数学必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积精品同步测试题

第八章 立体几何初步 8.3简单几何体的表面积与体积

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1.《九章算术》中"开立圆术"曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径."开立圆术"相当于给出了已知球的体积,求其直径,公式为,如果球的半径为,根据"开立圆术"的方法求得球的体积为(     )

A. B.  C. D.

2.正三棱柱的顶点都在同一个球面上,若球的半径为4,则该三棱柱的侧面面积的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.设是同一个半径为4的球的球面上四点,为等边三角形且其面积为,则三棱锥体积的最大值为(     )

A.  B.  C.  D.

4.一个各面均为直角三角形的四面体容器,有三条棱长为1,要能够完全装下一个半径为的球体,则球半径的最大值为(      )

A.  B.  C.  D.

5.已知长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是(     )

A.  B.  C.  D.

6.如图,一个盛满溶液的玻璃杯,其形状为一个倒置的圆锥,现放一个球状物体完全浸没于杯中,球面与圆锥侧面相切,且与玻璃杯口所在平面相切,则溢出溶液的体积为(     )

A.    B. C.  D.

7.已知一个圆柱的侧面展开图是边长为1的正方形,则该圆柱的外接球的表面积为(      )

A. B. C. D.

8.若球面上有四个点,若两两垂直,且,则该球的表面积为(       )

A. B.  C.  D.

9.用与球心距离为1的平面去截球所得的截面面积为,则球的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

10.如图8-3-6所示,在中,.若将绕直线旋转一周,则所形成的旋转体的体积是(    )

A.  B. C. D.

二、填空题

11.已知圆锥的顶点为,母线所成角的余弦值为与圆锥底面所成角为,若的面积为,则该圆锥的侧面积为________.

12.已知四棱锥的底面是边长为的正方形,侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为_____.

13.若四点在半径为的球面上,且,则三棱锥的体积是_____.

14.以边长为2的正三角形的一条高所在直线为旋转轴,将该三角形旋转一周,所得几何体的表面积为________.

15.已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形,则圆柱的表面积为________.

三、解答题

16.如图8-3-9所示,一个圆台形花盆盆口直径为,盆底直径为,底部渗水圆孔直径为,盆壁长.则花盆的外壁的表面积是多少?

参考答案

1.答案：D

解析：由题意得到已知直径,可求得体积.

2.答案：A

解析：设正三棱柱高为,底面正三角形边长为,所以三棱柱侧面面积为.

,,

,,

所以该三棱柱的侧面面积的最大值为.

3.答案：B

解析：由等边的面积为可得,

所以,所以等边的外接圆的半径为,

设球的半径为,球心到等边的外接圆圆心的距离为,则.所以三棱锥高的最大值为,所以三棱锥体积的最大值为.

4.答案：C

解析：如图所示,

平面, ,

易知四面体的四个面均为直角三角形,

且,

则的面积,

四面体的体积为,

四面体的表面积为

.

因此,的最大值为.

5.答案：C

解析：长方体的一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一个球面上,

所以长方体的体对角线长就是球的直径,

长方体的体对角线长为,

所以球的半径为,

所以这个球的表面积是.

6.答案：D

解析：如图

球心为圆锥截面三角形的中心,因为圆锥截面为正三角形,且边长为4,设球的半径为,

则,所以溢出溶液的体积等于球的体积,为.

7.答案：A

解析：设圆柱的底面半径为,高为,则,

，设圆柱外接球的半径为,

则,

所以圆柱外接球的表面积为,故选A. 

8.答案：D

解析：由题意可知,该球是一个棱长为4的正方体的外接球,

设球的半径为,则,解得,所以外接球的表面积.

9.答案：C

解析：因为用与球心距离为1的平面去截球所得的截面面积为,所以截面的半径,

所以球的半径,所以球的表面积,故选C.

10.答案：D

解析：如图,

该旋转体的体积是以为底面半径,和为高的两个圆锥的体积之差.

因为,所以.

又因为,所以,

所以.

11.答案：

解析：如图,

与底面成角,

为等腰直角三角形.

设

则.

在中,,

,

,

解得,

,

即母线长.

所以该圆锥的侧面积.

12.答案：

解析：如图所示,

在四棱锥中,为正方形的中心,也是圆柱下底面的中心,由四棱锥底

面边长为,可得.设为的中点,过点作交于点,则即为圆柱上底面的中心.

.

.

可得.

13.答案：20

解析：根据题意构造长方体,其面上的对角线构成三棱锥,如图所示,

设长方体的长、宽、高分别为则有解得,所以三棱锥的体积为.

14.答案：

解析：以边长为2的正三角形的一条高所在直线为旋转轴,将该三角形旋转一周,所得几何体为圆锥,圆锥的底面半径,母线长,所以该几何体的表面积.

15.答案：

解析：由题意得圆柱的高,底面半径,所以圆柱的表面积为.

16.答案：

解析：如图所示,

由圆台的表面积公式得花盆的外壁的表面积

答 : 花盆的外壁的表面积约为