专题7.1 直线与方程-2021年高考数学（理）尖子生培优题典

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专题7.1 直线与方程


姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________


注意事项：


选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）


1．（2020·河南洛阳·高三月考（理））已知实数，满足，则的最小值为（ ）


A．B．1C．D．2


【答案】B


【解析】设为上的任意一点，则点到直线的距离，点到原点的距离．


，


设圆与直线相切，则，解得或，结合图形可知的最小值为30°，故，


故选：B．





2．（2020·陕西西安·高新一中高三期末（理））已知AB是圆的任意一条直径，点P在直线上运动，若的最小值为4，则实数a的值为（ ）


A．2B．4C．5D．6


【答案】C


【解析】，


由题得的最小值为，


即点O到直线的距离为


.


故选:C.


3．（2020·内蒙古赤峰·高三月考（理））已知圆和圆的公共弦所在的直线恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（ ）


A．B．C．D．


【答案】C


【解析】由圆和圆，


可得圆和的公共弦所在的直线方程为，


联立，解得，即点


又因为点在直线上，即 ，


又由原点到直线的距离为 ，


即的最小值为.


故选：C.


4．（2020·河南高三其他（理））已知函数（），满足，则直线的倾斜角为（ ）


A．B．C．D．


【答案】C


【解析】函数（），满足，


则的对称轴为，


由辅助角公式可知，


由正弦函数的图像与性质可知，在对称轴处取得最大值或最小值，


则或，


即或，


两边同时平方得，


化简可得，即，所以上述两式中不成立.


所以直线方程为，


则直线的斜率为，


设直线的倾斜角为，，


则，解得，


故选：C.


5．（2020·江西高三月考（理））已知实数满足，则对任意的正实数，的最小值为（ ）


A．B．8C．D．18


【答案】B


【解析】由题意可知，该问题可转化为求圆上任意一点


到曲线上任意一点的距离的最小值的平方，


不妨设圆为圆，


其圆心为，半径为，


因为圆外任意一点到圆上一点的距离的最小值为该点到圆心的距离减去半径，


所以只需求曲线上到圆心距离最小的点为，


则点满足曲线在点处的切线与直线垂直，


因为点在曲线上，所以，


令，则，


则，


即曲线在点处的切线的斜率为，


又因为，，


所以直线的斜率为，


所以，


即，


解得，


所以点坐标为，又因为，


所以，


所以圆上任意一点到曲线上任意一点的距离的最小值的平方为


，


所以的最小值为8.


故选：B


6．（2020·山西平城·大同一中高三其他（理））已知是圆：上的动点，则点到直线：的距离的最小值为（ ）


A．1B．C．2D．


【答案】A


【解析】解：因为圆：的圆心到直线：的距离


，且圆的半径等于，


故圆上的点到直线的最小距离为





故选：


7．（2020·全国高三专题练习）设，，若直线与圆相切，则的取值范围是（ ）．


A．B．


C．D．


【答案】D


【解析】


试题分析：因为直线与圆相切,所以，即，所以，所以的取值范


围是．


8．（2020·重庆八中高三月考）过点作圆与圆的切线，切点分别为，若，则的最小值为（ ）


A．B．C．D．


【答案】B


【解析】


如图所示，由圆的切线性质得，又，


，所以P点在线段C1C2的垂直平分线上，因为线段C1C2的垂直平分线为，即，点在上，所以点满足方程，所以，所以的最小值为，


故选：B.


9．（2020·河南高三月考（理））已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的取值范围是（ ）


