买饮料品种不同，请用树状图或列表法求出他恰好买到雪碧和奶汁的概率．

19. 南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至 B 处时，测得该岛位于正北方向 201+3 海里的 C 处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我 A 处的渔监船前往 C 处护航，已知 C 位于 A 处的北偏东 45∘ 方向上，A 位于 B 的北偏西 30∘ 的方向上，求 A，C 之间的距离．

20. 某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升 10∘C，待加热到 100∘C，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温 y∘C 和通电时间 xmin 成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温为 20∘C，接通电源后，水温和时间的关系如图所示，回答下列问题．
（1）分别求出当 0≤x≤8 和 8（2）求出图中 a 的值；
（3）李老师这天早上 7:30 将饮水机电源打开，若他想再 8:10 上课前能喝到不超过 40∘C 的开水，问他需要在什么时间段内接水?

21. 在 Rt△ABC 与 Rt△ABD 中，∠ABC=∠BAD=90∘，AC=BD，AC，BD 相交于点 G，过点 A 作 AE∥DB 交 CB 的延长线于点 E，过点 B 作 BF∥CA 交 DA 的延长线于点 F，AE，BF 相交于点 H．
（1）证明：△ABD≌△BAC．
（2）四边形 AHBG 是什么样的四边形，请猜想并证明．
（3）若使四边形 AHBG 是正方形，还需在 Rt△ABC 添加一个什么条件?请添加条件并证明．

22. 某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，确定两条信息：
信息 1：销售A种产品所获利润 y（万元）与所售产品 x（吨）之间存在二次函数关系，如图所示．
信息 2：销售B种产品所获利润 y（万元）与销售产品 x（吨）之间存在正比例函数关系 y=0.3x．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求二次函数的表达式；
（2）该公司准备购进A，B两种产品共 10 吨，请设计一个营销方案，使销售A，B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元?

23. 问题提出：某物业公司接收管理某小区后，准备进行绿化建设，现要将一块四边形的空地（如图 5，四边形 ABCD）铺上草皮，但由于年代久远，小区规划书上该空地的面积数据看不清了，仅仅留下两条对角线 AC，BD 的长度分别为 20 cm，30 cm 及夹角 ∠AOB 为 60∘，你能利用这些数据，帮助物业人员求出这块空地的面积吗?
问题分析：显然，要求四边形 ABCD 的面积，只要求出 △ABD 与 △BCD（也可以是 △ABC 与 △ACD）的面积，再相加就可以了．
建立模型：我们先来解决较简单的三角形的情况：
如图 1，△ABC 中，O 为 BC 上任意一点（不与 B，C 两点重合），连接 OA，OA=a，BC=b，∠AOB=α（α 为 OA 与 BC 所夹较小的角），试用 a，b，α 表示 △ABC 的面积．
解：如图 2，作 AM⊥BC 于点 M，
∴△AOM 为直角三角形．
∵∠AOB=α，
∴sinα=AMOA 即 AM=OA⋅sinα，
∴△ABC的面积=12⋅BC⋅AM=12⋅BC⋅OA⋅sinα=12absinα．
（1）问题解决：请你利用上面的方法，解决物业公司的问题．如图 3，四边形 ABCD 中，O 为对角线 AC，BD 的交点，已知 AC=20 m，BD=30 m，∠AOB=60∘，求四边形 ABCD 的面积．（写出辅助线作法和必要的解答过程）
（2）新建模型：若四边形 ABCD 中，O 为对角线 AC，BD 的交点，已知 AC=a，BD=b，∠AOB=α（α 为 OA 与 BC 所夹较小的角），直接写出四边形 ABCD 的面积 = ．
（3）模型应用：如图 4，四边形 ABCD 中，AB+CD=BC，∠ABC=∠BCD=60∘，已知 AC=a，则四边形 ABCD 的面积为多少?（“新建模型”中的结论可直接利用）

