2018_2019学年青岛市市北区九上期末数学试卷

这是一份2018_2019学年青岛市市北区九上期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 太阳光照射一扇矩形的窗户，投在平行于窗户的墙上的影子的形状是
A. 与窗户全等的矩形B. 平行四边形
C. 比窗户略小的矩形D. 比窗户略大的矩形

2. 将方程 x2+8x+9=0 配方后，原方程可变形为
A. x+42=7B. x+42=25
C. x+42=−9D. x+82=7

3. 如图所示，该几何体的俯视图是
A. B.
C. D.

4. 如果两个相似五边形的面积和等于 65 cm2，其中一组对应边的长分别为 3 cm 和 4.5 cm，那么较大五边形的面积为
A. 26 cm2B. 39 cm2C. 20 cm2D. 45 cm2

5. 把抛物线 y=−x2 向左平移 1 个单位，然后向上平移 3 个单位，则平移后抛物线的解析式为
A. y=−x−12−3B. y=−x+12−3
C. y=−x−12+3D. y=−x+12+3

6. 如图，点 C，D 在线段 AB 上，△PCD 是等边三角形，当 △ACP∽△PDB 时，∠APB 的度数为
A. 100∘B. 120∘C. 115∘D. 135∘

7. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，CD 是斜边 AB 上的高，下列线段的比值等于 csA 的值的有 个．
（1）ADAC；（2）ACAB；（3）BDBC；（4）CDBC．
A. 1B. 2C. 3D. 4

8. 已知二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象如图所示，且关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c−m=0 没有实数根，则下列结论：① b2−4ac>0；② ac<0；③ m>2，其中正确结论的个数是 个．
A. 0B. 1C. 2D. 3

二、填空题（共6小题；共30分）
9. 小明和小红在阳光下行走，小明身高 1.75 米，他的影长 2.0 米，小红比小明矮 7 厘米，此刻小红的影长是 米．

10. 若 xx−y=2，则 xy= ．

11. 某校去年对实验器材的投资为 2 万元，预计今明两年的投资总额为 8 万元，若设该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为 x，则可列方程： ．

12. 如图，小明晚上由路灯 A 下的 B 处走到 C 处时，测得影长 CD 的长为 1 m，从 C 处继续往前走 3 m 达到 E 处时，测得影子 EF 的长为 2 m，已知小明的身高为 1.5 m，那么路灯 A 的高度 AB 等于 m．

13. 如表是二次函数 y=ax2+bx+c 的自变量 x 和因变量 y 的对应值表：
x⋯−3−2−10123⋯y⋯1250−3−4−30⋯
若 Ax1,y1，Bx2,y2 都在这个二次函数的图象上，且 3”或“=”）

14. 如图，10 个边长为 1 的正方形摆放在平面直角坐标系中，经过 A1,0 的一条直线将这 10 个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的解析式为 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
15. 如图，有一块三角形的铁皮．
求作：以 ∠C 为一个内角的菱形 CEFG，使顶点 F 在 AB 边上．
要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．

16. 解方程：
（1）x2−2x−2=0；
（2）x+12=4x−12．

17. 小明和小刚做游戏，一个不透明的布袋里装有 4 个大小、质地均相同的乒乓球，球上分别标有数字 1，2，3，4，随机从布袋中摸出一个乒乓球，记下数字后放回布袋里，再随机从布袋中摸出一个乒乓球，若这两个乒乓球上的数字之和能被 4 整除则小明赢；若两个乒乓球上的数字之和能被 5 整除则小刚赢；这是一个对游戏双方公平的游戏吗?请列表格或画树状图说明理由．

18. 小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片 ABCD 放在每格宽度为 12 mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知 α=36∘，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．（精确到 1 mm）（参考数据：sin36∘≈0.60，cs36∘≈0.80，tan36∘≈0.75）

19. 环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示，所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的 1.0 mg/L，环保局要求该企业立即整改，在 15 天以内（含 15 天）排污达标，整改过程中，所排污水中硫化物的浓度 γmg/L 与时间 x（天）的变化规律如图所示，其中线段 AB 表示前 3 天的变化规律，从第 3 天起，所排污水中硫化物的浓度 γ 与时间 x 成反比例关系．
（1）求整改过程中硫化物的浓度 γ 与时间 x 的函数表达式（要求标注自变量 x 的取值范围）；
（2）该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在 15 天以内（含 15 天）排污达标?为什么?

