_山东省青岛市城阳区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份_山东省青岛市城阳区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列式子是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣5x﹣3B．x2﹣1＝yC．5x+1＝0D．7﹣x（x﹣1）＝5
2．关于x的方程x2﹣6x＝0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．只有一个实数根
3．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送2035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A．x （x﹣1）＝2035B．x （x﹣1）＝2035×2
C．x （x+1）＝2035D．2x （x+1）＝2035
4．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率
B．任意写一个整数，它能被2整除的概率
C．掷一枚质地均匀正六面体骰子，向上的面点数是2的概率
D．暗箱中有1个红球和2个白球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是白球的概率
5．如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC上点，DE∥BC，EF∥AB，AD：DB＝3：2，BC＝30cm，则BF＝（ ）cm．
A．12B．15C．18D．21
6．如图，菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，E、F分别是AB、BC边上的中点，连接EF，若菱形ABCD的周长为24cm，BD＝8cm，则EF＝（ ）cm．
A．2B．4C．4D．28
7．输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如下表：
分析表格中的数据，估计方程（x+7）2﹣758＝0的一个正数解x的大致范围为（ ）
A．20.6＜x＜20.7B．20.5＜x＜20.6
C．20.4＜x＜20.5D．20.3＜x＜20.4
8．如图，在矩形ABCD中，AD＝6cm，∠DBC＝30°，动点M、N分别在BD、BC上，则MN+MC的最小值是（ ）
A．2B．3C．6D．3
二、填空题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
9．一元二次方程x（x+5）＝x+5的解为 ．
10．已知＝，则＝ ．
11．在一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的n个小球，其中15个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，之后把它放回袋中，这称为一次摸球试验．搅匀后，再继续摸出一球．以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表：
根据列表，可以估计出n的值是 ．
12．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，某家快递公司今年七月份与九月份完成投递的快递总件数分别为10万件和14.4万件，则该公司每月投递快递的总件数的平均增长率为 ．
13．如图，在△ABC中，∠CBD＝∠A，CD＝2cm，AD＝6cm，则CB＝ cm．
14．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，AE＝3CE，DE＝6cm，AD＝ cm．
15．如图，社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示，已知停车场的长为26米，宽为14米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道．已知铺花砖的面积为160平方米，求通道的宽是 米．
16．如图，在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC边于G，AG的中垂线与CB的延长线交于E，与AB、AC、DC分别交于点M，N，F，若BG＝2，下列结论：①＝；②△AGC≌△EMG；③四边形AMGN是菱形，④S正方形ABCD＝12+8．其中正确的是 ．（填序号）．
三、作图题（本题满分4分）尺规作團，不写作法，保窗作團痕迹，
17．已知：如图，有一块直角三角形的铁片，∠C＝90°．
求作：以∠C为一个内角的正方形CEFG，使顶点在AB边上．
四、解答题（本题共有8道小题，滴分68分）
18．解下列方程：
（1）x2﹣4x+3＝0（配方法）
（2）3x2﹣2x﹣1＝0
19．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+3x﹣3＝0有两个不相等实数根，求k的取值范围．
20．在四张编号为A，B，C，D的卡片（除编号外，其余完全相同）的正面分别写上如图所示正整数后，背面朝上，洗匀放好，现从中随机抽取一张，不放回，再从剩下的卡片中随机抽取一张．
（1）请用树状图或列表的方法表示两次抽取卡片的所有可能出现的结果（卡片用A，B，C，D表示）；
（2）我们知道，满足a2+b2＝c2的三个正整数a，b，c成为勾股数，求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率．
