2018_2019学年青岛市黄岛区九上期末数学试卷

这是一份2018_2019学年青岛市黄岛区九上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，sinA=32，则 ∠A 的度数是
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘

2. 小华在上午 8 时，上午 9 时，上午 10 时，上午 12 时四次到室外的阳光下观察向日葵影子的变化情况，他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同，那么影子最长的时刻为
A. 上午 8 时B. 上午 9 时C. 上午 10 时D. 上午 12 时

3. 若反比例函数 y=kxk≠0 的图象经过点 P−2,3，则该函数的图象不经过的点是
A. 3,−2B. 1,−6C. −1,6D. −1,−6

4. 若函数 y=x2−2x+b 的图象与 x 轴有两个交点，则 b 的取值范围是
A. b≤1B. b>1C. 0
5. 如图，四边形 ABCD 和 AʹBʹCʹDʹ 是以点 O 为位似中心的位似图形，若 OA:OAʹ=2:3，则四边形 ABCD 与 AʹBʹCʹDʹ 的面积比是
A. 4:9B. 2:5C. 2:3D. 2:3

6. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，∠BAD=60∘，BD=6，则对角线 AC 的长为
A. 33B. 63C. 12D. 123

7. 如图，等边三角形 ABC 的边长为 3，点 P 为 BC 边上一点，且 BP=1，点 D 为 AC 边上一点，若 ∠APD=60∘，则 CD 的长为
A. 12B. 23C. 34D. 1

8. 如图，一块长和宽分别为 30 cm 和 20 cm 的矩形铁皮，要在它的四角截去四个边长相等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的侧面积为 272 cm2，则截去的正方形的边长是
A. 4 cmB. 8.5 cmC. 4 cm 或 8.5 cmD. 5 cm 或 7.5 cm

二、填空题（共6小题；共30分）
9. 已知关于 x 的方程 5x2+kx−6=0 的一个根 x1=2，则 k= ，另一个根为 ．

10. 在 △ABC 中，∠C=90∘，BC=6 cm，tanA=34，则 AC 的长是 cm．

11. 沿一张矩形纸较长两边的中点将纸折叠，所得的两个矩形仍然与原来的矩形相似，则原矩形纸的长、宽之比是 ．

12. 将抛物线 y=2x−12+2 向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位，那么得到的抛物线的表达式为 ．

13. 如图，小军、小珠之间的距离为 2.7 m，他们在同一盏路灯下的影长分别为 1.8 m，1.5 m，已知小军、小珠的身髙分别为 1.8 m，1.5 m，则路灯的高为 m．

14. 如图，抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为直线 x=1，与 x 轴一个交点的坐标为 −1,0，其部分图象如图所示．下列结论：
① ac<0；
② b<0；
③方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1=−1，x2=3；
④当 y>0 时，x 的取值范围是 1其中结论正确的是 （填写正确结论的标号）．

三、解答题（共11小题；共143分）
15. 已知三棱柱的底面是等腰直角三角形，它的俯视图如图所示，画出它的主视图和左视图．

16. 解方程：
（1）5x2=4x；
（2）xx+6=7．

17. 用配方法求二次函数 y=2x2−8x+7 图象的对称轴和顶点坐标．

18. 小亮和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号 1∼4 的四个球（除编号都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字，若两次数字之和大于 5，则小亮胜；若两次数字之和小于 5，则小丽胜，这个游戏对双方公平吗?请说明理由．

19. 某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装 9000 台空调．设每天组装的空调数量为 y（台/天），组装的时间为 x（天）．
（1）直接写出 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）原计划用 60 天完成这一任务，但由于气温提前升高，厂家决定这批空调至少要提前 10 天完成组成，那么装配车间每天至少要组装多少台空调?

20. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 上，DE∥BC，AD=3BD，S△ABC=48，求 S△ADE．

21. 海岛 A 的周围 8 n mile 内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点 B 处测得海岛 A 位于北偏东 67∘，航行 12 n mlie 到达 C 点，又测得小岛 A 在北偏东 45∘ 方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么它有没有触礁的危险?请说明理由．（参考数据：sin67∘≈1213，cs67∘≈513，tan67∘≈125）

22. 已知：如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 C，D 分别作 BD，AC 的平行线，两线相交于点 P．
（1）求证：四边形 CODP 是菱形；
（2）当矩形 ABCD 的边 AD，DC 满足什么关系时，菱形 CODP 是正方形?请说明理由．

23. 某果品超市销售进价为 40 元/箱的苹果，市场调查发现，若每箱以 50 元的价格销售，平均每天销售 90 箱，价格每提高 1 元，平均每天少销售 3 箱．设每箱苹果的销售价为 xx>50（元）时，平均每天的销售利润为 w（元）．
（1）求 w 与 x 之间的函数关系式；
（2）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润?最大利润是多少元?
（3）临近春节，为稳定市场，物价部门规定每箱苹果售价不得高于 58 元，求此时平均每天获得的最大利润是多少元?

