2018-2019学年山东省青岛市市南区九上期末数学试卷

这是一份2018-2019学年山东省青岛市市南区九上期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 一张矩形纸片在太阳光线的照射下，形成影子不可能是
A. 平行四边形B. 矩形C. 正方形D. 梯形

2. 在 △ABC 中，∠C=90∘，tanA=13，则 sinB=
A. 1010B. 23C. 34D. 31010

3. 甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图，则符合这一结果的实验可能是
A. 掷一枚正六面体的骰子，出现 1 点的概率
B. 抛一枚硬币，出现正面的概率
C. 从一个装有 2 个白球和 1 个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率
D. 任意写一个整数，它能被 2 整除的概率

4. 将抛物线 y=−5x2+1 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，所得到的抛物线为
A. y=−5x+12−1B. y=−5x−12−1
C. y=−5x+12+3D. y=−5x−12+3

5. 关于 x 的一元二次方程 k+1x2−2x+1=0 有两个实数根，则 k 的取值范围是
A. k≥0B. k≤0
C. k<0 且 k≠−1D. k≤0 且 k≠−1

6. 如图，平行于 x 轴的直线与函数 y=k1xk1>0,x>0，y=k2xk2>0,x>0 的图象分别相交于 A，B 两点，点 A 在点 B 的右侧，C 为 x 轴上的一个动点，若 △ABC 的面积为 4，则 k1−k2 的值为
A. 8B. −8C. 4D. −4

7. 如图，已知顶点为 −3,−6 的抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 −1,−4，下列结论：① b2>4ac；② ax2+bx+c≥−6；③若点 −2,m，−5,n 在抛物线上，则 m>n；④关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=−4 的两根为 x1=−5，x2=−1，其中正确的有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

8. 正方形 ABCD 的边长 AB=2，E 为 AB 的中点，F 为 BC 的中点，AF 分别与 DE，BD 相交于点 M，N，则 MN 的长为
A. 556B. 253−1C. 4515D. 33

二、填空题（共6小题；共30分）
9. 方程 xx−3=x−3 的根是 ．

10. 如图，△OAB 与 △OCD 是以点 O 为位似中心的位似图形，相似比为 3:4，∠OCD=90∘，∠AOB=60∘，若点 B 的坐标是 6,0，则点 C 的坐标是 ．

11. 为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排 21 场比赛，应邀请多少个球队参赛?设邀请 x 个球队参赛，根据题意，可列方程为 ．

12. 张师傅按 1:1 的比例画出某直三棱柱零件的三视图，如图所示，已知 △EFG 中，EF=8 cm，EG=12 cm，∠EFG=45∘，则 AB 的长为 cm．

13. 如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC=120∘，将菱形折叠，使点 A 恰好落在对角线 BD 上的点 G 处（不与 B，D 重合），折痕为 EF，若 DG=2，BG=6，则 AF 的长为 ．

14. 将一个正方体木块涂成红色，然后如图把它的棱三等分，再沿等分线把正方体切开，可以得到 27 个小正方体．其中三面涂色的小正方体有 8 个，两面涂色的小正方体有 12 个，一面涂色的小正方体有 6 个，各面都没有涂色的小正方体有 1 个；现将这个正方体的棱 n 等分，如果得到各面都没有涂色的小正方体 125 个，那么 n 的值为 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
15. 小明想利用如图的三角形纸片 ABC 裁剪出一个菱形，要求菱形的一个顶点为 A，另外三个顶点分别在三角形 ABC 的三边上，请你在原图上利用尺规帮小明把这个菱形作出来．

16. 解答题．
（1）解方程：4x2−8x−3=0；
（2）用配方法求抛物线 y=x2+2x+3 的开口方向、对称轴和顶点坐标．

17. 小颖为班级联欢会设计了“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成了面积相等的三个扇形．游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出红色，另一个转盘转出了蓝色，那么就配成紫色．
（1）请你利用画树状图或者列表的方法计算配成紫色的概率．
（2）小红和小亮参加这个游戏，并约定配成紫色小红赢，两个转盘转出同种颜色，小亮赢．这个约定对双方公平吗?请说明理由．

18. 如图，将 △ABC 沿 BC 方向平移得到 △DEF，△ABC 与 △DEF 重叠部分（图中阴影部分）的面积是 △ABC 的 13．已知 BC=3，求 △ABC 平移的距离．

