专题2.1 三角函数与及其恒等变形-2021年高考数学（理）尖子生培优题典

2021学年高考数学（理）尖子生同步培优题典

 专题2.1 三角函数及其恒等变形

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

一、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（2020·湖南天心�长郡中学高三其他（理））已知，则（    ）

A． B．1 C． D．0

【答案】A

【解析】，，

可得，.

因此，.

故选：A.

2．（2020·辽宁省本溪满族自治县高级中学高三其他（理））数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛,0.618就是黄金分割比的近似值,黄金分割比还可以表示成,则(    ).

A．4 B． C．2 D．

【答案】C

【解析】解：由题可知，

所以.

则

.故选：C.

3．（2020·哈尔滨市第一中学校高三一模（理））若，则（    ）

A．或 B．或

C． D．

【答案】D

【解析】由二倍角的正切公式得，整理得，

解得或，所以，.

当时，原式；当时，原式.

综上所述，.

故选：D.

4．（2020·湖南雨花雅礼中学高三月考（理））已知外接圆的半径，且.则周长的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意，，即，可化为

，即，因为，所以，

即，，设的内角，，，的对边分别为，，

，由余弦定理得，，因为（当且仅当时取“=”），所

以，即，又因为，所以

，故，则，又因为，所以

，即.故周长的取值范围为

.

故选：C

5．（2020·黑龙江萨尔图大庆实验中学高二期中（理））已知函数在区间上单调递减，则的最大值为（    ）.

A．1 B． C． D．

【答案】C

【解析】

在区间上单调递减，

,即

，

当时，

，

，

，

综上可知.

故选C

6．（2020·河南高三月考（理））已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

因为

所以．因为，所以，

所以，

故选：B．

7．（2020·上海高三专题练习）若，则的取值范围是 (   )

A． B．

C． D．

【答案】D

选D.

8．（2020·广东汕头高三二模（理））已知函数的最小正周期为，若，且，则的最大值为（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由已知可得

∵的最小正周期为，∴，即，

∴，∵，

∴的值域为，故若，

则，∴与是方程，

即的根，所以，

解得，，

∴，

∴的最大值为，

故选：C.

9．（2020·河北桃城�衡水中学高三月考（理））已知函数，若集合含有4个元素，则实数的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】f（x）=2sin（ωx﹣），

作出f（x）的函数图象如图所示：

令2sin（ωx﹣）=﹣1得ωx﹣=﹣+2kπ，或ωx﹣=+2kπ，

∴x=+，或x=+，k∈Z，

设直线y=﹣1与y=f（x）在（0，+∞）上从左到右的第4个交点为A，第5个交点为B，

则xA=，xB=，

∵方程f（x）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，

∴xA＜π≤xB，

即＜π≤，解得．

故选B．

10．（2019·商丘市第一高级中学高三期中（理））设，，，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，，所以，，且，所以，，所以,故选D.

11．（2020·广东高三零模（理））设函数（，）的最小正周期为，且过点，则下列正确的为（    ）

①在单调递减.

②的一条对称轴为.

③的周期为.

④把函数的图像向左平移个长度单位得到函数的解析式为

A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④

【答案】A

【解析】根据辅助角公式得.

最小正周期为，

，即.

函数过点，

，则.

当时.即.

令，则，

当时，在单调递减，①正确.

令，则，

当时，的一条对称轴为，②正确.

的周期为且，③错误.

 函数的图像向左平移个长度单位得到函数的解析式为，④错误.

故选：A

12．（2020·赣州市赣县第三中学高三月考（理））关于函数有下述四个结论：

①是偶函数；②在区间单调递减；

③在有个零点；④的最大值为.

其中所有正确结论的编号是（    ）

A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③

【答案】A

【解析】对于命题①，函数的定义域为，且，则函数为偶函数，命题①为真命题；

对于命题②，当时，，则，此时，函数在区间上单调递减，命题②正确；

对于命题③，当时，，则，

当时，，则，

由偶函数的性质可知，当时，，则函数在上有无数个零点，命题③错误；

对于命题④，若函数取最大值时，，则，

，当时，函数取最大值，命题④正确.

因此，正确的命题序号为①②④.

故选A.

13．（2020·新疆高三月考（理））函数（，）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是（    ）

A．函数的最小正周期是2π

B．函数的图象关于点成中心对称

C．函数在单调递增

D．将函数的图象向左平移后得到的关于y轴对称

【答案】C

【解析】解：根据函数（，）的部分图象以及圆C的对称性，

可得，两点关于圆心对称，

故，

则，

解得：，函数的周期为，故A错误；

∵函数关于点对称，

∴函数的对称中心为，

则当时，对称中心为，故B不正确；

函数的一条对称轴为，

在x轴负方向内，接近于y轴的一条对称轴为，

由图像可知，函数的单调增区间为，，

当时，函数的单调递增区间为，，故C正确；

的一条对称轴为，

∴函数的图象向左平移个单位后，

此时，所得图象关于直线对称，故D错误.

