2018-2019学年山东省青岛市崂山区九上期末数学试卷

这是一份2018-2019学年山东省青岛市崂山区九上期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如图所示的几何体，它的左视图是
A. B.
C. D.

2. 在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下
A. 小明的影子比小强的影子长B. 小明的影子比小强的影子短
C. 小明的影子和小强的影子一样长D. 无法判断谁的影子长

3. 如果两个相似三角形的相似比是 1:2，那么它们的周长比是
A. 2:1B. 1:4C. 1:2D. 1:2

4. 如图，已知一次函数 y=ax+b 和反比例函数 y=kx 的图象相交于 A−2,y1，B1,y2 两点，则不等式 ax+bA. x<−2 或 0C. 01

5. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送 1056 张照片，如果全班有 x 名同学，根据题意，列出方程为
A. xx+1=1056B. xx−1=1056×2
C. xx−1=1056D. 2xx+1=1056

6. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=6，AC=2，CD⊥AB 于 D，设 ∠ACD=α，则 csα 的值为
A. 223B. 22C. 22D. 13

7. 如图是二次函数 y=ax2+bx+ca,b,c是常数,a≠0 图象的一部分，与 x 轴的正半轴交点在点 2,0 和 3,0 之间，对称轴是 x=1．对于下列说法：① abc<0；② 2a+b=0；③ a−b+c=0；④点 3,y1，−2,y2 都在抛物线上，则有 y1>y2；⑤ 当−10，其中正确的是
A. ①②④B. ①②⑤C. ②③④D. ③④⑤

8. 如图，将 △ABC 沿着过 AB 中点 D 的直线折叠，使点 A 落在 BC 边上的 A1 处，称为第 1 次操作，折痕 DE 到 BC 的距离记为 h1，还原纸片后，再将 △ADE 沿着过 AD 中点 D1 的直线折叠，使点 A 落在 DE 边上的 A2 处，称为第 2 次操作，折痕 D1E1 到 BC 的距离记为 h2，按上述方法不断操作下去 ⋯ 经过第 2018 次操作后得到的折痕 D2017E2017 到 BC 的距离记为 h2018，若 h1=1，则 h2018 的值为
A. 2−122017B. 122017C. 1−122016D. 2−122016

二、填空题（共6小题；共30分）
9. 在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的 n 个小球，其中有 5 个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球，以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表：
摸球试验次数100100050001000050000100000摸出黑球次数46487250650082499650007
根据列表，可以估计出 n 的值是 ．

10. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，某家快递公司今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为 10 万件和 12.1 万件，该公司每月的投递总件数的平均增长率为 ．

11. 将矩形纸片 ABCD 按如图方式折叠，BE，CF 为折痕，折叠后点 A 和点 D 都落在点 O 处．若 △EOF 是等边三角形，则 ABAD 的值为 ．

12. 如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1 m 处达到最高，高度为 3 m，水柱落地处离池中心 3 m，水管的长为 ．

13. 给定一个边长为 3 的正方形，存在一个矩形，使它的周长和面积分别是这个正方形周长和面积的 2 倍，则这个矩形较长边的边长为 ．

14. 如图，在正方形 ABCD 中，∠BAC 的平分线交 BC 边于 G，AG 的中垂线与 CB 的延长线交于 E，与 AB，AC，DC 分别交于点 M，N，F，下列结论：① tan∠E=33，② △AGC≌△EMG，③四边形 AMGN 是菱形，④ S△CFN=S四边形AMGN，其中正确的是 （填序号）．

三、解答题（共10小题；共130分）
15. 已知：△ABC 三个顶点的坐标分别为 A−2,−2，B−5,−4，C−1,−5．以点 O 为位似中心，将 △ABC 放大为原来的 2 倍，得到 △A1B1C1，请在第一象限画出 △A1B1C1，并写出点 B1 的坐标．

16. 解答下面问题：
（1）解下列方程：x+1x+2=2x+4．
（2）若抛物线 y=x2+3x+a 与 x 轴有交点，求实数 a 的取值范围．

17. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，且 a=7，c=72，求出直角三角形的其他元素．