21．如图，在△ABC中，D、E分别在AC、AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥ED于点F，∠EAF＝∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC．
（2）若AD＝5，AB＝7，求的值．
22．如图，已知△ABC中，AB＝6，BC＝2，AC＝8，BD是AC边上的中线，E是BC的中点，过点B的直线BF∥AC交DE的延长线于F，连接CF．
（1）求证：BF＝AD．
（2）判断四边形BDCF的形状，并证明你的结论．
23．为了加快发展新能源和清结能源，助力实现“双碳”目标，大力发展高效光伏发电关键零部件制造．青岛上合示范区某工厂生产的某种零件按供需要求分为8个档次．若生产第一档次（最低档次）的产品，一天可生产38件，每件的利润为12元，每提高一个档次，每件的利润增加3元，每天的产量将减少2件．请解答下列问题，设产品的档次（每天只生产一个档次的产品）为x，若该产品一天的总利润为756元，求这天生产产品的档次x的值．
24．在不透明的口袋中装有红、黄、白三种颜色的小球各20个（除颜色外完全相同），现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需摸出多少个小球？为了找到解决问题的办法，我们可把上述问题简单化：
（1）我们首先考虑最简单的情况：即要确保从口袋中拱出的小球至少有2个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
假若从袋中随机摸出3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中最不利的情况就是它们的颜色各不相同，那么只能再从袋中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3＝4（如图①）；
（2）若要确保从口袋中摸出的小球至少有3个是同色的啊？
我们只需在（1）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有3个小球同色，即最少需摸出小球的个数是1+3×2＝7（如图②）
（3）若要确保从口袋中摸出的小球至少有4个是同色的呢？
我们只需在（2）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有4个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×3＝10（如图③）……
（10）若要确保从口袋中摸出的小球至少有10个是同色的呢？
我们只需在（9）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有10个小球同色，即最少需摸出小球的个数是： （如图⑩）
模型拓展：
（1）在不透明的口袋中装有红、黄、白、蓝四种颜色的小球各20个（除颜色外完全相同），现从袋中随机摸球，若要确保摸出的小球至少有n个同色（n＜20），则最少需摸出小球的个数是 ．
模型应用：
（2）A校共有30个教学班，每班的学生数都是40人，为了解全校学生体质情况，学校打算做一次抽样调查，如果要确保全校抽取出来的学生中至少有10人在同一班级．那么全校最少需抽取 名学生．
（3）B校初三级部有18个教学班，每班40人，某次体制抽测中，共从初三级部抽测了361人，至少 人在自同一个班．
25．已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AD＝5，AB＝5，DC＝4．点E从点D出发，沿线段DA以每秒2个单位长度的速度向点A移动；同时，点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒4个单位长度的速度移动．当B，E，F三点共线时，两点同时停止运动，设点E移动的时间为t秒．
（1）求线段BC的长；
（2）当t为何值时，两点同时停止运动；
（3）当t为何值时，CE＝CF；
（4）是否存在某一时刻t，使得∠BEC＝∠BFC？若存在求出t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、单选题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
1．下列式子是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣5x﹣3B．x2﹣1＝yC．5x+1＝0D．7﹣x（x﹣1）＝5
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
解：A．x2﹣5x﹣3是代数式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．x2﹣1＝y是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．5x+1＝0是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．7﹣x（x﹣1）＝5是一元二次方程，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
2．关于x的方程x2﹣6x＝0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．只有一个实数根
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