20. 如图，C 地在 A 地的正东方向，因有大山阻隔，由 A 地到 C 地需要绕行附近的 B 地，已知 B 地位于 A 地的北偏东 67∘ 方向，距离 A 地 520 km，C 地位于 B 地南偏西 30∘ 方向，若要打通穿山隧道建高铁，求线段 AC 的长．（结果保留整数）（参考数据：3≈1.73，sin67∘≈1213，cs67∘≈513，tan67∘≈125）

21. 如图，△ABC 中，AB=AC，点 D，O 分别为 BC，AB 的中点，连接并延长 DO 到点 E，使 AE∥BC．
（1）求证：四边形 AEBD 是矩形；
（2）当 △ABC 满足什么条件时，矩形 AEBD 是正方形?证明你的结论．

22. 某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用 30 天的时间销售一种成本为 10 元/件的商品，经过统计得到此商品单价在第 x 天（x 为正整数）销售的相关信息，如表所示：
销售量n件50−x销售单价m元/件20+12x
（1）请计算第几天该商品单价为 25 元/件?
（2）求网店销售该商品 30 天里所获利润 y（元）关于 x（天）的函数关系式；
（3）这 30 天中第几天获得的利润最大?最大利润是多少?

23. （1）探究活动一：
如图 1，正方形 ABCD 和正方形 QMNP，∠M=∠B，M 是正方形 ABCD 的对称中心，MN 交 AB 于 F，QM 交 AD 于 E，线段 ME 与线段 MF 的数量关系是 ．（不必证明，直接给出结论即可）
（2）探究活动二：
如图 2，将上题中的“正方形”改为“矩形”，且 AB=mBC，其他条件不变（矩形 ABCD 和矩形 QMNP，∠M=∠B，M 是矩形 ABCD 的对称中心，MN 交 AB 于 F，QM 交 AD 于 E，探究并证明线段 ME 与线段 MF 的数量关系．
（3）探究活动三：
根据前面的探索和图 3，平行四边形 ABCD 和平行四边形 QMNP 中，若 AB=mBC，∠M=∠B，M 是平行四边形 ABCD 的对称中心，MN 交 AB 于 F，QM 交 AD 于 E，请探究并证明线段 ME 与线段 MF 的数量关系．