18. 为弘扬中华优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》，《大学》，《中庸》（依次用字母 A，B，C 表示这三个材料），将 A，B，C 分别写在 3 张完全相同的不透明卡片的正面上，背面朝上洗匀后放在桌面上，比赛时甲同学先从中随机抽取一张卡片，记下内容后放回，洗匀后，再由乙同学从中随机抽取一张卡片，甲，乙两同学按各自抽取的内容进行诵读比赛．请用列表或画树状图的方法求甲，乙两同学诵读两个不同材料的概率．

19. 如图，1 号楼在 2 号楼的南侧，楼间距为 AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为 32.3∘，1 号楼在 2 号楼墙面上的影高为 CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为 55.7∘，1 号楼在 2 号楼墙面上的影高为 DA．已知 CD=35 m．请求出两楼之间的距离 AB 的长度（结果保留整数）（参考数据：sin32.3∘≈0.53，cs32.3∘≈0.85，tan32.3∘≈0.63，sin55.7∘≈0.83，cs55.7∘≈0.56，tan55.7∘≈1.47）

20. 如图，矩形 ABCD 的顶点 A，B 在 x 轴的正半轴上，反比例函数 y=kx 在第一象限内的图象与直线 y=34x 交于点 D，且反比例函数 y=kx 交 BC 于点 E，AD=3．
（1）求 D 点的坐标及反比例函数的关系式；
（2）若矩形的面积是 24，请写出 △CDE 的面积（不需要写解答过程）．

21. 已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，BC=AC，E，F 分别是 AB，CD 的中点，连接 CE 并延长交 DA 的延长线于 M，连接 AF 并延长交 BC 的延长线于 N．
（1）求证：△ABN≌△CDM；
（2）当平行四边形 ABCD 的边或角满足什么关系时，四边形 AECF 是正方形?请说明理由．

22. 某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20 元/件，试营销阶段发现：当销售单价是 25 元时，每天的销售量为 250 件，销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 件．
（1）求出商场每天销售这种文具的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；
（2）求每天的销售利润 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；
（3）商场制定了销售计划，规定每天销售量至少是 200 件，为了保证销售量，销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大，最大利润是多少?

23. 问题提出：求 n 个相同的长方体（相邻面的面积不相同）摆放成一个大长方体的表面积．
问题探究：探究一：
为了研究这个问题，同学们建立了如下的空间直角坐标系：空间任意选定一点 O，以点 O 为端点，作三条互相垂直的射线 x，y，z．这三条互相垂直的射线分别称作 x 轴，y 轴，z 轴，统称为坐标轴，它们的方向分别为 x（水平向前）、 y（水平向右）、 z（竖直向上）方向．
将相邻三个面的面积记为 S1，S2，S3，且 S1（1）如图 4 是由若干个单位长方体码放的一个几何体的三视图，则这种码放方式的有序数组为 ．组成这个几何体的单位长方体的个数为 个．
（2）探究二：为了探究有序数组 x,y,z 的几何体的表面积公式 Sx,y,z，同学们针对若干个单位长方体进行码放，制作了下列表格 几何体有序数组单位长方体的个数表面上表面积为S1的个数表面上表面积为S2的个数表面上表面积为S3的个数表面积1,1,112222S1+2S2+2S31,2,124244S1+2S2+4S33,1,132662S1+6S2+6S32,1,244844S1+8S2+4S31,5,151021010S1+2S2+10S31,2,36 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 请将上面表格补充完整：当单位长方体的个数是 6 时，表面上面积为 S1 的个数是 ；表面上面积为 S2 的个数是 ；表面上面积为 S3 的个数是 ；表面积为 ．
（3）根据以上规律，请写出有序数组 x,y,z 的几何体表面积计算公式 Sx,y,z= （用 x，y，z，S1，S2，S3 表示）．
（4）同学们研究了当 S1=2，S2=3，S3=4 时，用 3 个单位长方体码放的几何体中，有三种码放的方法，有序数组分别为 1,1,3，1,3,1，3,1,1．而 S1,1,3=38，S1,3,1=42，S3,1,1=46．容易发现个数相同的长方体，由于码放的方法不同，组成的几何体的表面积就不同．
拓展应用：
要将由 20 个相同的长方体码放的几何体进行打包，其中每个长方体的长是 8，宽是 5，高是 6．为了节约外包装材料，请直接写出使几何体表面积最小的有序数组，并写出这个最小面积（不需要写解答过程）．（缝隙不计）