解：∵Δ＝（﹣6）2﹣4×1×0＝36＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
3．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送2035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A．x （x﹣1）＝2035B．x （x﹣1）＝2035×2
C．x （x+1）＝2035D．2x （x+1）＝2035
【分析】由全班有x名同学，可得出每名同学要送出（x﹣1）张照片，再结合全班共送2035张照片，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出（x﹣1）张照片，
又∵全班共送2035张照片，
∴根据题意，可列出方程x（x﹣1）＝2035．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率
B．任意写一个整数，它能被2整除的概率
C．掷一枚质地均匀正六面体骰子，向上的面点数是2的概率
D．暗箱中有1个红球和2个白球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是白球的概率
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.17附近波动，即其概率P＝0.17，计算四个选项的概率，约为0.17者即为正确答案．
解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意；
B、任意写一个整数，它能被2整除的概率的概率为，不符合题意；
C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是2的概率是≈0.17，符合题意；
D、暗箱中有1个红球和2个白球，它们只有颜色上的区别，从中任取一个球是白球的概率，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．
5．如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC上点，DE∥BC，EF∥AB，AD：DB＝3：2，BC＝30cm，则BF＝（ ）cm．
A．12B．15C．18D．21
【分析】首先可证四边形BFED为平行四边形，要求BF，只需求DE，再根据△ADE∽△ABC，即可求出DE的长度．
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DE：BC＝AD：AB，
∵AD：DB＝3：2，
∴DE：BC＝AD：AB＝3：5，
∵BC＝30cm，
∴DE＝18cm，
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形BFED为平行四边形，
∴BF＝DE＝18cm．
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．
6．如图，菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，E、F分别是AB、BC边上的中点，连接EF，若菱形ABCD的周长为24cm，BD＝8cm，则EF＝（ ）cm．
A．2B．4C．4D．28
【分析】由菱形的四条边相等推知AB＝6cm，由菱形的对角线互相垂直平分推知OB＝4m；在直角△AOB中，利用勾股定理求得OA的长度，则AC＝2OA；最后由三角形中位线定理求得EF的长度．
解：∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的周长为24cm，
∴AB＝6cm．
又∵菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，BD＝8cm，
∴OB＝BD＝4m，OA＝AC，AC⊥BD．
在直角△AOB中，由勾股定理知：OA＝＝＝2．
又∵E、F分别是AB、BC边上的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AC．
∴EF＝OA＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、勾股定理；熟练掌握菱形的性质，由三角形中位线定理得出OA，由勾股定理求出AB是解决问题的关键．
7．输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如下表：
分析表格中的数据，估计方程（x+7）2﹣758＝0的一个正数解x的大致范围为（ ）
A．20.6＜x＜20.7B．20.5＜x＜20.6
C．20.4＜x＜20.5D．20.3＜x＜20.4
【分析】根据表格中的数据，可以知道（x+7）2﹣758的值，从而可以判断当（x+7）2﹣758＝0时，x的所在的范围，本题得以解决．
解：由表格可知，
当x＝20.5时，（x+7）2﹣758＝﹣1.75，
当x＝20.6时，（x+7）2﹣758＝3.76，
故（x+7）2﹣758＝0时，20.5＜x＜20.6，
故选：B．
【点评】本题考查估算一元二次方程的近似解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
8．如图，在矩形ABCD中，AD＝6cm，∠DBC＝30°，动点M、N分别在BD、BC上，则MN+MC的最小值是（ ）
A．2B．3C．6D．3
【分析】先根据轴对称确定出点M和N的位置，再利用面积求出CF，进而求出CE，最后用含30°角的直角三角形的性质即可求出CM+MN的最小值；