24. 【问题】在 1∼nn≥2 这 n 个自然数中，每次取两个数（不分顺序），使得所取两数之和大于 n，共有多少种取法?
（1）【探究】不妨假设有 m 种取法，为了探究 m 与 n 的关系，我们先从简单情形入手，再逐次递进，最后猜想得出结论．
探究一：在 1∼2 这 2 个自然数中，每次取两个数（不分顺序），使得所取两数之和大于 2，共有多少种取法?
根据题意，有下列取法：1+2，共有 1 种取法．
所以，当 n=2 时，m=1．
探究二：在 1∼3 这 3 个自然数中，每次取两个数（不分顺序），使得所取两数之和大于 3，共有多少种取法?
根据题意，有下列取法：1+3，2+3；共有 2 种取法．
所以，当 n=3 时，m=2．
探究三：在 1∼4 这 4 个自然数中，每次取两个数（不分顺序），使得所取两数之和大于 4，共有多少种取法?
根据题意，有下列取法：1+4，2+4，3+4；2+3 共有 3+1=4 种取法．
所以，当 n=4 时，m=3+1=4．
探究四：在 1∼5 这 5 个自然数中，每次取两个数（不分顺序），使得所取两数之和大于 5，共有多少种取法?
根据题意，有下列取法：1+5，2+5，3+5，4+5；2+4，3+4，共有 4+2=6 种取法．
所以，当 n=5 时，m=4+2=6．
探究五：在 1∼6 这 6 个自然数中，每次取两个数（不分顺序），使得所取两数之和大于 6，共有多少种取法?（仿照上述探究方法，写出解答过程）
探究六：在 1∼7 这 7 个自然数中，每次取两个数（不分顺序），使得所取两数之和大于 7，共有 种取法．（直接写出结果）
你不妨继续探究 n=8,9,⋯ 时，m 与 n 的关系．
（2）【结论】在 1∼nn≥2 这 n 个自然数中，每次取两个数（不分顺序），使得所取两数之和大于 n，当 n 为偶数时，共有 种取法；当 n 为奇数时，共有 种取法．
（3）【应用】（1）各边长都是自然数，最大边长为 11 的不等边三角形共有 个；
（2）各边长都是自然数，最大边长为 12 的三角形共有 个．