24. 已知：△EFP 和矩形 ABCD 如图①摆放（点 C 与点 E 重合），点 B，CE，F 在同一直线上，AB=3 cm，BC=9 cm，EF=8 cm，PE=PF=5 cm，如图②，△EFP 从图①的位置出发，沿 CB 方向匀速运动，速度为 2 cm/s，当点 F 与点 C 重合时 △EFP 停止运动停止．设运动时间为 ts 0（1）当 0（2）当 2（3）当 2（4）连接 BD，在运动过程中，当 BD 与 EP 相交时，设交点为 O，当 t= 时；O 在 ∠BAD 的平分线上．（不需要写解答过程）
答案
第一部分
1. D【解析】从左边看是等宽的上下两个矩形，上边的矩形小，下边的矩形大，两矩形的公共边是虚线．
2. D【解析】在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，所以无法判断谁的影子长．
3. D【解析】∵ 两个相似三角形的相似比是 1:2，
∴ 这两个相似三角形的周长比是 1:2．
4. D【解析】观察函数图象，发现：当 −21 时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
∴ 不等式 ax+b1．
故选：D．
5. C
【解析】∵ 全班有 x 名同学，
∴ 每名同学要送出 x−1 张；
又 ∵ 是互送照片，
∴ 总共送的张数应该是 xx−1=1056．
6. A【解析】∵∠C=90∘，AB=6，AC=2，
∴BC=AB2−AC2=42，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90∘，
∴∠A+∠ACD=∠A+∠B=90∘，
∴∠ACD=∠B=α，
∴csα=csB=BCAB=426=223．
7. A【解析】由图象可得，a<0，b>0，c>0，
则 abc<0，故①正确，
∵−b2a=1，
∴2a+b=0，故②正确，
∵ 函数图象与 x 轴的正半轴交点在点 2,0 和 3,0 之间，对称轴是 x=1，
∴ 函数图象与 x 轴的另一个交点在点 0,0 和点 −1,0 之间，
∴ 当 x=−1 时，y=a−b+c<0，故 ③错误，
∵ 点 3,y1，−2,y2 都在抛物线上，对称轴为 x=1，
∴y1>y2，故④正确，
∵ 函数图象与 x 轴的交点没有具体说明交点的坐标，
∴ 当 −10 不一定成立，故⑤错误．
8. A【解析】连接 AA1．
由折叠的性质可得：AA1⊥DE，DA=DA1，
又因为 D 是 AB 中点，
所以 DA=DB，
所以 DB=DA1，
所以 ∠BA1D=∠B，
所以 ∠ADA1=2∠B，
又因为 ∠ADA1=2∠ADE，
所以 ∠ADE=∠B，
所以 DE∥BC，
所以 AA1⊥BC，
所以 AA1=2，
所以 h1=2−1=1，
同理 h2=2−12，h3=2−12×12=2−122，
⋯
所以经过第 n 次操作后得到的折痕 Dn−1En−1 到 BC 的距离 hn=2−12n−1．
所以 h2018=2−122017．
第二部分
9. 10
【解析】因为通过大量重复试验后发现，摸到黑球的频率稳定于 0.5，
所以 5n=0.5，
解得 n=10．
10. 10%．
【解析】设该公司每月的投递总件数的平均增长率为 x，
根据题意得：101+x2=12.1，
解得：x1=0.1=10%，x2=−2.1（不合题意，舍去）．
该公司每月的投递总件数的平均增长率为 10%．
故答案为：10%．
11. 33
12. 2.25 m
【解析】由于在距池中心的水平距离为 1 m 时达到最高，高度为 3 m，
则设抛物线的解析式为：
y=ax−12+30≤x≤3，
代入 3,0 求得：a=−34．
将 a 值代入得到抛物线的解析式为：
y=−34x−12+30≤x≤3，
令 x=0，则 y=94=2.25．
则水管长为 2.25 m．
13. 6+32
【解析】设矩形较长边的边长为 xx>6，则较短边的边长为 3×4−x，
由题意得：x3×4−x=2×3×3，
整理得：x2−12x+18=0，
解得：x1=6+32，x2=6−32（不合题意，舍去）．
14. ②③④
【解析】∵ 在正方形 ABCD 中，∠BAC 的平分线交 BC 边于 G，