故选：C

14．（2020·河北桃城衡水中学高三期中（理））已知函数，那么下列命题中假命题是（    ）

A．是偶函数 B．在上恰有一个零点

C．是周期函数 D．在上是增函数

【答案】D

【解析】

对于，函数，定义域为，

且满足，所以为定义域上的偶函数，正确；

对于，时，，，

且，在上恰有一个零点是，正确；

对于C，根据正弦、余弦函数的周期性知，函数是最小正周期为的周期函数， 正确；

对于D，时，，且，在上先减后增，D错误．故选D．

15．（2020·安徽相山淮北一中高三月考（理））已知函数在区间有三个零点，，，且，若，则的最小正周期为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】解：由于在区间有三个零点，，，

当时，，

∴由对称轴可知，满足，

即.

同理，满足，即，

∴，，

所以最小正周期为：.

故选：C.

二、填空题（不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

16．（2020·全国高三其他（理））________．

【答案】2

【解析】因为，

又，所以，

所以.

故答案为2

17．（2020·广东广州高三月考（理））方程在区间 上的解为_______________．

【答案】或.

【解析】由题意，，即，原方程等价于

，解得或（舍），

故或.

故答案为：或.

18．（2020·梅河口市第五中学高三期中（理））已知，，则_________．

【答案】

【解析】．

故答案为: .

19．（2020·浙江高三其他）已知，，则________，________．

【答案】       

【解析】因为，，所以为第三象限角，

所以，所以，，

故．

故答案为：；.

20．（2019·儋州市第一中学高三月考）己知函数，有以下结论：

①的图象关于直线轴对称    ②在区间上单调递减

③的一个对称中心是    ④的最大值为

则上述说法正确的序号为__________（请填上所有正确序号）.

【答案】②④

【解析】，

根据图像知：

①的图象关于直线轴对称，错误

②在区间上单调递减，正确

③的一个对称中心是  ，错误

④的最大值为，正确

故答案为②④

21．（2020·安徽高三其他（理））设函数的图象关于直线和均对称，下述四个结论：①；②4是f（x）的一个周期；③存在，使为奇函数；④的值可能为0，，1．其中正确的结论是________．（把所有正确结论的序号均填上）

【答案】②④

【解析】∵的图象关于直线对称

∴或，

∴①错误，

∵2是半周期的整数倍，于是4是的一个周期，

∴②正确，

∵对于任意，，

∴不存在，使为奇函数，

∴③错误，

∵

或，

由②可知，所以，

于是的可能取值是0，，1，

∴④正确．

故答案为：②④

22．（2020·河北新乐市第一中学高三其他）已知函数，，，已知时，函数的所有零点和为21，则当时，函数的所有零点的和为__________．

【答案】35

【解析】时，，是函数的对称中心，周期为，

，则是函数的对称中心，

的所有零点和为21，故有三个零点，

直线与三角函数相切，画出函数图象，如图所示：

当时，，是函数的对称中心，

根据图象知有五个零点，故所有零点和为.

故答案为：.

三、解答题（请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

23．（2020·全国高三课时练习（理））在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.

（1）求角的大小；

（2）若为的中点，且，求的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由正弦定理及得，

由知，

则，化简得，.

又，因此，；

（2）如下图，由，

又为的中点，则，

等式两边平方得，

所以，

则，当且仅当时取等号，因此，的面积最大值为.

24．（2020·湖南衡阳高三三模（理））如图平面四边形，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

（1）求；

（2）若，，，求四边形面积的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）法1：因为，由正弦定理可得

，即

即，又，所以，

即.

法2：因为，

由正弦定理可得及，

则，

又，可得，

又，所以.

（2）当，又，所以为正三角形

在中，令，

由余弦定理可得：

所以

由，所以最大值为1，

故当时，

25．（2020·上海高三专题练习）已知函数.

（I）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；

（II）若,求的值.

【答案】函数在区间上的最大值为2，最小值为-1

【解析】（1）

所以

又所以

由函数图像知.

（2）解：由题意

而所以

所以

所以=.

26．（2020·江西高三二模（理））已知函数，且，.

（1）求的解析式；

（2）已知，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）因为，，

所以，

解得，.

.

（2）因为，所以，

所以，则.

的图象的对称轴是.

①当时，，

，

则，解得，符合题意；

②当时，，

，

则，解得，符合题意；

③当时，，

，

则，不等式组无解.

综上，的取值范围是.