高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质精品导学案及答案

三角函数的图象与性质——正弦函数、余弦函数的图象

【知识梳理】

1．正弦曲线、余弦曲线

（1）定义：正弦函数）和余弦函数的图像分别叫做_____曲线和_____曲线。

（2）图像：如图所示。

2．“五点法”画图

步骤：

（1）列表：

（2）描点：

画正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图像，五个关键点是_____；画余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图像，五个关键点是_____。

（3）用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正、余弦曲线的简图。

3．正、余弦曲线的联系

依据诱导公式cosx＝sin，要得到y＝cosx的图像，只需把y＝sinx的图像向_____平移个单位长度即可。

【自主探究】

已知0≤x≤2π，结合正、余弦曲线试探究sinx与cosx的大小关系。

【对点讲练】

知识点一：利用“五点法”作正、余弦函数的图像

例1：利用“五点法”画函数y＝－sinx＋1（0≤x≤2π）的简图。

回顾归纳：作正弦、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图。“五点”即y＝sinx或y＝cosx的图像在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x轴的交点。“五点法”是作简图的常用方法。

变式训练1：利用“五点法”画函数y＝－1－cosx，x∈[0，2π]的简图。

知识点二：利用三角函数图像求定义域

例2：求函数f（x）＝lgsinx＋的定义域。

回顾归纳　一些三角函数的定义域可以借助函数图像直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍。

变式训练2：求函数f（x）＝＋lg（8x－x2）的定义域。

知识点三：利用三角函数的图像判断方程解的个数

例3：在同一坐标系中，作函数y＝sinx和y＝lgx的图像，根据图像判断出方程sinx＝lgx的解的个数。

回顾归纳：三角函数的图像是研究函数的重要工具，通过图像可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用。

变式训练3：求方程x2＝cosx的实数解的个数。

【课堂小结】

1．正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础。

2．五点法是画三角函数图像的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一、

【课时作业】

一、选择题。

1．函数y＝sinx（x∈R）图像的一条对称轴是（    ）

A．x轴     B．y轴

C．直线y＝x      D．直线x＝

2．函数y＝－cosx的图像与余弦函数y＝cosx的图像（    ）

A．只关于x轴对称     B．关于原点对称

C．关于原点、x轴对称    D．关于原点、坐标轴对称

3．如果x∈[0，2π]，则函数y＝＋的定义域为（    ）

A．[0，π]      B．

C．      D．

4．在（0，2π）内使sinx>|cosx|的x的取值范围是（    ）

A．      B．∪

C．      D．

5．已知函数y＝2sinx的图像与直线y＝2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积（    ）

A．4    B．8    C．4π    D．2π

二、填空题。

6．函数y＝的定义域为_____。

7．函数y＝的定义域是_____。

8．设0≤x≤2π，且|cosx－sinx|＝sinx－cosx，则x的取值范围为_____。

三、解答题

9．利用“五点法”作出下列函数的简图：

（1）y＝－sinx（0≤x≤2π）；（2）y＝1＋cos x（0≤x≤2π）。

10.分别作出下列函数的图像。

（1）y＝|sinx|，x∈R；（2）y＝sin|x|，x∈R。

答案

知识梳理

1．（1）正弦 余弦

2．（2）（0，0），，（π，0），，（2π，0）

（0，1），，（π，－1），，（2π，1）

3．左

自主探究

解：正、余弦曲线如图所示。

由图像可知①当x＝或x＝时，sinx＝cosx，

②当<x<时，sinx>cosx。

③当0≤x<或<x≤2π时，sinx<cosx。

对点讲练

例1：解：利用“五点法”作图

取值列表：

描点连线，如图所示。

变式训练1：解：取值列表得：

描点连线，如图所示。

例2：解：由题意，x满足不等式组，

即，作出y＝sinx的图像，如图所示。

结合图像可得：x∈[－4，－π）∪（0，π）。

变式训练2：解：由，得。

画出y＝cosx，x∈[0，3π]的图像，如图所示。

结合图像可得：x∈∪。

例3　解　建立坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图像，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y＝sin x的图像。

描出点，（1，0），（10，1）并用光滑曲线连接得到y＝lgx的图像，如图所示。

由图像可知方程sinx＝lgx的解有3个。

变式训练3：解：作函数y＝cosx与y＝x2的图像，如图所示，

由图像，可知原方程有两个实数解。

课时作业

1．D

2．C （结合图像易知）

3．C （∵sin x≥0且－cos x≥0，∴x∈。）

4．A

（∵sinx>|cosx|，

∴sinx>0，∴x∈（0，π），在同一坐标系中画出y＝sinx，x∈（0，π）与y＝|cosx|，

x∈（0，π）的图像，观察图像易得x∈。）

5．C （数形结合，如图所示。

y＝2sinx，x∈的图像与直线y＝2围成的封闭平面图形面积相当于由x＝，x＝，y＝0，y＝2围成的矩形面积，即S＝×2＝4π。）

6．（k∈Z）

解析：x应满足：

综合正、余弦函数图像可知：

－＋2kπ<x≤＋2kπ。

7．，（k∈Z）

解析：由2cosx＋1≥0，得cosx≥－，

∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z。

8．

解析：由题意知sinx－cosx≥0，即cosx≤sinx，在同一坐标系画出y＝sinx，x∈[0，2π]

与y＝cosx，x∈[0，2π]的图像，如图所示：

观察图像得：≤x≤。

9．解：利用“五点法”作图。

（1）列表：

描点作图，如图所示。

（2）列表：

描点作图，如图所示。

10.解：（1）y＝|sinx|＝（k∈Z）。

其图像如图所示，

（2）y＝sin|x|＝，

其图像如图所示，