25. 已知：如图，在 △ABC 中，AB=AC=5 cm，BC=6 cm．点 P 从点 B 出发，沿 BC 方向匀速运动，速度为 1 cm/s；同时，点 Q 从点 A 出发，沿 AC 方向匀速运动，速度为 1 cm/s．过点 P 作 PM⊥BC 交 AB 于点 M，过点 Q 作 QN⊥BC，垂足为点 N，连接 MQ，设运动时间为 ts0（1）当 t 为何值时，点 M 是边 AB 中点?
（2）设四边形 PNQM 的面积为 ycm2，求 y 与 t 的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻 ts，使 S四边形PNQM:S△ABC=4:9?若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由；
（4）是否存在某一时刻 ts，使四边形 PNQM 为正方形?若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. C
2. A【解析】在上午，时间越早，太阳光线与地平面的夹角越小，则物体的影长越长，
所以这四个时刻中，上午 8 时，向日葵的影子最长．
3. D【解析】∵ k=−2×3=−6，3×−2=−6，1×−6=−6，−1×6=−6，−1×−6≠−6，
∴ 点 −1,−6 不在该函数的图象上．
4. D【解析】∵ 函数 y=x2−2x+b 的图象与 x 轴有两个交点，
∴ 方程 x2−2x+b=0 有两个不相等的实数根，
即 Δ=−22−4×1×b=4−4b>0，
解得：b<1．
5. A
【解析】∵ 四边形 ABCD 和 AʹBʹCʹDʹ 是以点 O 为位似中心的位似图形，OA:OAʹ=2:3，
∴DA:DʹAʹ=OA:OAʹ=2:3，
∴ 四边形 ABCD 与四边形 AʹBʹCʹDʹ 的面积比为：232=49．
6. B【解析】∵ 在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，∠BAD=60∘，BD=6，
∴AD=AB，即 △ABD 是等边三角形，
∴AB=AD=CD=BC=6，∠DAC=30∘，
故 AO=6cs30∘=33，
则 AC=63．
7. B【解析】∵∠APC=∠ABP+∠BAP=60∘+∠BAP=∠APD+∠CPD=60∘+∠CPD，
∴∠BAP=∠CPD．
又 ∵∠ABP=∠PCD=60∘，
∴△ABP∽△PCD．
∴ABPC=BPCD，即 32=1CD．
∴CD=23．
8. C【解析】设截去正方形的边长为 x cm，
依题意有 2x30−2x+20−2x=272，
解得 x1=4，x2=8.5．
答：截去正方形的边长是 4 cm 或 8.5 cm．
第二部分
9. −7，x2=−35
【解析】将 x=2 代入原方程，得：5×22+2k−6=0，
∴k=−7．
设方程的另一个根为 x2，
根据题意得：2x2=−65，
∴x2=−35．
10. 8
【解析】∵tanA=BCAC，BC=6 cm，tanA=34，
∴6AC=34，
∴AC=8 cm．
11. 2:1
【解析】如图，
设原来矩形的长为 x，宽为 y，
则对折后的矩形的长为 y，宽为 x2，
∵ 得到的两个矩形都和原矩形相似，
∴x:y=y:x2，
解得 x:y=2:1．
12. y=2x+22−2
【解析】∵ 抛物线 y=2x−12+2 向左平移 3 个单位，
∴ 得到的新的抛物线为：y=2x−1+32+2=2x+22+2．
∵ 抛物线又向下平移 4 个单位，
∴ 得到最终的抛物线的表达式为 y=2x+22+2−4=2x+22−2．
13. 3
【解析】
依题意，得 BC=1.8，FH=1.5，CD=1.8，EF=1.5 .
∴∠H=∠B=45∘ .
∴BO=HO=AO=12BH .
又 CF=2.7 ，
∴BH=6 .
∴AO=3 .
14. ①③
【解析】∵ 抛物线开口向下，
∴a<0，
∵c=3>0，
∴ac<0，
∴ ①正确；
∵ 抛物线的对称轴为直线 x=1，
∴−b2a=1，
∴b=−2a>0，
∴ ②错误；
∵ 抛物线的对称轴为直线 x=1，点 −1,0 关于直线 x=1 的对称点的坐标为 3,0，
∴ 方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1=−1，x2=3，
∴ ③正确；
∴ 当 −10，
∴ ④错误．
第三部分
15. 如图所示：
16. （1）
5x2−4x=0,x5x−4=0,∴x1=0,x2=45.
（2）
x2+6x−7=0,x+7x−1=0,∴x1=−7,x2=1.
17. y=2x2−8x+7=2x2−4x+4−4+7=2x−22−1,
所以二次函数图象的对称轴为直线 x=2，顶点坐标为 2,−1．
18. 这个游戏对双方公平．
理由：列表如下：
所有等可能的情况有 16 种，其中数字之和大于 5 的情况有 2,4，3,3，3,4，4,2，4,3，4,4 共 6 种，其中数字之和小于 5 的情况有 1,1，1,2，1,3，2,1，2,2，3,1 共 6 种，
故小亮获胜的概率为：616=38，则小丽获胜的概率为：616=38，
∵38=38，
∴ 这个游戏对双方公平．
19. （1） y=9000x；
【解析】∵ 某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装 9000 台空调，
设每天组装的空调数量为 y（台/天），组装的时间为 x（天），