解：如图，作出点C关于BD的对称点E，过点E作EN⊥BC于N，交BD于M，连接CM，此时CM+MN＝EN最小．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，AD＝BC＝6cm，
∵∠DBC＝30°，
∴CD＝2，BD＝4，
∵CE⊥BD，
∴BD•CF＝BC•CD，
∴CF＝＝3，
由对称得，CE＝2CF＝6，CE⊥BD，
∵∠DBC＝30°，
∴∠BCF＝60°，
∵EN⊥BC，
∴∠E＝30°，
∴CN＝CE＝3，EN＝CN＝3，
即：CM+MN的最小值为3．
故选：B．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，点到直线的距离，轴对称，含30°角的直角三角形的性质，解本题的关键是确定出满足条件的点的位置．
二、填空题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
9．一元二次方程x（x+5）＝x+5的解为 x1＝﹣5，x2＝1 ．
【分析】方程整理后，利用因式分解的方法求出解即可．
解：方程整理得：x（x+5）﹣（x+5）＝0，
分解因式得：（x+5）（x﹣1）＝0，
解得：x1＝﹣5，x2＝1，
故答案为：x1＝﹣5，x2＝1
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
10．已知＝，则＝ ﹣ ．
【分析】根据＝，得出＝，再把要求的式子化成1﹣，然后进行计算即可得出答案．
解：∵＝，
∴＝，
∴＝1﹣＝1﹣＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】此题考查了比例的性质，解题的关键是根据已知条件和比例的性质得出＝．
11．在一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的n个小球，其中15个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，之后把它放回袋中，这称为一次摸球试验．搅匀后，再继续摸出一球．以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表：
根据列表，可以估计出n的值是 30 ．
【分析】利用大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小；接下来根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此求解即可．
解：∵通过大量重复试验后发现，摸到黑球的频率稳定于0.5，
∴＝0.5，
解得：n＝30，
故答案为：30．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系．
12．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，某家快递公司今年七月份与九月份完成投递的快递总件数分别为10万件和14.4万件，则该公司每月投递快递的总件数的平均增长率为 20% ．
【分析】设该公司每月投递快递的总件数的平均增长率为x，由题意：某家快递公司今年七月份与九月份完成投递的快递总件数分别为10万件和14.4万件，列出一元二次方程，解方程即可．
解：设该公司每月投递快递的总件数的平均增长率为x，根据题意得：
10（1+x）2＝14.4，
解得：x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意舍去），
∴x＝0.2＝20%；
即该公司每月投递快递的总件数的平均增长率为20%，
故答案为：20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．如图，在△ABC中，∠CBD＝∠A，CD＝2cm，AD＝6cm，则CB＝ 4 cm．
【分析】根据相似三角形的判定与性质可得答案．
解：∵∠CBD＝∠A，∠C＝∠C，
∴△BCD∽△ACB，
∴，
∴，
∴BC＝4，
故答案为：4．
【点评】此题考查的是相似三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
14．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，AE＝3CE，DE＝6cm，AD＝ 12 cm．
【分析】利用相似三角形的判定与性质得到EC的长，再根据勾股定理解答即可．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADE+∠CDE＝90°，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝∠CED＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°，∠ECD+∠EDC＝90°，
∴∠EAD＝∠EDC，∠EDA＝∠ECD，
∴△AED∽△DEC，
∴DE：EC＝AE：DE，
∴DE2＝AE•EC＝3EC2＝62，
∴EC＝2cm，
∴AC＝8cm，DC＝＝4（cm），
∴AD＝＝12（cm），
故答案为：12．
【点评】此题考查的是相似三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键．
15．如图，社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示，已知停车场的长为26米，宽为14米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道．已知铺花砖的面积为160平方米，求通道的宽是 3 米．
