高中数学第五章 三角函数5.3 诱导公式优秀学案

这是一份高中数学第五章 三角函数5.3 诱导公式优秀学案，共27页。

三角函数
两角和与差的正余弦和正切公式

重点
1. 两角和与差的正余弦和正切公式；
2. 用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等；
3. 两角和与差的正余弦和正切公式的常用变形及灵活应用。
难点
公式记忆及常用变形的灵活运用
考试要求
考试
Ø 题型 选择题、填空题
Ø 难度 简单 中等






核心知识点一：两角和与差的余弦公式
cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β
cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β
（1）适用条件：公式中的角α，β都是任意角。
（2）公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反。
记忆口决：“余余正正，符号相反”。

核心知识点二：两角和与差的正弦公式
sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β
sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β
记忆口诀：“正余余正，符号相同”。

核心知识点三：两角和与差的正切公式
tan（α＋β）＝
tan（α－β）＝
使用条件：α，β，α＋β均不等于kπ＋（k∈Z）。
核心知识点四：辅助角公式
asinx＋bcosx＝sin（x＋θ）。（其中tan θ＝）


典例一：给值求值
已知<β<α<，cos（α－β）＝，sin（α＋β）＝－，求cos 2α与cos 2β的值。
解：∵<β<α<，
∴0<α－β<，π<α＋β<。
∴sin（α－β）＝
＝＝，
cos（α＋β）＝－
＝－＝－。
∴cos 2α＝cos[（α－β）＋（α＋β）]
＝cos（α＋β）cos（α－β）－sin（α＋β）sin（α－β）
＝－×－×＝－，
cos 2β＝cos[（α＋β）－（α－β）]
＝cos（α＋β）cos（α－β）＋sin（α＋β）sin（α－β）
＝－×＋×＝－。

总结提升：
三角恒等变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换。其中角的变换是最基本的变换。常见的有：
α＝（α＋β）－β，α＝β－（β－α），α＝（2α－β）－（α－β），
α＝[（α＋β）＋（α－β）]，α＝[（β＋α）－（β－α）]等。

典例二：公式的逆用
（1）sin－cos＝_______。
（2）＝_________。
答案：（1）－（2）－1　
解析：（1）原式＝2。
方法一　原式＝2（）
＝2
＝2sin＝2sin＝－。
方法二　原式＝2（）
＝－2
＝－2cos＝－2cos＝－。
（2）原式＝＝
＝tan（30°－75°）＝－tan 45°＝－1。

总结提升：
注意正切公式的结构特征，遇到两角正切的和与差，构造成与公式一致的形式，当式子出现，1，这些特殊角的三角函数值时，往往是“由值变角”的提示。

典例三：利用公式化简
将下列各式写成Asin（ωx＋φ）的形式：
（1）sin x－cos x；
（2）sin（－x）＋cos（－x）。
解：（1）sin x－cos x＝2（sin x－cos x）
＝2（cossin x－sincos x）
＝2sin（x－）。
（2）原式＝[sin（－x）＋cos（－x）]
＝[sinsin（－x）＋coscos（－x）]
＝cos（－x－）＝cos（－x）＝sin（x＋）。

总结提升：
一般地对于asinα＋bcosα形式的代数式，可以提取，化为Asin（ωx＋φ）的形式，公式asinα＋bcosα＝sin（α＋φ）（或asinα＋bcosα＝cos（α－φ））称为辅助角公式。利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值。


1. 公式的推导和记忆
（1）理顺公式间的逻辑关系

（2）注意公式的结构特征和符号规律
对于公式C（α－β），C（α＋β）可记为“同名相乘，符号反”；
对于公式S（α－β），S（α＋β）可记为“异名相乘，符号同”。
公式T（α±β）的结构特征和符号规律
公式T（α±β）的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和。
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”。
（3）符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式C（α－β），C（α＋β），S（α－β），且公式sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β，角α，β的“地位”不同也要特别注意。
2. 应用公式需注意的三点
（1）要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式。
（2）注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式。
（3）注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin2α＋cos2α，1＝sin 90°，＝cos 60°，＝sin 60°等，再如：0，，，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数。
（4）应用公式T（α±β）时要注意的问题
①公式的适用范围
由正切函数的定义可知，α、β、α＋β（或α－β）的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋（k∈Z）。
②公式的逆用
一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan＝1，tan＝，tan ＝等。
特别要注意tan（＋）＝，tan（－）＝。
③公式的变形应用
只要用到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T（α±β）的意识，就不难想到解题思路。
特别提醒：tan α＋tan β，tan αtan β，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型。


