专题1.2函数及其性质-2021年高考数学（理）尖子生培优题典

2021学年高考数学（理）尖子生同步培优题典

 专题12函数及其性质

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

一、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（2019·浙江高三月考）已知函数，若，则实数的取值范围是（  ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

不等式等价于或分别解不等式组后，取并集可求得的取值范围.

【详解】

或，

解得：或，即，故选D.

2．（2020·武威第六中学高三其他（理））函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

由题,的定义域为,

因为,所以是偶函数,图象关于轴对称,故排除A、C；

又因为,则当时,,,所以,

故选：D

3．（2020·安徽庐阳合肥一中高三其他（理））设正实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意作函数、的图象，结合当时， 可得；由函数的单调性可得；再由结合对数函数的性质可得；即可得解.

【详解】

由可得：，，

在同一坐标系中分别作函数、的图象如图：

当时，，，此时，

所以当时，即；

由函数单调递增且、可得；

由可得；

所以.

故选：C.

4．（2020·湖南雨花雅礼中学高三月考（理））已知函数()，为奇函数，则下述四个结论中说法正确的编号是（    ）

①； 

②在有且仅有一个极大值点；

③在上存在零点，则a的最小值为；

④在上单调递增；

A．①② B．①③④ C．③④ D．②③④

【答案】C

【解析】

【分析】

根据为奇函数，求出，可知①错误；当时，，当时，，可知②错误；根据函数的零点为，,可知③正确；当时，，为单调递减函数，可知④正确.

【详解】

因为，所以，

所以

因为为奇函数，则，即，所以，，因为，所以，

对于①，，故①错误；

对于②，因为，当时，，当时，，∴在上存在一个极小值点，没有极大值点，故②错误；

对于③，令，得，，若在上存在零点，则且a的最小值为，故③正确；

对于④，，当时，，则在上单调递增，故④正确；

故选：C.

5．（2020·福建高三其他（理））若，，，关于函数的以下结论：

①        ②对称轴方程为，

③值域为        ④在区间单调递减

其中正确的是（    ）

A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④

【答案】D

【解析】

【分析】

根据定义求出函数的解析式，然后画出的图象，结合图像即可判断的结论.

【详解】

解:

.

因为都是周期为的函数，所以的周期为，①错误；

如下图所示（一个周期内图象）：

的对称轴方程为：，，②正确；

由图直接得知③正确；

当，

在区间单调递减，④正确.

故选：D.

6．（2020·河南开封高三二模（理））已知定义在上的奇函数，对任意实数，恒有，且当时，，则（    ）

A．6 B．3 C．0 D．

【答案】B

【解析】

由题得，所以函数的周期为.

由题得

，

，

，

所以，

所以.

故选：B.

7．已知函数，若实数满足，，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】【详解】

画出的图像如图所示，

可知为R上的单调递增函数，由于，不妨设，可知，

故 ，，

，

不妨设，

故在单调递减，在单调递增，

则，所以的最小值为.

故选：C.

8．函数的定义域为，若为偶函数，且当时，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据为偶函数，则，得到函数的图象关于直线对称．再根据为偶函数，的定义域关于对称解得，然后利用指数函数的单调性求解.

【详解】

因为为偶函数，则，

故函数的图象关于直线对称．

又函数的定义域为，

则，解得，

故当时，单调递减，

又，，，

所以，

即，

故选：A．

9．（2020·四川资阳高三其他（理））已知函数是定义在上的奇函数，当时，函数单调递增，则（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】因为函数是定义在上的奇函数，所以函数关于点对称，

又当时，单调递增，所以在上单调递增，

所以的图象关于直线对称，且当时，单调递增.

因为，，，且，

所以.

故选：A

【点睛】

本题考查函数的性质与对数函数的综合应用，考查数学抽象与逻辑推理的的核心素养.

对数函数值大小比较：

（1）单调性法：在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底;

（2）中间量过渡法：寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”;

（3）图象法：根据图象观察得出大小关系.

10．（2020·福建高三其他（理））已知是定义在R上的奇函数，当时，.对于任意不小于2的正整数n，当时，都满足.给出以下命题：

①的值域为；

②当时，；

③当时，方程有且只有三个实根.

以上三个命题中，所有真命题的序号是（    ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

【答案】A

【解析】因为当时，都满足

所以当时，

，

当时，

，

从而类推可得当时，

当时，，即②正确；

当时，

因为是定义在R上的奇函数，所以，即①正确；

当时，由图可知 不止三个交点，所以③错误；

故选：A

二、填空题（不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

11．（2020·全国高三课时练习（理））设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且g(x)≠0，当x<0时，f ′(x)g(x)>f(x)g′(x)，且f(－3)＝0，则不等式的解集是___________.

【答案】

【解析】

【分析】

设，求导后，利用已知条件确定导数的正负，从而得在上的单调性．确定的奇偶性，得在上的单调性，由单调性可得不等式的解．

【详解】

因为f(x)和g(x)(g(x)≠0)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x).

因为当x<0时，f ′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，

当x<0时，，

令h(x)＝,则h(x)在(－∞，0)上单调递增，

因为h(－x)＝＝－h(x)，所以h(x)为奇函数，

根据奇函数的性质可得函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增，

因为f(－3)＝－f(3)＝0，所以h(－3)＝－h(3)＝0，

h(x)<0的解集为(－∞,－3)∪(0,3).

故答案为：(－∞,－3)∪(0,3).

12．（2020·安徽定远高三其他（理））已知函数对任意的，都有，函数是奇函数，当时，，则方程在区间内的所有零点之和为_____________．

【答案】4

【解析】

∵函数是奇函数

∴函数的图象关于点对称

∴把函数的图象向右平移1个单位可得函数的图象，即函数的图象关于点对称，则.

又∵

∴，从而

∴，即

∴函数的周期为2，且图象关于直线对称.

画出函数的图象如图所示：

∴结合图象可得区间内有8个零点，且所有零点之和为.

故答案为4.

【点睛】：函数零点的求解与判断：

(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

13．（2020·河南新乡高三三模（理））函数f（x）＝，则f（f（））＝_____．

【答案】﹣1

【解析】

【分析】

先计算出，再计算得值，由此得出结果.

【详解】

依题意得.

故答案为：

14．（2020·全国高三课时练习（理））设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是__________.

【答案】

【解析】

【分析】

对的符号进行分类讨论，带入相应的解析式求解不等式，可得f(a)≥－2，再对a的符号进行分类讨论代入相应解析式求解不等式即可.

【详解】

当时，f(f(a))≤2即为，，

解得，所以；

当时，f(f(a))≤2即为，因为恒成立，所以满足题意.

所以f(a)≥－2，则或 ，解得.

故答案为：

15．（2020·石嘴山市第三中学高三其他（理））对于函数．现有下列结论：①任取，，都有；②函数有3个零点；③函数在上单调递增；④若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则．其中正确结论的序号为______．（写出所有正确命题的序号）

【答案】①②④

【解析】

【分析】

作出函数的图象，求出时的最大值和最小值，可判断①；由图可直接判断②③④，进而可得答案.

【详解】

的图象如图所示：

①当时，的最大值为，最小值为，

∴任取，，都有恒成立，故①正确；

②如图所示，函数和的图象有3个交点，即有3个零点，故②正确；

③函数在区间上的单调性和上的单调性相同，则函数在区间上不单调，故③错误；

④当时，函数关于对称，若关于的方程有且只有两个不同实根，，则，则成立，故④正确；

故答案为：①②④.