【分析】设通道的宽是x米，则停车位可合成长为（26﹣2x）米，宽为（14﹣2x）米的矩形，根据铺花砖的面积为160平方米（即停车位的面积为160平方米），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
解：设通道的宽是x米，则停车位可合成长为（26﹣2x）米，宽为（14﹣2x）米的矩形，
根据题意得：（26﹣2x）（14﹣2x）＝160，
整理得：x2﹣20x+51＝0，
解得：x1＝3，x2＝17（不符合题意，舍去），
∴通道的宽是3米．
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．如图，在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC边于G，AG的中垂线与CB的延长线交于E，与AB、AC、DC分别交于点M，N，F，若BG＝2，下列结论：①＝；②△AGC≌△EMG；③四边形AMGN是菱形，④S正方形ABCD＝12+8．其中正确的是 ②③④ ．（填序号）．
【分析】在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC边于G，可得∠BAG＝∠CAG＝∠BAC＝22.5°，∠AGB＝67.5°，因为AG的中垂线与CB的延长线交于E，可得AM＝MG，AN＝NG，∠E＝22.5°，即可判断①错误，证明AM＝AN，可得AM＝GM＝NG＝AN，即四边形AMGN是菱形，可判断③正确；用“角角边”可证明△AGC≌△EMG，可判断②正确；证明意△AMN∽△CFN，可得S△CFN＝2S△AMN＝S四边形AMGN，可判断④正确．
解：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC边于G，
∴∠BAG＝∠CAG＝∠BAC＝22.5°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠AGB＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∵AG的中垂线与CB的延长线交于E，
∴AM＝MG，AN＝NG，∠E＝90°﹣∠AGB＝22.5°，
∴tanE＝错误，即①错误；
∵∠AMN＝∠ANM＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴AM＝AN，
∴AM＝GM＝NG＝AN，
∴四边形AMGN是菱形，即③正确；
∵四边形AMGN是菱形，
∴MG∥AC，AB∥NG，
∴∠ACG＝∠MGE＝45°，∠NGC＝∠ABC＝90°，
∴GC＝GN＝GM，
∵∠GAC＝∠E＝22.5°，
∴△AGC≌△EMG（AAS），即②正确；
由题意△AMN∽△CFN，
∴，
∴S△CFN＝2S△AMN＝S四边形AMGN，即④正确．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．解题的关键是熟练掌握菱形的判定和性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质．
三、作图题（本题满分4分）尺规作團，不写作法，保窗作團痕迹，
17．已知：如图，有一块直角三角形的铁片，∠C＝90°．
求作：以∠C为一个内角的正方形CEFG，使顶点在AB边上．
【分析】作CF平分∠ACB交AB于点F，作线段CF的垂直平分线交AC于点G，交BC于点E，连接FG，EF，四边形CEFG即为所求．
解：如图，正方形CEFG即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
四、解答题（本题共有8道小题，滴分68分）
18．解下列方程：
（1）x2﹣4x+3＝0（配方法）
（2）3x2﹣2x﹣1＝0
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
解：（1）x2﹣4x+3＝0，
x2﹣4x＝﹣3，
x2﹣4x+4＝﹣3+4，即（x﹣2）2＝1，
∴x﹣2＝±1，
∴x﹣2＝1或x﹣2＝﹣1，
∴x1＝3，x2＝1；
（2）3x2﹣2x﹣1＝0，
（3x+1）（x﹣1）＝0，
∴3x+1＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣，x2＝1．
【点评】利用解一元二次方程﹣因式分解法，公式法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
19．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+3x﹣3＝0有两个不相等实数根，求k的取值范围．
【分析】由关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+3x﹣3＝0有两个不相等实数根，可得Δ＞0且k﹣2≠0，解此不等式组即可求得答案．
解：∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+3x﹣3＝0有两个不相等实数根，
∴Δ＝32﹣4×（k﹣2）×（﹣3）＞0，
∴k＜，
∵k﹣2≠0，
∴k≠2，
∴k的取值范围为：k＜．
【点评】此题考查了根的判别式．注意Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根．
20．在四张编号为A，B，C，D的卡片（除编号外，其余完全相同）的正面分别写上如图所示正整数后，背面朝上，洗匀放好，现从中随机抽取一张，不放回，再从剩下的卡片中随机抽取一张．