24. 如图，已知 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=8 cm，AB=12 cm，点 P 由 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，同时点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，速度均为 1 cm/s．以 AQ，PQ 为边作平行四边形 AQPD，连接 DQ，交 AB 于点 E．设运动的时间为 t（单位：s）（0≤t≤6）．解答下列问题：
（1）当 t 为何值时，平行四边形 AQPD 为矩形．
（2）当 t 为何值时，平行四边形 AQPD 为菱形．
（3）是否存在某一时刻 ts，使四边形 AQPD 的面积等于四边形 PQCB 的面积，若存在，请求出 t 值，若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. C【解析】A、变成等积式是：xy=6，故错误；
B、变成等积式是：3x=2y，故错误；
C、变成等积式是：2x=3y，故正确；
D、变成等积式是：3x=2y，故错误．
2. C
3. B【解析】设袋中的白球数是 x 个，根据题意得：
1212+x=4810×20，
解得：x=38，
经检验，x=38 是原方程的解，并且满足题意．
答：袋中的白球数是 38 个．
4. B【解析】∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴b2−4ac=−22−4⋅k⋅−1=4+4k>0，即 k>−1．
又 ∵ 方程为一元二次方程，
∴k≠0．
∴k>−1 且 k≠0．
5. D
6. A【解析】设反比例函数的解析式为：y=kx，
则将点 10,80，代入得：y=800x，
故当车速度为 20 千米/时 20=800x，
解得：x=40，经检验，x=40 是原方程的解，并且满足题意，
故高架桥上每百米拥有车的数量 x（辆）应该满足的范围是：x≤40．
7. C
8. A【解析】分两种情况讨论：
①当 k>0 时，y=kx+1 与 y 轴的交点在正半轴，过一、二、三象限，反比例函数的图象在第一、三象限；
②当 k<0 时，y=kx+1 与 y 轴的交点在正半轴，过一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限．
第二部分
9. 1
【解析】原式=12+12=1．
10. 96 cm2
【解析】∵ 周长是 40 cm，
∴ 边长是 10 cm．
如图所示：
AB=10 cm，AC=16 cm．
根据菱形的性质，AC⊥BD，AO=8 cm，
∴BO=6 cm，BD=12 cm．
∴ 面积 S=12×16×12=96（cm2）．
11. 1.5
【解析】在 y=−16x2+13x+32 中，
当 x=2 时，得 y=32=1.5．
即小明的身高为 1.5 米．
12. 103
【解析】提示：BD=13，AʹB=13−5=8．
设 AE=AʹE=x．
由勾股定理，得 x2+82=12−x2．
∴x=103．
13. 14.1
【解析】如右图，作 BE⊥CD 于点 E．
∵BC=BD，BE⊥CD，
∴∠CBE=∠DBE=20∘．
在 Rt△BDE 中，cs∠DBE=BEBD，
∴cs20∘=BE15，
∴BE≈15×0.940=14.1 cm．
14. 90
【解析】观察图形，可以通过观察图形的主视图，然后求出主视图的面积乘 6 即为所求的表面积；
第（1）个图形，主视图是 1 个正方形，面积为 1，则这个图形的表面积为 1×6=6 个平方单位，
第（2）个图形，主视图是 3=1+2 个正方形，面积为 3，则这个图形的表面积为 3×6=18 个平方单位，
第（3）个图形，主视图是 6=1+2+3 个正方形，面积为 6，则这个图形的表面积为 6×6=36 个平方单位，
则第（5）个图形，主视图是 15=1+2+3+4+5 个正方形，这个图形的表面积为 15×6=90 个平方单位．
第三部分
15. 如图所示：线段 MD，ME 即为所求．
16. （1） ∵x2−2x−3=0，
∴x2−2x=3，
则 x2−2x+1=3+1，即 x−12=4，
∴x−1=2 或 x−1=−2，
解得：x1=3，x2=−1．
（2） 令 y=0 得 −3x2+6x+2=0，解得：x1=3+153，x2=3−153，
∴ 该二次函数图象与 x 轴的交点坐标为 3−153,0，3+153,0．
17. （1） 如图线段 BC 即为所求．
【解析】连接 PA 并延长交地面于点 C, 线段 BC 就是小亮在照明灯（P）照射下的影子．
（2）
在 △CAB 和 △CPO 中，
∵∠C=∠C，∠ABC=∠POC=90∘，
∴△CAB∽△CPO，
∴ABPO=CBCO．
∴1.612=CB13+BC．
∴BC=2．
∴ 小亮影子的长度为 2 m．
18. （1） 14
（2） 画树状图得：
∵ 共有 12 种等可能的结果，他恰好买到雪碧和奶汁的有 2 种情况，
∴ 他恰好买到雪碧和奶汁的概率为：212=16．
19. 如图，作 AD⊥BC，垂足为 D，
由题意得，∠ACD=45∘，∠ABD=30∘，
设 CD=x，在 Rt△ACD 中，可得 AD=x，
在 Rt△ABD 中，可得 BD=3x，
又 ∵ BC=201+3，CD+BD=BC，
即 x+3x=201+3，
解得：x=20，
∴ AC=2x=202（海里）．
答：A，C 之间的距离为 202 海里．