（答题时间：20分钟）
1. 已知α∈，sin＝，则sin α等于（　　）
A. B.
C. 或 D.－
2. sin 10°cos 20°＋sin 80°sin 20°等于（　　）
A. － B. －
C. D.
3. 在△ABC中，A＝，cos B＝，则sin C等于（　　）
A. B.－
C. D. －
4. 已知0<α<<β<π，又sin α＝，cos（α＋β）＝－，则sin β等于（　　）
A. 0 B. 0或
C. D. 0或－
5. 在△ABC中，若sin A＝2sin BcosC，则△ABC是（　　）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
6. 已知cos＋sin α＝，则sin的值为（　　）
A. － B.
C. － D.
7. 若tan α＝3，tan β＝，则tan（α－β）等于（　　）
A. B. － C. 3 D. －3
8. 已知cos α＝－，且α∈，则tan等于（　　）
A. － B. －7 C. D. 7
9. 已知A＋B＝45°，则（1＋tan A）（1＋tan B）的值为（　　）
A. 1 B. 2 C. －2 D. 不确定
10. sin 15°＋sin 75°的值是__________。
11. 已知cos（α＋）＝sin（α－），则tan α＝__________。
12. ＝__________。
13. 已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝__________。
14. 已知＝3，tan（α－β）＝2，则tan（β－2α）＝__________。
15. 已知sin α＝，sin（α－β）＝－，α，β均为锐角，求β的值。
16. 已知sin（α－β）cos α－cos（β－α）sin α＝，β是第三象限角，求sin的值。


1. 答案：B
解析：由α∈，得<α＋<，
所以cos＝－
＝－＝－。
所以sin α＝sin
＝sincos－cossin
＝×
＝，故选B。
2. 答案：C
解析：sin 10°cos 20°＋sin 80°sin 20°
＝sin 10°cos 20°＋cos 10°sin 20°
＝sin（10°＋20°）＝sin 30°＝，故选C。
3. 答案：A
解析：sin C＝sin[π－（A＋B）]＝sin（A＋B）
＝sin AcosB＋cos AsinB＝（cos B＋）
＝×＝。
4. 答案：C
解析：∵0<α<<β<π，sin α＝，cos（α＋β）＝－，∴cos α＝，sin（α＋β）＝或－。
∴sin β＝sin[（α＋β）－α]
＝sin（α＋β）cos α－cos（α＋β）sin α＝或0。
∵<β<π，∴sin β＝。
5. 答案：D
解析：∵A＝180°－（B＋C），
∴sin A＝sin（B＋C）＝2sin BcosC。
又∵sin（B＋C）＝sin BcosC＋cos BsinC，
∴sin BcosC－cos BsinC＝sin（B－C）＝0，
则B＝C，故△ABC为等腰三角形。
6. 答案：C
解析：∵cos＋sin α＝，
∴cos αcos ＋sin αsin＋sin α＝，
∴cos α＋sin α＝，即cos α＋sin α＝，
∴sin＝。
∴sin＝－sin＝－。
7. 答案：A
解析：tan（α－β）＝＝＝。
8. 答案：D
解析：由cos α＝－，且α∈，得sin α＝，
所以tan α＝＝－，
所以tan＝＝＝7。
故选D。
9. 答案：B
解析：（1＋tan A）（1＋tan B）
＝1＋（tan A＋tan B）＋tan AtanB
＝1＋tan（A＋B）（1－tan AtanB）＋tan AtanB
＝1＋1－tan AtanB＋tan AtanB＝2。
10. 答案：
解析：sin 15°＋sin 75°＝sin（45°－30°）＋sin（45°＋30°）
＝2sin 45°cos 30°＝。
11. 答案：1
12. 答案：1
解析：原式＝
＝
＝tan 45°＝1。
13. 答案：
解析：∵B为锐角，sin B＝，∴cos B＝，
∴tan B＝，
∴tan（A＋B）＝＝＝1。
又∵0 14. 答案：
解析：由条件知＝＝3，则tan α＝2。
∵tan（α－β）＝2，∴tan（β－α）＝－2，
故tan（β－2α）＝tan[（β－α）－α]＝＝＝。
15. 解：∵为锐角，sin＝，∴cos α＝。
∵－<α－β<且sin（α－β）＝－，
∴cos（α－β）＝，
∴sin β＝sin[（β－α）＋α]
＝sin（β－α）cos α＋cos（β－α）sin α
＝×＋×＝。
又∵β为锐角，∴β＝。
16. 解：∵sin（α－β）cos α－cos（β－α）sin α
＝sin（α－β）cos α－cos（α－β）sin α
＝sin（α－β－α）＝sin（－β）＝－sin β＝，
∴sin β＝－，又β是第三象限角，
∴cos β＝－＝－。
∴sin＝sin βcos＋cos βsin
＝×＋×
＝－。