（1）请用树状图或列表的方法表示两次抽取卡片的所有可能出现的结果（卡片用A，B，C，D表示）；
（2）我们知道，满足a2+b2＝c2的三个正整数a，b，c成为勾股数，求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率．
【分析】（1）根据题意先画出树状图，得出共有12种等可能的结果数；
（2）根据勾股数可判定只有A卡片上的三个数不是勾股数，则可从12种等可能的结果数中找出抽到的两张卡片上的数都是勾股数的结果数，然后根据概率公式求解
解：（1）画树状图如下：
则共有12种等可能的结果数；
（2）∵共有12种等可能的结果数，抽到的两张卡片上的数都是勾股数的结果数为6种，
∴抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
21．如图，在△ABC中，D、E分别在AC、AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥ED于点F，∠EAF＝∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC．
（2）若AD＝5，AB＝7，求的值．
【分析】（1）根据等角的余角相等证明∠AED＝∠ACB，即可解决问题；
（2）由△ADE∽△ABC，推出，可得，再证明△EAF∽△CAG，可得，由此即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE，
∴∠AFE＝∠AGC＝90°，
∵∠EAF＝∠GAC，
∴∠AED＝∠ACB，
∵∠EAD＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC．
（2）解：由（1）可知：△ADE∽△ABC，
∴，
∵AD＝3，AB＝5，
∴，
由（1）可知：∠AFE＝∠AGC＝90°，
∠EAF＝∠GAC，
∴△EAF∽△CAG，
∴，
∴＝．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等角或同角的余角相等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形的相似条件，属于中考常考题型．
22．如图，已知△ABC中，AB＝6，BC＝2，AC＝8，BD是AC边上的中线，E是BC的中点，过点B的直线BF∥AC交DE的延长线于F，连接CF．
（1）求证：BF＝AD．
（2）判断四边形BDCF的形状，并证明你的结论．
【分析】（1）根据勾股定理逆定理证明△ABC是直角三角形，根据BD是AC边上的中线，可得BD＝AD＝DC，然后证明△BEF≌△CDE（AAS），可得BF＝CD，进而可以解决问题；
（2）先证明四边形BDCF是平行四边形，再根据BD＝DC，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AB＝6，BC＝2，AC＝8，
∴（2）2+62＝82，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∵BD是AC边上的中线，
∴BD＝AD＝DC，
∵BF∥AC，
∴∠BFE＝∠CDE，
∵E为BC的中点，
∴BE＝CE，
在△BEF和△CDE中，
，
∴△BEF≌△CDE（AAS），
∴BF＝CD，
∴BF＝DA；
（2）解：四边形BDCF是菱形．
理由如下：∵BF＝CD，BF∥DC，
∴四边形BDCF是平行四边形，
∵BD＝DC，
∴四边形BDCF是菱形．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，菱形的判定，全等三角形的性质与判定，三角形的中位线等知识的综合运用，解决本题的关键是掌握菱形的判定．
23．为了加快发展新能源和清结能源，助力实现“双碳”目标，大力发展高效光伏发电关键零部件制造．青岛上合示范区某工厂生产的某种零件按供需要求分为8个档次．若生产第一档次（最低档次）的产品，一天可生产38件，每件的利润为12元，每提高一个档次，每件的利润增加3元，每天的产量将减少2件．请解答下列问题，设产品的档次（每天只生产一个档次的产品）为x，若该产品一天的总利润为756元，求这天生产产品的档次x的值．
【分析】根据各数量之间的关系，可得出每件产品的利润为（9+3x）元，一天可生产（40﹣2x）件产品，利用总利润＝每件的利润×日产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
解：∵该工厂生产产品的档次（每天只生产一个档次的产品）为x，
∴每件产品的利润为12+3（x﹣1）＝（9+3x）元，一天可生产38﹣2（x﹣1）＝（40﹣2x）件产品．
根据题意得：（9+3x）（40﹣2x）＝756，
整理得：x2﹣17x+66＝0，
解得：x1＝6，x2＝11（不符合题意，舍去）．
答：这天生产产品的档次x的值为6．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．在不透明的口袋中装有红、黄、白三种颜色的小球各20个（除颜色外完全相同），现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需摸出多少个小球？为了找到解决问题的办法，我们可把上述问题简单化：
（1）我们首先考虑最简单的情况：即要确保从口袋中拱出的小球至少有2个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
