数学九年级下册第26章 二次函数26.2 二次函数的图象与性质2. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质优秀第3课时学案设计

这是一份数学九年级下册第26章 二次函数26.2 二次函数的图象与性质2. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质优秀第3课时学案设计，共8页。学案主要包含了知识链接，新知预习等内容，欢迎下载使用。

2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质


第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质


学习目标：


1.会用描点法画出y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象.


2.掌握二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象的性质并会应用.(重点）


3.理解二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)之间的联系.（难点）





自主学习


一、知识链接


1.分别说说下列函数图象的开口方向，对称轴，顶点，最值和增减变化情况.


2.将抛物线y=x2向下平移2个单位，得到的抛物线的表达式为 ;将抛物线y=x2向右平移2个单位得到抛物线的表达式为 .


思考：将抛物线y=x2向下平移2个单位,再向右平移2个单位得到的抛物线有怎样的表达式？





图①


二、新知预习


1.在图①所示的坐标系中画出二次函数y=x2-2,y=(x-2)2,y=(x-2)2-2的图象.








2.结合图象，填空：


(1)抛物线y=(x-2)2-2的开口向__________，对称轴为______________，


顶点坐标为_____________；


(2)抛物线y=(x-2)2-2，当x_____时，y随x的增大而增大，当x_____时，y随x的增大而减小；


(3)抛物线y=(x-2)2-2的可看作由抛物线y=x2-2向____平移_______个单位得到，


也可以看作由抛物线y=(x-2)2向____平移_______个单位得到.


练习：.


1.抛物线y=2（x+1）2-2的对称轴是（ ）


A．直线x=1 B．直线x=-1 C．直线x=2 D．直线x=-2


2.抛物线y=-3（x-1）2+3的顶点坐标是（ ）


A．（-1，-3） B．（-1，3） C．（1，-3） D．（1，3）


合作探究


要点探究


探究点1：二次函数y=a(x－h)2+k的图象和性质


图②


画一画 在图②所示的坐标系中画出二次函数的图象.





问题1 说一说二次函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.








问题2 观察图象，当x满足什么条件时，y随x的增大而增大？








议一议 观察图①和图②，说一说二次函数y=a(x－h)2+k的图象和性质.








【要点归纳】二次函数y=a(x－h)2+k(a≠0)的性质


当a＞0时，抛物线开口方向向上，对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h，k)，当x=h时，y有最小值为k.当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大.


当a＜0时，抛物线开口方向向下，对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h，k)，当x=h时，y有最大值为k.当x＜h时，y随x的增大而增大；x＞h时，y随x的增大而减小.








【典例精析】


例1 二次函数y＝﹣2(x-1)2﹣4，下列说法正确的是( )


A．开口向上


B．对称轴为直线x＝-1


C．顶点坐标为(1，4)


D．当x＜1时，y随x的增大而增大


【针对训练】已知抛物线y=（x+2）2-1．


（1）求它的顶点坐标和对称轴；


（2）在给出的坐标系中，画出函数y=（x+2）2-1的图象；


（3）结合图象回答：当x在什么范围时，y随x的增大而减小？














例2 如图，抛物线y=-（x-1）2+4与y轴交于点C，顶点为D．


（1）求顶点D的坐标．


（2）求△OCD的面积．




















探究点2：二次函数y=a(x－h)2+k与y=ax2的关系


观察与思考


（1）观察图中画出的二次函数y=x2，y=x2-2,y=(x-2)2,y=(x-2)2-2的图象，填空：








(2)说一说如何由抛物线y=x2平移得到抛物线y=(x-2)2-2？











【要点归纳】二次函数y=ax2与y=a(x－h)2+k的关系


上下平移，括号外上加下减，括号内不变；左右平移，括号内左加右减，括号外不变.二次项系数a不变.