二倍角的正弦、余弦、正切公式

重点
1. 从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式。
2. 运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用。
难点
熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用。
考试要求
考试
Ø 题型 选择题、填空题
Ø 难度 简单 中等


核心知识点一：二倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos2α－sin2α；
tan 2α＝tan（α＋α）＝。

核心知识点二：升幂降幂公式
cos 2α＝cos2α－sin2α
＝2cos2α－1；
＝1－2sin2α。
升幂公式
1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α，
1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2。
降幂公式

核心知识点三：半角公式
sin＝±，　　　
cos＝±，
tan ＝±＝＝。



典例一：公式的应用
求下列各式的值：
（1）；（2）。
解：（1）＝2·＝2·＝－2。
（2）－＝
＝
＝
＝＝4。

总结提升：
对于给角求值问题，一般有两类：
（1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角。
（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式。

典例二：利用倍角公式化简
α为第三象限角，则－＝__________。
答案：0
解析：
∵α为第三象限角，∴cos α＜0，sin α＜0，
∴－
＝－
＝－＝0。

总结提升：
（1）对于三角函数式的化简有下面的要求：
①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使三角函数式中的项数尽量少；④尽量使分母不含有三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。
（2）化简的方法：
①弦切互化，异名化同名，异角化同角。
②降幂或升幂。
③一个重要结论：（sin θ±cosθ）2＝1±sin 2θ。


1. 对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：
8是4的二倍；6是3的二倍；4是2的二倍；3是的二倍；是的二倍；是的二倍；＝（n∈N*）。
2. 二倍角余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛。二倍角的常用形式：
①1＋cos 2＝2cos2；②cos2＝；
③1－cos 2＝2sin2；④sin2＝。


（答题时间：20分钟）
1. 已知是第三象限角，cos＝－，则sin 2α等于（　　）
A. － B.
C. － D.
2. 若tan θ＝－，则cos 2θ等于（　　）
A. － B. － C. D.
3. 已知x∈（－，0），cos x＝，则tan 2x等于（　　）
A. B. － C. D. －
4. 已知sin 2α＝，则cos2等于（　　）
A. B.
C. D.
5. 如果|cos θ|＝，<θ<3π，则sin的值是（　　）
A.－ B.
C. － D.
6. 已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α等于（　　）
A. － B. －
C. D.
7. 若cos＝，则sin 2α等于（　　）
A. B.
C.－ D. －
8. 2sin222.5°－1＝__________。
9. sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝__________。
10. 设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan 2α＝__________。
11. 已知tan x＝2，则tan 2（x－）＝________。
12. 若tan α＋＝，α∈，则sin＋2coscos2α＝__________。
13. 已知角α在第一象限且cos α＝，求的值__________。