假若从袋中随机摸出3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中最不利的情况就是它们的颜色各不相同，那么只能再从袋中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3＝4（如图①）；
（2）若要确保从口袋中摸出的小球至少有3个是同色的啊？
我们只需在（1）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有3个小球同色，即最少需摸出小球的个数是1+3×2＝7（如图②）
（3）若要确保从口袋中摸出的小球至少有4个是同色的呢？
我们只需在（2）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有4个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×3＝10（如图③）……
（10）若要确保从口袋中摸出的小球至少有10个是同色的呢？
我们只需在（9）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有10个小球同色，即最少需摸出小球的个数是： 28 （如图⑩）
模型拓展：
（1）在不透明的口袋中装有红、黄、白、蓝四种颜色的小球各20个（除颜色外完全相同），现从袋中随机摸球，若要确保摸出的小球至少有n个同色（n＜20），则最少需摸出小球的个数是 4n﹣3 ．
模型应用：
（2）A校共有30个教学班，每班的学生数都是40人，为了解全校学生体质情况，学校打算做一次抽样调查，如果要确保全校抽取出来的学生中至少有10人在同一班级．那么全校最少需抽取 271 名学生．
（3）B校初三级部有18个教学班，每班40人，某次体制抽测中，共从初三级部抽测了361人，至少 21 人在自同一个班．
【分析】（10）根据阅读材料的规律可得答案；
模型拓展：
（1）根据规律列出代数式即可；
模型应用：
（2）根据规律列出代数式即可；
（3）设至少x人来自同一个班，可得：1+18（x﹣1）＝361，即可解得答案．
解：（10）确保至少有10个小球同色，最少需摸出小球的个数是1+3×9＝28，
故答案为：28；
模型拓展：
（1）要确保摸出的小球至少有n个同色（n＜20），最少需摸出小球的个数是1+4（n﹣1）＝4n﹣3，
故答案为：4n﹣3；
模型应用：
（2）要确保全校抽取出来的学生中至少有10人在同一班级，全校最少需抽取1+30×9＝271名学生，
故答案为：271；
（3）设至少x人来自同一个班，
根据题意得：1+18（x﹣1）＝361，
解得x＝21，
故答案为：21．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，能从阅读材料中找到规律．
25．已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AD＝5，AB＝5，DC＝4．点E从点D出发，沿线段DA以每秒2个单位长度的速度向点A移动；同时，点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒4个单位长度的速度移动．当B，E，F三点共线时，两点同时停止运动，设点E移动的时间为t秒．
（1）求线段BC的长；
（2）当t为何值时，两点同时停止运动；
（3）当t为何值时，CE＝CF；
（4）是否存在某一时刻t，使得∠BEC＝∠BFC？若存在求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）在Rt△ABG中，BG＝＝＝3，进而求解；
（2）当B，E，F三点共线时，两点同时停止运动，则tan∠BFC＝，即，即可求解；
（3）当CE＝CF时，则DF＝CD，即可求解；
（4）证明∠BCE＝∠BEC，则BE＝BC＝8，即可求解．
解：（1）由题意画图如下，过点A作AG⊥BC于点G，
则AD＝CG＝5，AG＝CD＝4，
在Rt△ABG中，BG＝＝＝3，
∴BC＝BG+CG＝3+5＝8；
（2）当B，E，F三点共线时，两点同时停止运动，如上图，
由题意得：CF＝4t，则FD＝CF﹣CD＝4t﹣4，ED＝2t，
则tan∠BFC＝，即，
解得：t＝2；
（3）当CE＝CF时，
∵DE⊥FC，
∴DF＝CD，即4t﹣4＝4，
解得：t＝2；
（4）存在，理由：
如图2，由题意得：CF＝4t，DE＝2t，
在△BCF中，tan∠BFC＝，
在△DEC中，tan∠DEC＝＝tan∠BFC，
∴∠DEC＝∠BFC，
∵∠BEC＝∠BFC，
∴∠DEC＝∠BEC，
∵AD∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，
又∵∠DEC＝∠BEC，
∴∠BCE＝∠BEC，
∴BE＝BC＝8，
过点B作BH⊥AD交DA的延长线于点H，
则HE＝8﹣2t，BH＝4，
∴BE2＝HE2+BH2＝（8﹣2t）2+42＝BC2＝82，
解得：t＝4±2（舍去4+2），
∴t＝4﹣2．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，四边形的面积，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
x
20.3
20.4
20.5
20.6
20.7
输出
12.71
﹣7.24
﹣1.75
3.76
9.29
摸球试验次数
100
1000
5000
10000
50000
100000
摸出黑球次数
46
487
2506
5008
24996
50007
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