A． B．C．D．


【答案】D圆的圆心，半径为，


因为圆心到距离为，


所以圆上的点到的距离最大值为，最小值为，


又因为，则以为直径的圆和圆有交点，


可得，


所以有，


故选：D


10．（2020·四川青羊·石室中学高三月考（理））设圆，若等边的一边为圆的一条弦，则线段长度的最大值为（ ）


A．B．C．4D．


【答案】C


【解析】化圆C：x2+y2﹣2x﹣3＝0为（x﹣1）2+y2＝4，


连接AC，BC，设∠CAB＝θ（0＜θ），连接PC与AB交于点D，


∵AC＝BC，△PAB是等边三角形，∴D是AB的中点，得PC⊥AB，


在圆C：（x﹣1）2+y2＝4中，圆C的半径为2，|AB|＝4csθ，|CD|＝2sinθ，


∴在等边△PAB中，|PD||AB|，


∴|PC|＝|CD|+|PD|4．


故选：C．





11．（2020·河北高三月考）已知斜率存在的直线交椭圆：于，两点，点是弦的中点，点，且，，则直线的斜率为（ ）．


A．B．C．D．


【答案】D


【解析】设，，，直线的斜率为，不妨令，


则两式相减，得，


所以，所以，即．


由，即,可得，


又由，所以，解得，


过点作轴于点，则，


所以，即，


根据椭圆的对称性，可得直线的斜率为．


故选：D．


12．（2020·全国高二课时练习）点在曲线上运动，，且的最大值为，若，，则的最小值为（ ）


A．1B．2C．3D．4


【答案】A


【解析】曲线可化为，表示圆心为，半径为的圆．，


可以看作点到点的距离的平方，圆上一点到的距离的最大值为，即点是直线与圆的离点最远的交点，


所以直线的方程为，


由，解得或（舍去），


∴当时，取得最大值，且，


∴，


∴，


∴，


当且仅当，且，即时等号成立．


故选A．


13．（2020·天津西青·高三期末）双曲线的左右焦点分别为、，渐近线为，点在第一象限内且在上，若则双曲线的离心率为（ ）


A．B．C．D．


【答案】B


【解析】：设双曲线渐近线的方程为， 的方程为，


则设点坐标为，


则直线的斜率，直线的斜率，


由，则，即（1）


由，则，解得（2），


联立（1）（2），整理得：，


由双曲线的离心率，


所以双曲线的离心率为2，故选B.


14．（2020·湖北省鄂州高中高三期中（理））已知直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（ ）


A．B．C．D．


【答案】D


【解析】由题意得圆的圆心为，半径，


易知直线恒过点，直线恒过，且，


点的轨迹为，圆心为，半径为，


若点为弦的中点,位置关系如图：





.


连接，由易知.


，


.


故选：D.


15．（2019·江西新余一中高三一模（理））函数的值域是


A．B．C．D．


【答案】A


【解析】由，知，解得


令，则.，即为和两函数图象有交点，作出函数图象，如图所示：





由图可知，当直线和半圆相切时最小，当直线过点A(4,0)时，最大.


当直线和半圆相切时，，解得，由图可知.


当直线过点A(4,0)时，，解得.


所以，即.


故选A.


16．（2020·宁夏兴庆·银川一中高三其他（理））过原点且倾斜角为60°的直线被圆所截得的弦长为（ ）


A．B．2C．D．


【答案】A


【解析】


由题意可得，直线方程为：，即，


圆的标准方程为：，


圆心到直线的距离：，


则弦长为：.


本题选择A选项.


点睛：圆的弦长的常用求法


(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则；


(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：.


17．（2020·四川青羊·石室中学高二月考（理））已知圆,直线,若直线上存在点，过点引圆的两条切线,使得,则实数的取值范围是（ ）


A．B．[,]


C．D．）


【答案】D


【解析】圆C（2,0），半径r＝，设P（x，y），


因为两切线，如下图，PA⊥PB，由切线性质定理，知：


PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝PB，所以，四边形PACB为正方形，所以，｜PC｜＝2，


则：，即点P的轨迹是以（2,0）为圆心，2为半径的圆.





直线过定点（0，－2），直线方程即，


只要直线与P点的轨迹（圆）有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，


即：，解得：，


即实数的取值范围是）.


本题选择D选项.





二、填空题


18．（2020·河南高三其他（理））已知点在抛物线上，过点P作两条直线分别交抛物线C于相异两点A，B，若直线，的倾斜角互补，则直线的斜率为________.


【答案】－1


【解析】将点P的坐标代入抛物线C的方程得，又，解得，


所以点P的坐标为.