∴∠BAG=∠CAG=12∠BAC=22.5∘，
∵∠ABC=90∘，
∴∠AGB=90∘−22.5∘=67.5∘，
∵AG 的中垂线与 CB 的延长线交于 E，
∴AM=MG，AN=NG，∠E=90∘−∠AGB=22.5∘，
∴tan∠E=33 错误，即①错误；
∵∠AMN=∠ANM=90∘−22.5∘=67.5∘，
∴AM=AN，
∴AM=GM=NG=AN，
∴ 四边形 AMGN 是菱形，即③正确；
∵ 四边形 AMGN 是菱形，
∴MG∥AC，AB∥NG，
∴∠ACG=∠MGE=45∘，∠NGC=∠ABC=90∘，
∴GC=GN=GM，
∵∠GAC=∠E=22.5∘，
∴△AGC≌△EMGAAS，即②正确；
由题意 △AMN∽△CFN，
∴S△AMNS△CFN=ANNC2=NGNC2=122=12，
∴S△CFN=2S△AMN=S四边形AMGN，即④正确．
故答案为：②③④．
第三部分
15. △A1B1C1 如图所示，点 B1 的坐标为 10,8．
16. （1）
x2+3x+2=2x+4.x2+x−2=0.x=1或x=−2.
（2） 抛物线 y=x2+3x+a 与 x 轴有交点，
所以 Δ=9−4a≥0，
所以 a≤94．
17. ∵ 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，且 a=7，c=72，a2+b2=c2，
可得 b=7．
∴a=b．
∴∠A=∠B．
∵∠A+∠B=90∘，
∴∠A=∠B=45∘．
故这个直角三角形的其他元素为：b=7，∠A=45∘，∠B=45∘．
18. 画树状图为：
共有 9 种等可能的结果数，其中甲，乙两同学诵读两个不相同材料的结果数为 6，
所以甲，乙两同学诵读两个不相同材料的概率 =69=23．
19. 过点 C 作 CE⊥PB，垂足为 E，过点 D 作 DF⊥PB，垂足为 F，
则 ∠CEP=∠PFD=90∘，
由题意可知：设 AB=x，
在 Rt△PCE 中，tan32.3∘=PEx，
所以 PE=x⋅tan32.3∘，
同理可得：在 Rt△PDF 中，tan55.7∘=PFx，
所以 PF=x⋅tan55.7∘，
由 PF−PE=EF=CD=35，
可得 x⋅tan55.7∘−x⋅tan32.3∘=35，
解得：x=42．
所以楼间距 AB 的长度约为 42 m．
20. （1） 根据题意得：点 D 的纵坐标为 3，
把 y=3 代 入 y=34x 得：34x=3，
解得：x=4，
即点 D 的坐标为：4,3，
把点 D4,3 代入 y=kx 得：3=k4，
解得：k=12，
即反比例函数的关系式为：y=12x．
（2） 8．
【解析】设线段 AB，线段 CD 的长度为 m，
根据题意得：3m=24，
解得：m=8，
即点 B，点 C 的横坐标为：4+8=12，
把 x=12 代入 y=12x 得：y=1，
即点 E 的坐标为：3,1，
线段 CE 的长度为 2，
S△CDE=12CE×CD=12×2×8=8.
21. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，∠B=∠D，
∴E，F 分别是 AB，CD 的中点，
∴AE=12AB，CF=12CD，
∴AE=CF，
∵AE∥CF，
∴ 四边形 AECF 是平行四边形，
∵AC=CB，
∴CE⊥AB，
∴∠AEC=90∘，
∴ 四边形 AECF 是矩形，
∴∠BAN=∠DCM=90∘，
∵ 在 △ABN 与 △CDM 中，∠BAN=∠DCM,AB=CD,∠B=∠D,
∴△ABN≌△CDMASA；
（2） 当 ∠B=45∘ 时，四边形 AECF 是正方形，
理由：∵BC=AC，
∴∠B=∠BAC=45∘，
∵E 是 AB 的中点，
∴CE⊥AB，
∴AE=EC，
∴ 矩形 AECF 是正方形．
22. （1） 根据题意知，y=250−10x−25=−10x+500；
（2） w=−10x+500x−20=−10x2+700x−10000；
（3） w=−10x2+700x−10000=−10x−352+2250，
∵y≥200，
∴−10x+500≥200，
解得：x≤30，