20. （1） 当 0≤x≤8 时，设 y=k1x+b，
将点 0,20，8,100 代入 y=k1x+b，得 20=b,100=8k1+b, 解得 k1=10,b=20,
∴ 当 0≤x≤8 时，y=10x+20；
当 8 ∴ 当 8故当 0≤x≤8 时，y=10x+20；当 8 （2） 将 y=20 代入 y=800x，解得 a=40．
（3） 8:10−8 分钟=8:02，
∵10x+20≤40，
∴0 ∵800x≤40，
∴20≤x<40．
∴ 李老师这天早上 7:30 将饮水机电源打开，若他想在 8:10 上课前能喝到不超过 40∘C 的热水，则需要在 7:50∼8:10 时间段内接水．
21. （1） ∵∠ABC=∠BAD=90∘，
∴△ABC 和 △BAD 为直角三角形．
在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中 AC=BD,AB=BA,
∴Rt△ABC≌Rt△BADHL．
（2） 四边形 AHBG 是菱形．
证明：
∵AH∥GB，BH∥GA，
∴ 四边形 AHBG 是平行四边形．
∵△ABC≌△BAD，
∴∠ABD=∠BAC，
∴GA=GB，
∴ 平行四边形 AHBG 是菱形．
（3） 需要添加的条件是 AB=BC．
证明：
∵AB=BC，∠ABC=90∘，
∴△ABC 是等腰直角三角形，
∴∠BAG=45∘．
又 ∵△ABC≌△BAD，
∴∠ABG=∠BAG=45∘，
∴∠AGB=90∘，
∴ 菱形 AHBG 是正方形．
22. （1） 根据题意，设销售A种产品所获利润 y 与销售产品 x 之间的函数关系式为 y=ax2+bx，
将点 1,1.4，3,3.6 代入解析式，
得：a+b=1.4,9a+3b=3.6,
解得：a=−0.1,b=1.5,
∴ 销售A种产品所获利润 y（万元）与销售产品 x（吨）之间的函数关系式为 y=−0.1x2+1.5x．
（2） 设购进A产品 m 吨，购进B产品 10−m 吨，销售A，B两种产品获得的利润之和为 W 元，
则
W=−0.1m2+1.5m+0.310−m=−0.1m2+1.2m+3=−0.1m−62+6.6,
∵−0.1<0，
∴ 当 m=6 时，W 取得最大值，最大值为 6.6．
答：购进A产品 6 吨，购进B产品 4 吨，销售A，B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是 6.6 万元．
23. （1） 如图 1 中，作 AE⊥BD 于 E，CF⊥BD 于 F．
∵S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=12⋅BD⋅AE+12⋅BD⋅CF=12⋅BD⋅AE+CF=12⋅BD⋅OA⋅sin60∘+OC⋅sin60∘=34⋅BD⋅AC=1503.
（2） 12absinα
【解析】如图 1 中，作 AE⊥BD 于 E，CF⊥BD 于 F．
S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=12⋅BD⋅AE+12⋅BD⋅CF=12⋅BD⋅AE+CF=12⋅BD⋅OA⋅sinα+OC⋅sinα=12⋅BD⋅AC⋅sinα=12absinα.
（3） 如图 2 中，在 CB 上取 CE=CD，连接 DE，AE，BD．
∵AB+DC=BC，
∴AB=BE，
∵∠ABC=∠BCD=60∘，
∴△ABE 与 △CDE 均为等边三角形，
∴AE=BE，DE=CE，
∴∠AEB=∠CED=60∘，
∴∠BED=∠AEC=120∘，
在 △BED 与 △AEC 中，
BE=AE,∠BED=∠AEC,DE=CE,
∴△BED≌△AEC（SAS），
∴AC=BD，∠EAC=∠EBD，
∵∠AOP=∠BOE，
∴∠APO=∠AEB=60∘，
∴S四边形ABCD=12⋅a⋅a⋅sin60∘=34a2．
24. （1） 如图 1，当平行四边形 AQPD 是矩形时，PQ⊥AC，
∴PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴QAAP=ACAB，
由运动知，QA=t cm，BP=t cm，
∴AP=AB−BP=12−tcm，
即 t12−t=812，
解之 t=245，经检验，t=245 是原方程的解，并且满足题意，
∴ 当 t=245 时，平行四边形 AQPD 是矩形．
（2） 当平行四边形 AQPD 是菱形时，DQ⊥AP，AE=12AP，
则 cs∠BAC=AEAQ=ACAB，
由运动知，QA=t cm，BP=t cm，
∴AP=AB−BP=12−tcm，AE=6−12tcm，
∴6−12tt=812，
解之得 t=367，经检验，t=367 是原方程的解，并且满足题意，
∴ 当 t=367 时，平行四边形 AQPD 是菱形．
（3） 存在时间 ts，使四边形 AQPD 的面积等于四边形 PQCB 的面积．
在 Rt△ABC 中，根据勾股定理得，BC=45 cm，
如图 2，过点 P 作 PM⊥AC 于 M，
则 PMAP=BCAB，
即 PM12−t=4512，
故 PM=5312−t，
∴S△APQ=12AQ×PM=12×t×5312−t，
∴S四边形PQCB=S△ABC−S△APQ=12×45×8−12×t×5312−t,
∵ 四边形 AQPD 的面积等于四边形 PQCB 的面积，
∴2×12×t×5312−t=12×45×8−12×t×5312−t，
∴t1=4（舍），t2=8．
∵0≤t≤6，
∴t=4 .