由题意知的斜率存在，且不为0，


设直线的方程为，


点A，B的坐标分别为，，


联立方程，消去x后整理为，


，则，，.


直线的斜率为，


同理，直线的斜率为，


由直线，的倾斜角互补，


得，得，


可得，所以.


故答案为：


19．（2020·六盘山高级中学高三期末（理））当直线被圆截得的弦最短时，的值为____________.


【答案】


【解析】直线的方程可化为


所以直线会经过定点，解得定点坐标为 ，圆C圆心坐标为


当直线与CM垂直时，直线被圆截得的弦长最短


，


所以，解方程得


20．（2020·宁夏高三其他（理））已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦长为8，则直线l的方程是________．


【答案】x＋4＝0和4x＋3y＋25＝0


【解析】


由已知条件知圆心(－1，－2)，半径r＝5，弦长m＝8.


设弦心距是d，则由勾股定理得r2＝d2＋2，解得d＝3.若l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝－4，圆心到直线的距离是3，符合题意．若l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y＋3＝k(x＋4)，即kx－y＋4k－3＝0，则d＝＝3，即9k2－6k＋1＝9k2＋9，解得k＝－，则直线l的方程为4x＋3y＋25＝0.所以直线l的方程是x＋4＝0和4x＋3y＋25＝0.


21．（2019·江苏苏州·高三月考）已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数________．


【答案】


【解析】


试题分析：由于为等边三角形，故弦长，根据直线与圆相交，所得弦长公式为，可建立方程，，，即，解得.


22．（2020·江苏高三其他）在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C：（x＋4）2＋（y－a）2＝16上的两个动点，且AB＝，若直线l：y＝2x上存在唯一的一个点P，使得，则实数a的值为________．


【答案】2或－18


【解析】设AB的中点为M（x0，y0），P（x，y），则由AB＝得，CM＝，即点M的轨迹为（x0＋4）2＋（y0－a）2＝5.又因为，所以，即（x0－x，y0－y）＝，从而，


则动点P的轨迹方程为，又因为直线l上存在唯一的一个点P，所以直线l和动点P的轨迹（圆）相切，则，解得，a＝2或a＝－18.


故答案为：2或－18


23．（2020·江苏省如皋中学高三其他）直角坐标系xOy中，已知MN是圆C：(x﹣2)2+(y﹣3)2=2的一条弦，且CM⊥CN，P是MN的中点.当弦MN在圆C上运动时，直线l：x﹣y﹣5=0上总存在两点A，B，使得恒成立，则线段AB长度的最小值是_____.


【答案】


【解析】因为P为MN的中点,所以CP⊥MN,


又因为CM⊥CN,所以三角形CMN为等腰直角三角形,所以CP=1,


即点P在以C为圆心,以1为半径的圆上,点P所在圆的方程为(x﹣2)2+(y﹣3)2=1,


要使得∠APB恒成立,则点P所在的圆在以AB为直径的圆的内部,


而AB在直线l：x﹣y﹣5=0上,


C到直线l：x﹣y﹣5=0的距离d.


所以以AB为直径的圆的半径的最小值为r=31,


所以AB的最小值为2r=62.





三、解答题


24．（2020·重庆八中高三月考）已知动圆过定点，且在x轴上截得的弦长为4.


（1）求动圆圆心M的轨迹方程C；


（2）设不与x轴垂直的直线l与轨迹C交手不同两点，.若，求证：直线l过定点.


【答案】（1）（2）证明见解析


【解析】：（1）设动圆圆心为，则，化简得；


（2）易知直线l的斜率存在，设，则


由，得，


由韦达定理有：，.


从而，


即，则


则直线，


故直线过定点.


25．（2020·云南高三月考（理））已知抛物线：的焦点为，为坐标原点．过点的直线与抛物线交于，两点．


（1）若直线与圆：相切，求直线的方程；


（2）若直线与轴的交点为．且，，试探究：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．


【答案】（1）；（2），理由见解析；


【解析】（1）由题意知：且圆的半径为，圆心，即有在圆外，


∴设直线为，则圆心到直线的距离，


解之得：，即直线的方程为.