24. 如图 1，正方形 ABCD 中，AB=4 cm，点 P 从点 D 出发沿 DA 向点 A 匀速运动，速度是 1 cm/s，同时，点 Q 从点 A 出发沿 AB 方向，向点 B 匀速运动，速度是 2 cm/s，连接 PQ，CP，CQ，设运动时间为 ts0（1）是否存在某一时刻 ts，使得 PQ∥BD?若存在，求出 t 值；若不存在，说明理由；
（2）设 △PQC 的面积为 Scm2，求 S 与 t 之间的函数关系式；
（3）如图 2，连接 AC，与线段 PQ 相交于点 M，是否存在某一时刻 ts，使 S△QCM:S△PCM=3:5?若存在，求出 t 值；若不存在，说明理由．
答案
第一部分
1. A【解析】太阳光照射一扇矩形的窗户，投在平行于窗户的墙上的影子的形状是与窗户全等的矩形．
2. A【解析】x2+8x=−9，
x2+8x+16=7，
x+42=7．
3. C
4. D【解析】设较大五边形与较小五边形的面积分别是 m cm2，n cm2，
则 nm=34.52=49．
因而 n=49m．
根据面积之和是 65 cm2，得到 m+49m=65，
解得：m=45，
即较大五边形的面积为 45 cm2．
5. D
【解析】当 y=−x2 向左平移 1 个单位时，顶点由原来的 0,0 变为 −1,0，
当向上平移 3 个单位时，顶点变为 −1,3，
则平移后抛物线的解析式为 y=−x+12+3．
6. B【解析】∵△ACP∽△PDB，
∴∠A=∠BPD，
∵△PCD 是等边三角形，
∴∠PCD=∠CPD=60∘，
∴∠PCD=∠A+∠APC=60∘，
∴∠APC+∠BPD=60∘，
∴∠APB=∠APC+∠CPD+∠BPD=120∘．
7. C【解析】∵ 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，CD 是斜边 AB 上的高，
∴∠A+∠ACD=90∘，∠ACD+∠BCD=90∘，
∴∠A=∠BCD，
∴csA=ACAB=ADAC=CDBC，
故（1），（2），（4）正确．
8. D【解析】由二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象与 x 轴两个交点，可得 b2−4ac>0，故①正确；
由二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象可知 a<0，c>0，则 ac<0，故②正确；
由二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象可知该函数有最大值，最大值是 y=2，
∵ 关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c−m=0 没有实数根，则 m>2，故③正确．
第二部分
9. 1.92
【解析】根据题意知，小红的身高为 175−7=168（厘米），
设小红的影长为 x 厘米，
则 175200=168x，
解得：x=192，
经检验，x=192 是原方程的解，并且满足题意．
∴ 小红的影长为 1.92 米．
10. 2
【解析】两边都乘 x−y，得 x=2x−2y，
两边都减 x，都加 2y，得 2y=x，
两边都除以 y，得 xy=2．
11. 21+x+21+x2=8
12. 6
【解析】如图，
∵小明的身高小明的影长=路灯的高度路灯的影长，
当小明在 CG 处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即 CDBD=CGBA，
当小明在 EH 处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即 EFBF=EHBA，
∴CDBD=EFBF，
∵CG=EH=1.5 米，CD=1 米，CE=3 米，EF=2 米，
设 AB=x 米，BC=y 米，
∴1y+1=2y+5，
解得 y=3，
经检验，y=3 是原方程的解，并且满足题意．
∵CDBD=CGAB，
∴1.5x=14，解得 x=6，
经检验，x=6 是原方程的解，并且满足题意．
即路灯 A 的高度 AB=6 米．
13. <
【解析】∵ 当 −3当 1 ∴ 当 314. y=98x−98
【解析】如图，将由图中 1 补到 2 的位置，
∵10 个正方形的面积之和是 10，
∴ 梯形 ABCD 的面积只要等于 5 即可，
设 BC=4−x，则 4−x+3×3÷2=5，解得，x=113，
∴ 点 B 的坐标为 113,3，
设过点 A 和点 B 的直线的解析式为 y=kx+b，
可得 k+b=0,113k+b=3, 解得，k=98,b=−98,
即过点 A 和点 B 的直线的解析式为 y=98x−98．
第三部分
15. 如图所示，菱形 CEFG 即为所求．
16. （1）
x2−2x−2=0.x2−2x+1=2+1.x−12=3.x−1=±3.x=1±3.
解得：
x1=1+3,x2=1−3.
（2）
x+12=4x−12.x+12−4x−12=0.x+12−2x−12=0.x+12−2x−22=0.x+1−2x+2x+1+2x−2=0.−x+33x−1=0.
解得：
x1=3,x2=13.
17. 公平，理由如下：列表如下：
共有 16 种等可能的情况，其中和能被 4 整除的有 4 种，能被 5 整除的有 4 种，
∴P小明胜=14，P小刚胜=14，
∵P小明胜=P小刚胜，
∴ 游戏是公平的．
18. 如图，作 BE⊥直线l 于点 E，DF⊥直线l 于点 F．
∵α+∠DAF=180∘−∠BAD=180∘−90∘=90∘，∠ADF+∠DAF=90∘，
∴∠ADF=α=36∘．
根据题意，得 BE=24 mm，DF=48 mm．
在 Rt△ABE 中，sinα=BEAB，
∴AB=BEsin36∘≈240.60=40mm．