∵a=−10<0，
∴ 当 x≤35 时，w 随 x 的增大而增大，
∴ 当 x=30 时，w 取得最大值，最大值为 2000，
答：销售单价为 30 元时，该文具每天的销售利润最大，最大利润是 2000 元．
23. （1） 1,2,3；6
【解析】根据如图 4 中主视图知，摆放的长方体共有两列三层，由左视图知长方体共一排，根据题中所给的标示法，则这种码放方式的有序数组为 1,2,3；
组成这个几何体的单位长方体的个数为 1×2×3=6（个）．
故答案 1,2,3，6．
（2） 12；6；4；12S1+6S2+4S3
【解析】由题意知，当几何体有序数组 1,2,3 时，表示几何体码放了 1 排 2 列 3 层，单位长方体的个数为 6 个，
∴ 表面上面积为 S1 的个数为 12 个，表面上面积为 S2 的个数 6 个，表面上面积为 S3 的个数 4 个，表面积为：12S1+6S2+4S3．
故答案为：12，6，4，12S1+6S2+4S3；
（3） 2yzS1+2xzS2+2xyS3
【解析】当有序数组 x,y,z 时，
表面上面积为 S1 的个数为 2yz 个，表面上面积为 S2 的个数 2xz 个，表面上面积为 S3 的个数 2xy 个，
∴ 该几何体表面积计算公式 Sx,y,z=2yzS1+2xzS2+2xyS3，
故答案 2yzS1+2xzS2+2xyS3．
（4） 当 S1=2，S2=3，S3=4 时，Sx,y,z=2yzS1+xzS2+xyS3=22yz+3xz+4xy，
要使 Sx,y,z 的值最小，不难看出 x，y，z 应满足 x≤y≤z （ x，y，z 为正整数），
∵ 将相邻三个面的面积记为 S1，S2，S3，且 S1 ∴ S1=30，S2=40，S3=48．
∴ 满足要求的组合有 1,1,20，1,2,10，1,4,5，2,2,5．
∵ S1,1,20=2×30×20+2×40×20+2×48=2896，
S1,2,10=2×30×2×10+2×40×10+2×48×2=2192，
S1,4,5=2×30×4×5+2×40×5+2×48×4=1984，
S2,2,5=2×30×2×5+2×40×2×5+2×48×4=1786，
∴ 几何体表面积最小的有序数组为 2,2,5，最小面积为 S2,2,5=1786．
24. （1） 2t；32t
【解析】如图，过点 P 作 PH⊥EF，垂足为 H，
∵EF=8 cm，PE=PF=5 cm，PH⊥EF，
∴EH=HF=4 cm，
∴PH=EP2−EH2=3 cm，
∵△EFP 沿 CB 方向匀速运动，速度为 2 cm/s，
∴CE=2t，
∵tan∠PEH=PHEH=MCEC，
∴34=MC2t，
∴MC=32t，
故答案为：2t，32t．
（2） 如图，过点 P 作 PH⊥BC 于点 H，
由（1）可知：PH=3 cm，EH=HF=4 cm，
∴S△PEF=12×8×3=12，
∵CF=EF−EC，
∴CF=8−2t，
∵tan∠PFE=PHHF=CNCF=34,
∴CN=38−2t4，
∴y=S△PEF−S△CNF=12−12×8−2t×348−2t=−32t2+12t−12．
（3） ∵S四边形EPNC:S矩形ABCD=1:4，
∴14×3×9=−32t2+12t−12，
∴2t2−16t+25=0，
∴t=4±142，
∵2 ∴t=4−142．
（4） 318
【解析】如图，过点 O 作 OM⊥AD，ON⊥AB，垂足分别为点 M，点 N，
∵OM⊥AD，ON⊥AB，∠BAD=90∘，
∴ 四边形 ANOM 是矩形，
∴AM=ON，
∵AO 平分 ∠DAB，OM⊥AD，ON⊥AB，
∴OM=ON，
∵S△ABD=S△ABO+S△AOD，
∴3×92=12×3×ON+12×9×OM，
∴ON=OM=94=AM，
∵AD∥BC，
∴∠APE=∠PEC，
∵tan∠APE=tan∠PEC=34=OMMP，
∴MP=3，
∴PD=AD−AM−MP=154，
∵ON∥AD，
∴BOBD=NOAD=949=14，
∴BOOD=13，
∵AD∥BC，
∴BOOD=BEPD，
∴BE=13PD=54，
∴EC=BC−EB=314，
∴t=3142=318，
故答案为：318．