（2）由过的直线与抛物线交于，两点，与轴的交点为，即斜率存在且，设直线为，有，


联立直线方程与椭圆方程，有，可得，


设，，即有，


，，，，


由，，可得，，


∴，即可得为定值


26．（2020·全国高三课时练习（理））已知点及圆C：.


（1）若直线l过点P且被圆C截得的线段长为，求l的方程；


（2）求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．


【答案】（1） x＝0或3x－4y＋20＝0；（2）x2+y2+2x﹣11y+30＝0


【解析】（1）圆C：，圆心为，半径r＝4，


∵直线l被圆C截得的线段长为，


∴圆心C到直线l的距离d＝＝2，


若直线l斜率不存在，则直线方程为x＝0，此时圆心到直线l的距离为2，符合题意；


若直线l斜率存在，设斜率为k，则直线l的方程为y＝kx+5，即kx﹣y+5＝0，


∴，解得k＝，∴直线l的方程为y＝x+5，即3x－4y＋20＝0


综上，直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0．


（2）设所求轨迹上任意一点为M（x，y），


则kCM＝（x≠﹣2），kPM＝（x≠0），


∴•，


整理得x2+y2+2x﹣11y+30＝0，


经验证当x＝﹣2时，弦的中点为（﹣2，5）或（﹣2，6），符合上式，


当x＝0时，弦的中点为（0，6），符合上式，


∴过P点的圆C弦的中点的轨迹方程为x2+y2+2x﹣11y+30＝0．


27．（2020·河南中原·郑州一中高三其他（文））在平面直角坐标系xOy中，已知定点，点A在x轴的非正半轴上运动，点B在y轴上运动，满足，A关于点B的对称点为M，设点M的轨迹为曲线C．


（1）求C的方程；


（2）已知点，动直线与C相交于P，Q两点，求过G，P，Q三点的圆在直线上截得的弦长的最小值.


【答案】（1）；（2）.


【解析】（1）因为点A在x轴的非正半轴上运动，点B在y轴上运动，


所以设，


因为 ， ，


所以，


因为A关于点B的对称点为M，


所以 ，


即 ，


代入式得，


所以曲线C的方程是.


（2）由（1）知抛物线的方程为，


直线与抛物线方程联立解得，，


设，


因为关于轴对称，所以过G，P，Q三点的圆的圆心在x轴上，


设圆心为，


所以，即，


解得，


所以圆E的方程为，


令，的，


所以圆E在直线上截得的弦长为，


因为，


所以，


，


当且仅当，即时，取等号，


所以当时，圆E在直线上截得的弦长的最小值为.


28．（2020·全国高三（理））在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上.


（1）求圆C的方程；


（2）若圆C与直线交于A，B两点，且，求a的值.


【答案】（1）（2）


【解析】（1）曲线与坐标轴的交点为(0，1)，(,0)，


由题意可设圆C的圆心坐标为(3，)，


∴，解得，


∴圆C的半径为，


∴圆C的方程为.


（2）设点A、B的坐标分别为A，B，其坐标满足方程组，消去得到方程，


由已知得，判别式①，


由根与系数的关系得，②，


由得.


又∵，，∴可化为③，


将②代入③解得，经检验，满足①，即，


∴.


29．（2020·西藏日喀则区南木林高级中学高三月考）已知圆C：，直线l过定点．


（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；


（2）若直线l与圆C相交于P，Q两点，求的面积的最大值，并求此时直线l的方程．


【答案】（1）或


【解析】（1）①若直线l1的斜率不存在，则直线l1：x＝1，符合题意.


②若直线l1斜率存在，设直线l1的方程为，即．


由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，即： ，解之得 . 所求直线l1的方程是或.


(2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0, 设直线方程为，


则圆心到直线l1的距离


又∵△CPQ的面积


＝


∴当d＝时，S取得最大值2.


∴＝ ∴ k＝1 或k＝7


所求直线l1方程为 x－y－1＝0或7x－y－7＝0 .