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    数学人教版18.2.2 菱形精品课件ppt

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    这是一份数学人教版18.2.2 菱形精品课件ppt,共28页。PPT课件主要包含了导入新课,情景引入,有一个角是直角,讲授新课,平行四边形,归纳总结,证一证,菱形的特殊性质,平行四边形的性质,典例精析等内容,欢迎下载使用。

    欣赏下面图片,图片中框出的图形是你熟悉的吗?
    欣赏视频,前面的图片中出现的图形是平行四边形,和视频中菱形一致,那么什么是菱形呢?这节课让我们一起来学习吧.
    前面我们学习了平行四边形和矩形,知道了矩形是由平行四边形角的变化得到,如果平行四边形有一个角是直角时,就成为了矩形.
    思考 如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢?
    平行四边形不一定是菱形.
    活动2 在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中 的图形(如图),并回答以下问题:
    问题1 菱形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴. 是,两条对角线所在直线都是它的对称轴.问题2 根据上面折叠过程,猜想菱形的四边在数量上 有什么关系?菱形的两对角线有什么关系?
    猜想1 菱形的四条边都相等.
    猜想2 菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对 角线平分一组对角.
    已知:如图,在平行四边形ABCD中,AB=AD,对角线AC与BD相交于点O. 求证:(1)AB = BC = CD =AD; (2)AC⊥BD; ∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA, ∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD.
    证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB = CD,AD = BC(平行四边形的对边相等). 又∵AB=AD, ∴AB = BC = CD =AD.
    (2)∵AB = AD, ∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OB = OD (平行四边形的对角线互相平分). 在等腰三角形ABD中, ∵OB = OD, ∴AO⊥BD,AO平分∠BAD, 即AC⊥BD,∠DAC=∠BAC. 同理可证∠DCA=∠BCA, ∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD.
    菱形是特殊的平行四边形,它除具有平行四边形的所有性质外,还有平行四边形所没有的特殊性质.
    对称性:是轴对称图形.边:四条边都相等.对角线:互相垂直,且每条对角线平分一组对角.
    角:对角相等.边:对边平行且相等.对角线:相互平分.
    例1 如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,BD=12cm,AC=6cm,求菱形的周长.
    解:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AO= AC,BO= BD.∵AC=6cm,BD=12cm,∴AO=3cm,BO=6cm.在Rt△ABO中,由勾股定理得∴菱形的周长=4AB=4×3 =12 (cm).
    例2 如图,在菱形ABCD中,CE⊥AB于点E,CF⊥AD于点F,求证:AE=AF.
    证明:连接AC. ∵四边形ABCD是菱形, ∴AC平分∠BAD, 即∠BAC=∠DAC. ∵CE⊥AB,CF⊥AD, ∴∠AEC=∠AFC=90°. 又∵AC=AC, ∴△ACE≌△ACF. ∴AE=AF.
    菱形是轴对称图形,它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴,每条对角线平分一组对角.
    例3 如图,E为菱形ABCD边BC上一点,且AB=AE,AE交BD于O,且∠DAE=2∠BAE,求证:OA=EB.
    证明:∵四边形ABCD为菱形,∴AD∥BC,AD=BA, ∠ABC=∠ADC=2∠ADB ,∴∠DAE=∠AEB,∵AB=AE,∴∠ABC=∠AEB, ∴∠ABC=∠DAE, ∵∠DAE=2∠BAE,∴∠BAE=∠ADB. 又∵AD=BA ,∴△AOD≌△BEA ,∴AO=BE .
    1.如图,在菱形ABCD中,已知∠A=60°,AB= 5,则△ABD的周长是 (  ) A.10 B.12 C.15 D.20
    2.如图,菱形ABCD的周长为48cm,对角线AC、BD相交于O点,E是AD的中点,连接OE,则线段OE的长为_______.
    问题1 菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积吗?
    思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢?
