高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.2 复数的四则运算精品学案设计

复数的四则运算

核心知识点一：复数加法与减法的运算法则

1. 复数的加、减法运算

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a ,b ,c ,d∈R)是任意两个复数，则

①z1＋z2＝（a＋c）＋（b＋d）i；

②z1－z2＝（a－c）＋（b－d）i。

（2）对任意z1，z2，z3∈C，有

①z1＋z2＝z2＋z1；

②（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）。

2. 复数加减法的几何意义

复数与复平面内的向量有一一对应的关系，由此得出复数加减法的几何意义。

如图所示，设复数z1，z2对应向量分别为1，2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应。

核心知识点二：复数代数形式的乘法运算

1. 复数的乘法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则z1·z2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i。

2. 复数乘法的运算律

对任意z1，z2，z3∈C，有

（1）交换律：z1·z2＝z2·z1。

（2）结合律：（z1·z2）·z3＝z1·（z2·z3）。

（3）乘法加法的分配律：z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3。

核心知识点三：共轭复数、复数的除法运算

1. 共轭复数

如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数互为共轭复数，z的共轭复数用z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），则z＝a－bi。

2. 复数的除法法则

设z1＝a＋bi（a，b∈R），z2＝c＋di（c＋di≠0且c，d∈R），则＝＝＋i（c＋di≠0）。

例题1  计算：＋（2－i）－；

解：＋（2－i）－＝＋i＝1＋i。

总结提升：

复数与复数相加减，相当于多项式加减法的合并同类项，将两个复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。

例题2  如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为0、3＋2i、－2＋4i，试求

①所表示的复数，所表示的复数；

②对角线所表示的复数；

③对角线所表示的复数及的长度。

解：①＝－，∴所表示的复数为－3－2i。

∵＝，∴所表示的复数为－3－2i。

②∵＝－，

∴所表示的复数为（3＋2i）－（－2＋4i）＝5－2i。

③对角线＝＋，它所对应的复数z＝（3＋2i）＋（－2＋4i）＝1＋6i,

||＝＝。

总结提升：用复数加、减运算的几何意义解题的技巧

（1）形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理。

（2）数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中。

例题3  （1）若a为实数，且（2＋ai）（a－2i）＝－4i，则a＝（　　）

A. －1              B. 0

C. 1                D. 2

（2）计算－；

答案：（1）B    （2）2i

解析：（1）由（2＋ai）（a－2i）＝－4i，得4a＋a2i＝0，即a＝0，故选B。

（3）－＝

总结提升：

复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化（方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i）。

例题4  （1）已知1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0（a,b∈R）的一个根，则a+b=（    ）

A. -1         B. 1        C. -3           D. 3

答案：A

解析：将1+i代入到方程ax2+bx+2=0中，得

，即，

∵a,b∈R，∴，解得，

∴a+b=-1,故选A。

（2）已知关于x的方程有一个模为1的虚根，求实数k的值。

解：由题意，得，解得

设两根为，则

所以解得。

所以。

总结提升：

在复数范围内，实系数一元二次方程的求根公式为：

（1）当时，（两个实数根）；

（2）当时，（两个虚数根）.

1. 复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算。

2. 复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则。

3. 对复数除法的两点说明

（1）实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似。

（2）代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开。

（答题时间：30分钟）

一、选择题

1. 设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为（　　）

A. 1＋i　　　　　　　　　　    B. 2＋i

C. 3                           D. －2－i

2. 若实数x，y满足（x＋i）＋（1－yi）＝2，则xy的值为（　　）

A. 1　　　                   B. 2

C. －2                          D. －1

3. 复平面内表示复数z＝i（－2＋i）的点位于（　　）

A. 第一象限                 B. 第二象限

C. 第三象限       D. 第四象限

4. 已知＝1＋i（i为虚数单位），则复数z＝（　　）

A. 1＋i                        B. 1－i

C. －1＋i        D. －1－i

5. 复数的共轭复数是（　　）

A. 2＋i       B. －2＋i

C. －2－i      D. 2－i

二、填空题

6. 已知复数z1＝（a2－2）＋（a－4）i，z2＝a－（a2－2）i（a∈R），且z1－z2为纯虚数，则a＝       。

7. 复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝。则|z1－z2|＝________。

8. 已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________。

9. 已知m∈R，复数－的实部和虚部相等，则m＝________。

三、解答题

10. 已知z，ω为复数，（1＋3i）z为纯虚数，ω＝，且|ω|＝5，求ω。

1. 答案：D

解析：因为z1＋z2＝（2＋bi）＋（a＋i）＝（2＋a）＋（b＋1）i＝0，

所以即所以a＋bi＝－2－i。

2. 答案：A

解析：依题意，得x＋1＝2且1－y＝0，所以x＝y＝1，所以xy＝1。

3. 答案：C

解析：z＝i（－2＋i）＝－2i＋i2＝－1－2i，故复平面内表示复数z＝i（－2＋i）的点位于第三象限，故选C。

4. 答案：D

解析：因为＝1＋i，所以z＝＝＝＝－1－i。

5. 答案：B

解析：因为＝＝－i－2，所以共轭复数是－2＋i。

6. 答案：-1

解析：z1－z2＝（a2－a－2）＋（a－4＋a2－2）i（a∈R）为纯虚数，

∴解得a＝－1。

7. 答案：

解析：由|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，知z1，z2，z1＋z2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z1－z2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z1－z2|＝。

8. 答案：－2　

解析：因为a∈R，＝＝

＝－i为实数，所以－＝0，所以a＝－2。

9. 答案：

解析：由－＝－＝－＝。由已知得＝，则m＝。

10. 解：设z＝a＋bi（a，b∈R），

则（1＋3i）z＝a－3b＋（3a＋b）i，

由题意，得a＝3b≠0。

因为|ω|＝＝5，

所以|z|＝＝5，

将a＝3b代入上式，得a＝±15，b＝±5，

故ω＝±＝±（7－i）。