1. 答案：D
解析：由α是第三象限角，且cos α＝－，
得sin α＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，故选D。
2. 答案：D
解析：tan θ＝－，则cos 2θ＝cos2θ－sin2θ
＝＝＝。
3. 答案：D
解析：由cos x＝，x∈（－，0），得sin x＝－，
所以tan x＝－，
所以tan 2x＝＝＝－，故选D。
4. 答案：A
解析：因为cos2＝
＝＝，
所以cos2＝＝＝，故选A。
5. 答案：C
解析：∵<θ<3π，|cos θ|＝，
∴cos θ<0，cos θ＝－。
又∵<<，∴sin<0。
∴sin2＝＝，
sin＝－。
6. 答案：A
解析：由题意得（sin α＋cos α）2＝，
∴1＋sin 2α＝，sin 2α＝－。
∵α为第二象限角，∴cos α－sin α<0。
又∵sin α＋cos α>0，
∴cos α<0，sin α>0，且|cos α|<|sin α|，
∴cos 2α＝cos2α－sin2α<0，
∴cos 2α＝－
＝－＝－＝－，故选A。
7. 答案：D
解析：因为sin 2α＝cos
＝2cos2－1，
又因为cos＝，
所以sin 2α＝2×－1＝－，故选D。
8. 答案：－
解析：原式＝－cos 45°＝－。
9. 答案：
解析：原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°
＝
＝＝＝。
10. 答案：
解析：cos α＝＝，
∴x2＝9，x＝±3。
又∵α是第二象限角，∴x＝－3，
∴cos α＝－，sin α＝，
∴tan α＝－，tan 2α＝＝＝＝＝。
答案：
12. 答案：0
解析：由tan α＋＝，
得tan α＝或tan α＝3。
又∵α∈，∴tan α＝3。
∴sin α＝，cos α＝。
∴sin＋2coscos2α
＝sin 2αcos ＋cos 2αsin ＋2cos cos2α
＝×2sin αcos α＋（2cos2α－1）＋cos2α
＝sin αcos α＋2cos2α－
＝××＋2×－
＝－＝0。
13. 解：∵cos α＝且α在第一象限，∴sin α＝。
∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝－，
sin 2α＝2sin αcos α＝，
∴原式＝
＝＝。
三角恒等变换

重点
1. 用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法；
2. 三角恒等变换的特点、变换技巧以及三角恒等变换的基本思想方法。
3. 利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用。
难点
三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法。
考试要求
考试
Ø 题型 选择题、填空题
Ø 难度 简单 中等


核心知识点一：积化和差和和差化积公式
正弦、余弦的和差化积　　



【注意右式前的负号】
正弦、余弦的和差化积
（注意：此时差的余弦在和的余弦前面）
或写作：（注意：此时公式前有负号）



核心知识点二：两角和与差的正切公式变形
（1）T（α＋β）的变形：
tan α＋tan β＝tan（α＋β）（1－tan αtan β）。
tan α＋tan β＋tan αtan βtan（α＋β）＝tan（α＋β）。
（2）T（α－β）的变形：
tan α－tan β＝tan（α－β）（1＋tan αtan β）。
tan α－tan β－tan αtan βtan（α－β）＝tan（α－β）。
核心知识点三：二倍半角公式的变形——万能公式



核心知识点：半角公式
sin＝±，　　　
cos＝±，
tan ＝±＝＝。


典例一：证明恒等式
证明：＝tan＋。
证明：∵左边＝
＝
＝＝
＝tan＋＝右边，
∴原等式成立。

总结提升：
证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证。对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法。常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法。

典例二：求函数值域和最值
已知函数f（x）＝sin＋2sin2（x∈R）。
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求使函数f（x）取得最大值的x的集合。
解：（1）∵f（x）＝sin（2x－）＋2sin2
＝sin[2]＋1－cos
＝2＋1
＝2sin＋1
＝2sin＋1，
∴f（x）的最小正周期为T＝＝π。
（2）当f（x）取得最大值时，sin＝1，
有2x－＝2kπ＋，即x＝kπ＋（k∈Z），
∴所求x的集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}。
反思与感悟　（1）为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型（余弦型）函数，这是解决问题的前提。
（2）解此类题时要充分运用两角和（差）、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障。