    能.过点A作AE⊥BC于点E,则S菱形ABCD=底×高 =BC·AE.
    问题2 如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
    解:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC= AC·BO+ AC·DO= AC(BO+DO)= AC·BD.
    菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
    例4 如图,在菱形ABCD中,点O为对角线AC与BD的交点,且在△AOB中,OA=5,OB=12.求菱形ABCD两对边的距离h.
    解:在Rt△AOB中,OA=5,OB=12,∴S△AOB= OA·OB= ×5×12=30,∴S菱形ABCD=4S△AOB=4×30=120.∵又∵菱形两组对边的距离相等,∴S菱形ABCD=AB·h=13h,∴13h=120,得h= .
    菱形的面积计算有如下方法:(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积;(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍);(3)两条对角线长度乘积的一半.
    例5 如图,菱形花坛ABCD的边长为20m,∠ABC=60°,沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD,求两条小路的长和花坛的面积(结果分别精确到0.01m和0.1m2 ).
    解:∵花坛ABCD是菱形,
    【变式题】 如图,在菱形ABCD中,∠ABC与∠BAD的度数比为1:2,周长是8cm.求:(1)两条对角线的长度;(2)菱形的面积.
    解:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,AC⊥BD,AD∥BC,∴∠ABC+∠BAD=180°.∵∠ABC与∠BAD的度数比为1:2,∴∠ABC= ×180°=60°,∴∠ABO= ×∠ABC=30°,△ABC是等边三角形.∵菱形ABCD的周长是8cm.∴AB=2cm,
    ∴OA= AB=1cm,AC=AB=2cm, ∴BD=2OB= cm;(2)S菱形ABCD= AC•BD = ×2× = (cm2).
    菱形中的相关计算通常转化为直角三角形或等腰三角形,当菱形中有一个角是60°时,菱形被分为以60°为顶角的两个等边三角形.
    如图,已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm,则这个菱形的高DE为(  ) C.5cm
    1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( ) A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等
    2.如图,在菱形ABCD中,AC=8,BD=6,则△ABD的周长等于 (  ) A.18 B.16 C.15 D.14
    3.根据下图填一填:(1)已知菱形ABCD的周长是12cm,那么它的边长 是 ______.(2)在菱形ABCD中,∠ABC=120 °,则∠BAC= _______.(3)菱形ABCD的两条对角线长分别为6cm和8cm, 则菱形的边长是_______.
    (4)菱形的一个内角为120°,平分这个内角的对角 线长为11cm,菱形的周长为______.
    (5)菱形的面积为64cm2,两条对角线的比为 1∶2 ,那么菱形最短的那条对角线长为_______.
    4.如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对 角线BD长10cm.
    求:(1)对角线AC的长度; (2)菱形ABCD的面积.
    ∵四边形ABCD是菱形,
    (2)菱形ABCD的面积
    ∴AC=2AE=2×12=24(cm).
    5.如图,四边形ABCD是菱形,F是AB上一点,DF交AC于E. 求证:∠AFD=∠CBE. 证明:∵四边形ABCD是菱形,∴CB=CD, CA平分∠BCD.∴∠BCE=∠DCE.又 CE=CE,∴△BCE≌△DCE(SAS).∴∠CBE=∠CDE. ∵在菱形ABCD中,AB∥CD, ∴∠AFD=∠EDC.∴∠AFD=∠CBE.
    6.如图,O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点,CD=5cm,OD=3cm;过点C作CE∥DB,过点B作BE∥AC,CE与BE相交于点E.(1)求OC的长;(2)求四边形OBEC的面积.
    解:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD.在RT△OCD中,由勾股定理得OC=4cm;(2)∵CE∥DB,BE∥AC,∴四边形OBEC为平行四边形.又∵AC⊥BD,即∠COB=90°,∴平行四边形OBEC为矩形.∵OB=OD=3cm,∴S矩形OBEC=OB·OC=4×3=12(cm2).
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