在 Rt△ADF 中，cs∠ADF=DFAD，
∴AD=DFcs36∘≈480.80=60mm．
∴ 矩形 ABCD 的周长 =2×40+60=200mm．
19. （1） 分情况讨论：
①当 0≤x≤3 时，设线段 AB 对应的函数表达式为 y=kx+b；
把 A0,10，B3,4 代入得：b=10,3k+b=4,
解得：k=−2,b=10,
∴y=−2x+10；
②当 x>3 时，设 y=mx，
把点 3,4 代入得：m=3×4=12，
∴y=12x；
综上所述：当 0≤x≤3 时，y=−2x+10；当 x>3 时，y=12x．
（2） 能；
理由如下：
令 y=12x=1，则 x=12，
∵3<12<15，
∴ 能在 15 天以内不超过最高允许的 1.0 mg/L．
20. 如图，过点 B 作 BD⊥AC 于点 D，
∵B 地位于 A 地北偏东 67∘ 方向，距离 A 地 520 km，
∴∠ABD=67∘，
∴AD=AB⋅sin67∘≈520×1213=624013=480km，
BD=AB⋅cs67∘≈520×513=260013=200km．
∵C 地位于 B 地南偏东 30∘ 方向，
∴∠CBD=30∘，
∴CD=BD⋅tan30∘=200×33=20033km，
∴AC=AD−CD=480−20033≈480−115=365km．
答：线段 AC 的长为 365 km．
21. （1） ∵AE∥BC，
∴∠EAO=∠DBO，∠AEO=∠BDO，
∵O 是 AB 的中点，
∴AO=BO，
在 △AOE 和 △BOD 中，
∠AEO=∠BDO,∠EAO=∠DBO,AO=BO,
∴△AOE≌△BODAAS，
∴AE=BD，
∴ 四边形 AEBD 是平行四边形，
∵AB=AC，D 是 BC 中点，
∴AD⊥BC，即 ∠ADB=90∘，
∴ 四边形 AEBD 是矩形．
（2） 当 ∠BAC=90∘ 时，矩形 AEBD 是正方形．
理由：
∵∠BAC=90∘，AB=AC，AD 是 BC 边的中线，
∴AD=BD=CD，
∴ 矩形 AEBD 是正方形．
22. （1） 当 m=25 时，20+12x=25，解得：x=10，
∴ 第 10 天时该商品的销售单价为 25 元/件．
（2） y=nm−10=50−x20+12x−10=−12x2+15x+500.
（3） y=−12x2+15x+500=−12x−152+12252,
∴ 当 x=15 时，y 取得最大值，y最大=12252．
答：这 30 天中第 15 天获得的利润最大，最大利润是 12252 元．
23. （1） ME=MF
【解析】理由：如图 1，过点 M 作 MH⊥AB 于 H，MG⊥AD 于 G，连接 AM，
则 ∠MHF=∠MGE=90∘，
∵M 是正方形 ABCD 的对称中心，
∴AM 平分 ∠BAD，
∴MH=MG，
在正方形 ABCD 中，∠DAB=90∘，
∵∠MHA=∠MGA=90∘，
∴∠EMF=∠HMG=90∘，
∴∠FMH=∠EMG，
在 △MHF 和 △MGE 中，
∠FMH=∠EMG,MH=MG,∠MHF=∠MGE,
∴△MHF≌△MGEASA，
∴MF=ME．
（2） ME=mMF．
理由：如图 2，过点 M 作 MG⊥AB 于 G，MH⊥AD 于 H，
则 ∠MHE=∠MGF=90∘，
在矩形 ABCD 中，∠A=90∘，
∴ 在四边形 GMHA 中，∠GMH=90∘，
又 ∵∠EMF=90∘，
∴∠HME=∠GMF，
又 ∵∠MGF=∠MHE=90∘，
∴△MGF∽△MHE，
∴MEMF=MHMG，
又 ∵M 是矩形 ABCD 的对称中心，
∴MG=12BC，MH=12AB，
∵AB=mBC，
∴MHMG=ABBC=m，
∴ME=mMF；
（3） ME=mMF．
理由：如图 3，过点 M 作 MG⊥AB 于 G，MH⊥AD 于 H，
则 ∠MHE=∠MGF=90∘，
在平行四边形 ABCD 中，∠A+∠B=180∘，
∵∠EMF=∠B，
∴∠A+∠EMF=180∘，
又 ∵ 在四边形 AGMH 中，∠A+∠HMG=180∘，
∴∠EMF=∠HMG，
∴∠GMF=∠HME，
又 ∵∠MGF=∠MHE=90∘，
∴△MGF∽△MHE，
∴MEMF=MHMG，
又 ∵M 是矩形 ABCD 的对称中心，
∴MG=12BC，MH=12AB，
∵AB=mBC，
∴MHMG=ABBC=mBCBC=m，
∴ME=mMF．
24. （1） ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4 cm，
由运动知，DP=t cm，AQ=2t cm，
∴AP=4−tcm，BQ=4−2tcm，
存在，
连接 BD，如图 1，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵PQ∥BD，
∴∠ABD=∠AQP，∠APQ=∠ADB，
∴∠APQ=∠AQP，
∴AQ=AP，
∴2t=4−t，
∴t=43．
（2） S=S正方形ABCD−S△APQ−S△BCQ−S△CDP=AB2−12AQ×AP−12BQ×BC−12DP×CD=16−12×2t×4−t−12×4−2t×4−12t×4=16+t2−4t−8+4t−2t=t2−2t+80 （3） 如图 2，过点 C 作 CN⊥PQ 于 N，
∴S△MCQ=12MQ×CN，S△MCP=12MP×CN，
∵S△QCM:S△PCM=3:5，
∴MQPM=35，
∴S△AMQS△AMP=35，
过点 M 作 MG⊥AB 于 G，MH⊥AD 于 H，
∵ 点 M 是正方形 ABCD 的对角线 AC 上的一点，
∴MG=MH，
∴S△AMQ=12AQ×MG，S△APM=12AP×MH，
∴AQAP=35，
∴2t4−t=35，
∴t=1213．
经检验，t=1213 是原方程的解，并且满足实际情况．