1. 学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式。
2. 辅助角公式asinx＋bcosx＝sin（x＋φ），其中φ满足：①φ与点（a，b）同象限；②tan φ＝（或sin φ＝，cos φ＝）。
3. 研究形如f（x）＝asinx＋bcosx的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式。因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一。对一些特殊的系数a，b应熟练掌握，
例如sin x±cosx＝sin；
sin x±cosx＝2sin等。


（答题时间：20分钟）
1. 若cos α＝－，α是第三象限角，则等于（　　）
A. － B. C. 2 D. －2
2. 若tan α＝2tan，则等于（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 已知180°<α<360°，则cos的值等于（　　）
A. － B.
C. － D.
4. 在△ABC中，若sin AsinB＝cos2，则△ABC是（　　）
A. 等边三角形 B. 等腰三角形
C. 不等边三角形 D. 直角三角形
5. 设函数f（x）＝cos2ωx＋sin ωxcosωx＋a（其中ω>0，a∈R），且f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是，则ω的值为（　　）
A. B.－ C.－ D.
6. 设a＝cos 6°－sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝，则有（　　）
A. c C. a 7. 已知sin θ＝，cos θ＝（＜θ＜π），则tan等于（　　）
A. － B. 5
C. －5或 D. －或5
8. 设5π＜θ＜6π，cos＝a，则sin的值为__________。
9. sin220°＋sin 80°·sin 40°的值为__________。
10. 函数f（x）＝sin（2x－）－2sin2x的最小正周期是__________。
11. 已知sin＋sin α＝－，－<α<0，求cos α的值__________。
12. 求证：tan－tan＝。




1. 答案：A
解析：∵α是第三象限角，cos α＝－，
∴sin α＝－，∴＝
＝＝·
＝＝＝－。
2. 答案：C
解析：＝＝
＝＝＝＝3。
3. 答案：C
4. 答案：B
解析：用降幂公式进行求解。
5. 答案：A
解析：f（x）＝cos 2ωx＋sin 2ωx＋＋a
＝sin＋＋a，
依题意得 2ω·＋＝⇒ω＝。
6. 答案：C
解析：a＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin（30°－6°）
＝sin 24°，
b＝2sin 13°cos 13°＝sin 26°，
c＝sin 25°，
∵y＝sin x在[0，]上是单调递增的，
∴a 7. 答案：B
解析：由sin2θ＋cos2θ＝1，得（）2＋（）2＝1，
解得m＝0或8，当m＝0时，sin θ＜0，不符合＜θ＜π。
∴m＝0舍去，故m＝8，
sin θ＝，cos θ＝－，
tan ＝＝＝5。
8. 答案：－
解析：sin2＝，
∵θ∈（5π，6π），∴∈，
∴sin＝－＝－。
9. 答案：
解析：原式＝sin220°＋sin（60°＋20°）·sin（60°－20°）
＝sin220°＋（sin 60°cos 20°＋cos 60°sin 20°）·（sin 60°·cos 20°－cos 60°sin 20°）
＝sin220°＋sin260°cos220°－cos260°sin220°
＝sin220°＋cos220°－sin220°
＝sin220°＋cos220°＝。
10. 答案：π
解析：∵f（x）＝sin 2x－cos 2x－（1－cos 2x）
＝sin 2x＋cos 2x－＝sin（2x＋）－，
∴T＝＝π。
11. 解：∵sin＋sin α
＝sin αcos＋cos αsin ＋sin α
＝sin α＋cos α＝－。
∴sin α＋cos α＝－，
∴sin＝－。
∵－<α<0，∴－<α＋<，
∴cos＝。
∴cos α＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝。
12. 证明：∵左边＝tan－tan＝
＝＝
＝＝
＝＝右边。
∴原等式得证。