∴xy=9000，故 y=9000x；
（2） 由题意可得：0解得：0对于函数 y=9000x，
∵k=9000>0，
∴ 当 0 ∴y≥900050=180．
答：装配车间每天至少要组装 180 台空调．
20. ∵AD=3BD，
∴ADAB=34，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=ADAB2=916，
∴S△ADE=916S△ABC=27．
21. 如图，作 AD⊥BC，交 BC 的延长线于 D，
设 AD 为 x n mile，
由题意得，∠B=90∘−67∘=23∘，∠ACD=90∘−45∘=45∘，
则 CD=AD⋅tan45∘=xmile，BD=AD⋅tan67∘≈125xmile，BD−CD=BC，
由题意得，125x−x=12，
解得 x=607，
∵8 n<607 n，
∴ 渔船没有触礁的危险．
22. （1） ∵DP∥AC，CP∥BD，
∴ 四边形 CODP 是平行四边形，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴BD=AC，OD=12BD，OC=12AC，
∴OD=OC，
∴ 四边形 CODP 是菱形；
（2） 当矩形 ABCD 的边 AD=DC，菱形 CODP 是正方形，理由：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AO=CO，
又 ∵AD=DC，
∴DO⊥AC，
∴∠DOC=90∘，
∴ 矩形 CODP 是正方形．
23. （1） w=x−4090−3x−50=−3x2+360x−9600=−3x−602+1200.
（2） ∵x>50，且 90−3x−50>0，
∴50 ∴ 当 x=60 时，w 取得最大值，最大值为 1200，
答：当每箱苹果的销售价位 60 元时，可以获得最大利润，最大利润是 1200 元．
（3） ∵50 ∴50 ∵a=−3<0，开口向下，对称轴为直线 x=60，
∴ 当 x<60 时，w 随 x 的值增大而增大，
∴ 当 x=58 时，w 有最大值，w最大=1188，
答：此时平均每天获得的最大利润是 1188 元．
24. （1） 探究五：
根据题意，有下列取法：1+6，2+6，3+6，4+6；2+5，3+5，4+5；3+4，共有 5+3+1=9 种取法．
所以，当 n=6 时，m=9．
探究六：
12
【解析】根据题意，有下列取法：1+7，2+7，3+7，4+7，5+7，6+7；2+6，3+6，4+6，5+6；3+5，4+5；共有 6+4+2=12 种取法．
所以，当 n=7 时，m=12．
（2） 1+3+5+⋯+n−1；2+4+6+⋯+n−1
【解析】根据以上计算可得：
当 n 为偶数时，共有 1+3+5+⋯+n−1 种取法（或者 n24）．
当 n 为奇数时，共有 2+4+6+⋯+n−1 种取法（或者 n2−14）．
（3） 30；53
【解析】（1）因为最大边长为 11．
设另两边为 a，b，a≠b≠11．
所以另两边长可能为：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．
因为 a+b>11．
所以共有：112−14=30（种）．
（2）因为最大边长为 12．
设另两边为 a，b．
所以另两边长可能为：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11．
因为 a+b>12．
所以不等边三角形共有：1224=36（个）．
等腰三角形有：①底为 12，腰长分别为 11，10，9，8，7，一共 5 个，
②腰为 12，底为 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，一共 12 个．
综上所述，一共有 36+5+12=53（个）．
25. （1） 如图，过点 A 作 AD⊥BC 于 D．
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BD=CD=3，AD=4，
∵PM⊥BC，
∴PM∥AD，
∴BMAB=BPBD，
∵ 点 M 是 AB 的中点，
∴BM=12AB，
∴BPBD=12，
∵BP=t，
∴t3=12，
∴t=32．
（2） ∵∠B=∠B，∠MPB=∠ADB=90∘，
∴△MBP∽△ABD，
∴MPAD=BPBD，
∴MP4=t3，
∴MP=43t，
同理：△QCN∽△ACD，
∴CQAC=QNAD=CNCD，
∴CQ=5−t，
∴5−t5=QN4=CN3，
∴QN=455−t=4−45t，CN=3−35t，
∴PN=6−t−3+35t，
∴y=S四边形PNQM=12MP+QN⋅PN=1243t+4−45t3−25t=−875t2+60 （3） 存在，理由：假设存在 t，使 S四边形PNQM:S△ABC=4:9，
∴y=49S△ABC，
∵S△ABC=12BC⋅AD=12，
∴−875t2+6=49×12，
∴t1=−52（舍去），t2=52，
即：存在 t=52 时，S四边形PNQM:S△ABC=4:9．
（4） 不存在，理由：假设存在，使四边形 PNQM 为正方形，
∴PM=QN，PM=PN，
当 PM=QN 时，43t=4−45t，
∴t=158，
∴PM=43t=52，PN=3−25t=94，
∴PM≠PN，
∴ 不存在某一时刻 t，使四边形 PNQM 为正方形．