19. 如图，男生楼在女生楼的左侧，两楼高度均为 90 m，楼间距为 AB，冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为 32.3∘，女生楼在男生楼墙面上的影高为 CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为 55.7∘，女生楼在男生楼墙面上的影高为 DA．已知 CD=42 m．求楼间距 AB 的长度为多少米?（参考数据：sin32.3∘=0.53，cs32.3∘=0.85，tan32.3∘=0.63，sin55.7∘=0.83，cs55.7∘=0.56，tan55.7∘=1.47 ）

20. 如图，矩形 ABCD 的两边 AD，AB 的长分别为 3，8，E 是 DC 的中点，反比例函数 y=mx 的图象经过点 E，与 AB 交于点 F．
（1）若点 B 坐标为 −6,0，求 m 的值及图象经过 A，E 两点的一次函数的表达式；
（2）若 AF−AE=2，求反比例函数的表达式．

21. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，E 是 BC 的中点，AC 平分 ∠BCD，且 AC⊥AB，连接 DE，交 AC 于 F．
（1）求证：AD=CE；
（2）若 ∠B=60∘，试确定四边形 ABED 是什么特殊四边形?请说明理由．

22. 某网店准备销售某种品牌的笔筒，成本为 30 元/件，试营销阶段发现：当销售单价是 40 元时，每天的销售量为 300 件，销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 件．
（1）写出销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；
（2）该笔筒销售单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少?
（3）该网店店主热心公益事业，决定从该笔筒每天的销售利润中拿出 150 元捐给希望工程，为了保证捐款后销售该笔筒每天剩余利润不低于 3600 元，试确定该笔筒销售单价的范围．

23. 我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图 1，图 2，图 3 中，AF，BE 是 △ABC 的中线，AF⊥BE，垂足为 P．像 △ABC 这样的三角形均为“中垂三角形”．设 BC=a，AC=b，AB=c．
（1）【特例探索】
①如图 1，当 ∠ABE=45∘，c=22 时，a= ，b= ；
②如图 2，当 ∠ABE=30∘，c=4 时，求 a 和 b 的值．
（2）【归纳证明】
请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图 3 证明你发现的关系式．
（3）利用（2）中的结论，解答下列问题：
在边长为 3 的菱形 ABCD 中，O 为对角线 AC，BD 的交点，E，F 分别为线段 AO，DO 的中点，连接 BE，CF 并延长交于点 M，BM，CM 分别交 AD 于点 G，H，如图 4 所示，求 MG2+MH2 的值．

24. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=CD=4 cm，AD=BC=6 cm，AE=DE=3 cm，点 P 从点 E 出发，沿 EB 方向匀速运动，速度为 1 cm/s；同时，点 Q 从点 C 出发，沿 CD 方向匀速运动，速度为 2 cm/s，连接 PQ，设运动时间为 ts0（1）当 t 为何值时，PQ∥BC?
（2）设四边形 PBCQ 的面积为 ycm2，求 y 与 t 的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻 t，使四边形 PBCQ 面积是四边形 PQDE 面积的 4 倍?若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由．
（4）连接 BD，点 O 是 BD 的中点，是否存在某一时刻 t，使 P，O，Q 在同一直线上?若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由．
答案
第一部分
1. D【解析】一张矩形纸片在太阳光线的照射下，形成影子不可能是梯形．
2. D【解析】在 △ABC 中，∠C=90∘，
∵tanA=13，
∴ 设 BC=x，则 AC=3x．
故 AB=10x．
sinB=ACAB=310=31010．
3. C
4. A
5. D
【解析】根据题意得 k+1≠0 且 Δ=−22−4k+1≥0，
解得 k≤0 且 k≠−1．
6. A【解析】因为 AB∥x 轴，
所以 A，B 两点纵坐标相同．
设 Aa,h，Bb,h，则 ah=k1，bh=k2．
因为 S△ABC=12AB⋅yA=12a−bh=12ah−bh=12k1−k2=4，
所以 k1−k2=8．
7. C
8. C
第二部分
9. x1=3，x2=1
【解析】xx−3=x−3，
xx−3−x−3=0，
x−3x−1=0，
x−3=0，x−1=0，
x1=3，x2=1．
故答案为：x1=3，x2=1．
10. 2,23
【解析】分别过 A，C 作 AE⊥OB，CF⊥OB．
∵∠OCD=90∘，∠AOB=60∘，
∴∠ABO=∠CDO=30∘，∠OCF=30∘，
∵△OAB 与 △OCD 是以点 O 为位似中心的位似图形，相似比为 3:4，点 B 的坐标是 6,0，
∴D8,0，则 DO=8，故 OC=4，
则 FO=2，CF=CO⋅cs30∘=4×32=23，
故点 C 的坐标是：2,23．
11. 12xx−1=21
【解析】设有 x 个队，每个队都要赛 x−1 场，但两队之间只有一场比赛，
由题意得：12xx−1=21．
12. 42
【解析】如图，作 EH⊥FG 于 H．
∵∠EHF=90∘，∠F=45∘，
∴∠F=∠FEH=45∘，
∴EH=HF=22EF，
∵EF=8，
∴EH=42，
根据三视图的意义可知：AB=EH=42．
13. 267
【解析】作 FH⊥BD 于 H，
由折叠的性质可知，FG=FA，
由题意得，BD=DG+BG=8，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AD=AB，∠ABD=∠CBD=12∠ABC=60∘，
∴△ABD 为等边三角形，
∴AD=BD=8，
设 AF=x，则 FG=x，DF=8−x，
在 Rt△DFH 中，
∵∠FDH=60∘，
∴DH=128−x=4−12x，FH=328−x，
∴HG=2−DH=12x−2，
在 Rt△FHG 中，FG2=FH2+GH2，
即 x2=43−32x2+12x−22，解得：x=267，
∴AF 的长为 267．
14. 7
【解析】由已知规律可推断：正方体的棱 n 等分时，有 n−23 个是各个面都没有涂色的，
即 n−23=125，
n−2=5，
n=7，
故答案为 7．
第三部分
15. 作 ∠BAC 的平分线交 BC 于 D，
作线段 AD 的垂直平分线，交 AC 于 E，交 AB 于 F，
则四边形 AFDE 即为所求的菱形．
16. （1）
x2−2x=34,x2−2x+1=34+1,x−12=74,x−1=±72,
所以 x1=1+72，x2=1−72．
（2） ∵y=x2+2x+3=x+12+2，
∴ 抛物线开口向上，对称轴 x=−1，顶点坐标 −1,2．
17. （1） 如下表所示：
红蓝1蓝2红红,红红,蓝1红,蓝2黄黄,红黄,蓝1黄,蓝2蓝蓝,红蓝,蓝1蓝,蓝2
由表可知，共有 9 种等可能结果，其中配成紫色的有 3 种结果，
所以 P能配成紫色=13．
（2） ∵P小红赢=13，P小亮赢=13，
∴P小红赢=P小亮赢，
因此，这个游戏对双方是公平的．
18. ∵△ABC 沿 BC 边平移到 △DEF 的位置，
∴AC∥DF，
∴∠B=∠GEC，∠A=∠EGC，
∴△ABC∽△GEC，
∴S阴影面积S△ABC=ECBC2=13，
∴BC:EC=3:1，
∵BC=3，
∴EC=3，
∴△ABC 平移的距离为 3−3．
19. 如图，作 CM⊥BE 于 M，DN⊥BE 于 N．则四边形 CDNM 是矩形，设 EM=x m，AB=DN=CM=y m．
在 Rt△CEM 中，
∵tan∠ECM=EMCM=0.63，
∴xy=0.63, ⋯⋯①
在 Rt△DEN 中，
∵tan∠EDN=ENDN=1.47，
∴x+42y=1.47, ⋯⋯②
由①②可得 y=50，
答：楼间距 AB 的长度为 50 m．
20. （1） 点 B 坐标为 −6,0，AD=3，AB=8，E 为 CD 的中点，
∴ 点 A−6,8，E−3,4，