例3 将抛物线y=2x2向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线的表达式为（ ）


A．y=2（x-4）2-1 B．y=2（x+4）2+1


C．y=2（x-4）2+1 D．y=2（x+4）2-1


【针对训练】将抛物线y＝5（x﹣1）2+1向上平移2个单位，再向右平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ）


A．y＝5（x+2）2+3 B．y＝5（x﹣4）2﹣1


C．y＝5（x﹣4）2+3 D．y＝5（x﹣3）2+4


二、课堂小结


当堂检测


1.二次函数y=-（x+3）2+2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ）


向下，直线x=3，（3，2） B．向下，直线x=-3，（3，2）


C．向上，直线x=-3，（3，2） D．向下，直线x=-3，（-3，2）


2.已知二次函数y=2（x-1）2+3的图象经过平移以后得到新的二次函数为y=2（x+1）2-1，则原图象经过了怎样的平移（ ）


A．向左平移2个单位；向下平移2个单位 B．向右平移2个单位；向下平移2个单位


C．向左平移2个单位；向下平移4个单位 D．向右平移2个单位；向上平移2个单位





3.已知函数图象如图所示，根据图象可得：


（1）抛物线顶点坐标__________；


（2）对称轴为__________；


（3）当x=_______时，y有最大值是______；


（4）当_______时，y随着x的增大而减小．


4.已知二次函数y=+1，则下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线x=-；③其图象顶点坐标为；④当x＜时，y随x的增大而减小，其中说法正确的有_______(填序号）.





已知二次函数y=-（x-1）2+1．


（1）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；


若（x1，m），(x2，n)是抛物线上的两点，且x1＜x2＜0，则m____n(填“＞”“＜”或“＝”);


（3）若将此图象沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向下平移1个单位，请直接写出平移后图象所对应的函数关系式．








如图，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A．


（1）求点M、A的坐标；


（2）连结AM、OM，求∠AOM的正切值．














参考答案


自主学习


知识链接


填表如下：


2.y=x2-2 y=（x-2）2


二、新知预习


1.解：二次函数y=x2-2,y=(x-2)2,y=(x-2)2-2的图象如图①所示.





图① 图②


2.（1）上 直线x=2 (2,-2) (2)x＞2 ＜2 （3）右 2 下 2 练习：1.B 2.D


合作探究


一、要点探究


探究点1：二次函数y=a(x－h)2+k的图象和性质


画一画： 二次函数的图象如图②所示.


问题1 答：二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x=-1,顶点坐标为（-1,-2）.


问题2 答：当x＜-1时，y随x的增大而增大.


【典例精析】例1 D


【针对训练】解：（1）顶点坐标为（-2，-1），对称轴为直线x=-2.


画图略. （3）当x＜-2时，y随x的增大而减小.


例2 解：（1）由y= -（x-1）2+4，得顶点D的坐标为（1，4）.


（2）把x=0代入y= -（x-1）2+4得y=3，即OC=3，所以△OCD的面积为×3×1=．


探究点2：二次函数y=a(x－h)2+k与y=ax2的关系


观察与思考


（1）从上到下，从左到右，依次填写：右 2 下 2 下 2 右 2


（2）将抛物线y=x2先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y=(x-2)2-2；或将抛物线y=x2先向下平移2个单位，再向由平移2个单位可得到抛物线y=(x-2)2-2.


【典例精析】例3 B 【针对训练】C


课堂小结


上 直线x=h (h，k) ＞h ＜h 下 直线x=h (h，k) ＜h ＞h


当堂检测


D 2.C 3.（1）（-3,2） （2）直线x=-3 （3）-3 2 （4）x＞-3 4.①④


5.解：（1）函数图象如图所示；





(2)＜


（3）∵图象沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向下平移1个单位，∴平移后的二次函数图象的顶点坐标为（-2，0），∴平移后图象所对应的函数关系式为：y=-（x+2）2．


6.解：（1）∵抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的函数表达式为y=（x-1）2-3，


∴顶点M（1，-3），令x=0，则y=（0-1）2-3=-2，∴点A（0，-2）.


（2）∵M（1，-3），∴tan∠AOM=．





开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
y=-x2
y=2x2+3
y= -(x+2)2
二次函数y=a(x－h)2+k(a≠0)的图象和性质
图象的特点
a>0



开口向_____，


对称轴是_________，


顶点坐标是_________.
当x______时，y随x的增大而增大，当x______时，y随x的增大而减小
a<0
开口向_____，


对称轴是_________，


顶点坐标是_________.
当x______时，y随x的增大而增大，当x______时，y随x的增大而减小
平移规律
左右平移：括号内左加右减；上下平移：括号外上加下减.
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
y=-x2
向下
y轴
(0,0)
最大值为0
y=2x2+3
向上
y轴
（0,3）
最小值为3
y= -(x+2)2
向下
直线x=-2
（-2,0）
最大值为0