函数图象经过 E 点，
∴m=−3×4=−12，
设 AE 的解析式为 y=kx+b，
−6k+b=8,−3k+b=4,
解得 k=−43,b=0.
∴ 一次函数的解析式为 y=−43x．
（2） AD=3，DE=4 ，
∴AE=AD2+DE2=5，
∵AF−AE=2，
∴AF=7，
BF=1，
设 E 点坐标为 a,4，则 F 点坐标为 a−3,1，
∵E，F 两点在函数 y=mx 图象上，
∴4a=a−3，解得 a=−1，
∴E−1,4，
∴m=−1×4=−4，
∴y=−4x．
21. （1） 连接 AE，
∵AC 平分 ∠BCD，
∴∠BCA=∠DCA，
∵AD∥BC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴AD=CD，
∵AB⊥AC，E 是 BC 的中点，
∴AE=CE=BE=12BC，
∴DE⊥AC，AF=CF，
∴∠AFD=∠CFE=90∘，
∴△AFD≌△CFE，
∴AD=CE．
（2） 当 ∠B=60∘ 时，四边形 ABED 是菱形，
∵AB⊥AC，DE⊥AC，
∴AB∥DE，
∴ 四边形 AECF 是平行四边形，
∵AE=BE，∠B=60∘，
∴△ABE 是等边三角形，
∴AB=BE，
∴ 平行四边形 AECF 是菱形．
22. （1） y=300−10x−40=−10x+700．
（2） 设每天的利润为 w，
w=x−30y=x−30−10x+700=−10x2+1000x+21000，
∵w=−10x−502+4000，
当时 x=50，w 的最大值为 4000，
答：该笔筒销售单价定为 50 元时，每月获取的利润最大，最大利润是 4000 元；
（3） 捐款后销售利润为 wʹ，
则 wʹ=−10x−502+4000−150=−10x−502+3850，
当 wʹ=3600 时，−10x−502+3850=3600，解得 x1=45，x2=55，
∴ 该笔筒销售单价的范围为 45≤x≤55．
23. （1） ① 25；25
②同理可得：PF=1，PE=3，则 a=213，b=27．
【解析】①如图 1，2，3，4，连接 EF，
则 EF 是 △ABC 的中位线，
则 EF=12AB，EF∥AB，
∴△EFP∽△BPA，
∴PBPE=PAPF=ABEF=12. ⋯⋯①
在图 1 中，PB=ABsin45∘=2=PA，
由①得：PF=1，b=2BF=2PB2+PF2=25=a．
（2） 关系为：a2+b2=5c2．
证明：如图 3，设：∠EBA=α，
则：PB=ABcsα=ccsα，PA=csinα，
由①得：PF=12PA=12csinα，PE=12csinα，
则 a2+b2=2AE2+2BF2=c2×5sinα2+csα2=5c2．
（3） ∵AE=OE=13EC，AG∥BC，
∴AG=13BC=13AD，则 EF=12BC=12AD，
同理 HG=13AD，
∴GH=13AD，
∴GH=23EF，
∵GH∥BC，EF∥BC，
∴HG∥EF，
∴MG=23ME=13MB，同理：MH=13MC，
则 MG2+MH2=19MB2+MC2=19×5×BC2=5．
24. （1） 如图 1 中．
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠A=∠C=∠D=90∘，
∴BC⊥CD，AD⊥CD，
在 Rt△ABE 中，AE=DE=12AD=3，AB=4，
根据勾股定理得，BE=5，
由运动知，PE=t，CQ=2t，
∴BP=5−t，DQ=4−2t，
∵DE∥QP∥CB，
∴PEBE=DQCD，
∴t5=4−2t4，
∴t=107．
（2） 如图 2 中，过点 P 作 PF⊥BC 于 F．
∴PF∥AB，
∴∠BPF=∠EBA，
∵∠BFP=∠EAB=90∘，
∴△BFP∽△EAB，
∴BFAE=PFAB=BPBE，
∴BF3=PF4=5−t4，
∴BF=355−t，PF=455−t，
∴CF=BC−BF=6−355−t=355+t，
∴y=S△BFP+S梯形CQPF=12⋅PF⋅BF+12CQ+PF×CF=12×455−t×355−t+122t+455−t×355+t=35t2+35t+12.
（3） ∵S四边形BCDE=12×3+6×4=18，
∵ 四边形 PBCQ 面积是四边形 PQDE 面积的 4 倍，
∴35t2+35t+12=45×18，
解得：t=17−12 或 −17−12（舍弃），
∴t=17−12 时，四边形 PBCQ 面积是四边形 PQDE 面积的 4 倍．
（4） ①当点 P 在点 O 上方，点 Q 在点 O 下方时，此时不存在．
理由：如图 3 中，延长 QP 交 AB 于 M，作 PH⊥AD 于 H．
∵OB=OD，∠BOM=∠DOQ，∠MBO=∠ODQ，
∴△MOB≌△QODASA，
∴BM=DQ，
∵AB=CD，
∴AM=CQ=2t，
∵PE=t，PH∥AB，
∴PHAB=PEBE，
∴PH=45t ∴ 此种情形不存在．
②当点 P 在点 O 下方，点 Q 在点 O 上方时，此时不存在．
理由：如图 4 中，作 OH⊥AB 于 H，PN⊥AB 于 N，延长 QP 交 AB 于 M．
∵PB=5−t，
∴BN=455−t，PN=355−t，易证 BM=DQ=4−2t，
∴MN=BN−BM=455−t−4−2t=65t，MH=2−4−2t=2t−2，
∵PN∥OH，
∴PNOH=NMMH，
∴355−t3=65t2t−2，整理得：t2−3t+5=0，
∵Δ<0，方程无解，
∴ 此种情形不存在．
综上所述，不存在某一时刻 t，使 P，O，Q 在同一直线．