华师大版九年级下册2. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质精品第1课时学案设计

这是一份华师大版九年级下册2. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质精品第1课时学案设计，共8页。学案主要包含了知识链接，新知预习等内容，欢迎下载使用。

学习目标：


1.会画二次函数y=ax2+k的图象.（重点）


2.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用.（难点）


3.理解y=ax²与 y=ax²+k之间的联系.（重点）





自主学习


一、知识链接


1.填写下表：





2.将直线y=2x向上平移2个单位，得到的新的直线的表达式为______________;直线y=-2x-3是由直线y=-2x通过怎样的变换得到的？








思考：y=x2与y=x2+3的图象之间能通过平移变换得到吗？





二、新知预习


（预习课本P9-10）试说出函数y=ax2+k（a,k是常数，且a≠0）的图象的开口方向、对称轴及顶点坐标：





练习：


1.抛物线y=x2-3的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看做是由抛物线y=x2向 平移 个单位得到.


2.将抛物线y=2x2-3的图象向上平移4个单位后，所得抛物线是 ，其顶点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小；当x 时，y取最 值，为 .











合作探究


要点探究


探究点1：二次函数y=ax2+k的图象及平移


做一做 在同一直角坐标系中，画出二次函数y=2x2，y=2x2+1的图象．


(1)列表:





（2）列表，连线.








观察列表，当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？








（4）将（3）中的数值转换为坐标，反映在函数图象上，观察图象，相应的两个点之间的位置有什么关系？








【要点归纳】二次函数y=ax2+k的图象可以由y=ax2的图象平移得到：


当k > 0 时，向上平移k个单位得到.当k < 0 时，向下平移－k个单位得到.


规律总结为：平方项不变，常数项上加下减.





【典例精析】


例1 抛物线y=2x2-5通过平移，得到抛物线y=2x2，则平移方式正确的是（ ）


A．向左平移5个单位 B．向右平移5个单位


C．向上平移5个单位 D．向下平移5个单位


【针对训练】（1）将抛物线y=-x2向上平移3个单位后，得到的抛物线的表达式是_______________;


(2)将抛物线y=x2+2向下平移4个单位后所得新抛物线的表达式为___________________.





探究点2：二次函数y=ax2+k的图象和性质


思考 图形平移之后，性质会发生改变吗？你能通过二次函数y=2x2的性质推断出函数y=2x2+1的性质吗？





观察 观察二次函数y=2x2，y=2x2+1的图象，填写下表：


【要点归纳】二次函数y=ax2+k(a≠0)的性质


当a＞0时，抛物线开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，k)，当x=0时，y有最小值为k.当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大.





做一做 在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数y=－x2，y=－x2-2，y=－x2+2的图象，并说一说它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、函数最值、函数增减性.


观察与思考 根据图象回答下列问题:


(1)三条抛物线的开口方向_____________；(2)对称轴都是____________________ ；


(3) 从上而下顶点坐标分别是 _____________________;


(4)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为______、______﹑______.


(5) 函数的增减性都相同:_____________________________________.


【要点归纳】二次函数y=ax2+k(a≠0)的性质


当a＜0时，抛物线开口方向向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，k)，当x=0时，y有最大值为k.当x＜0时，y随x的增大而增大；x＞0时，y随x的增大而减小.





【典例精析】


例2 关于二次函数y=2x2+4，下列说法错误的是（ ）


A．其图象的开口方向向上 B．当x=0时，y有最大值4


C．其图象的对称轴是y轴 D．其图象的顶点坐标为（0，4）


【针对训练】 关于抛物线y=-x2+1与y=x2-1，下列说法正确的是 （ ）


A．开口方向相同B．顶点相同


C．对称轴相同 D．当x＞0时，y随x的增大而增大





例3 在直角坐标系中，函数y＝3x与y＝-x2+1的图象大致是（ ）





【针对训练】在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数y＝ax2＋k的图象大致为( )








【方法归纳】熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键．

















课堂小结


当堂检测


1.对于抛物线y=2x2-1,下列说法中，正确的有______________(填序号).


①顶点坐标为（-1,0）；②对称轴为y轴；③开口方向向上；④可由抛物线y=2x2向下平移1个单位得到；⑤(-1,y1),( -3,y2)是该抛物线上的两个点，则y1＜y2.


2.已知抛物线y=ax2+k.


（1）若抛物线y=ax2+k的形状与y=2x2相同，开口方向相反，且顶点坐标为(0,-3)，则该抛物线的函数表达式是____________;


（2）若抛物线y=ax2+k向上平移两个单位后得到的抛物线的函数表达式为y=-0.5x2-1，则a=______,k=______;


（3）若抛物线y=ax2+k的最小值为4，且经过点(1,5),则该抛物线的函数表达式是__________;将抛物线y=ax2+k向下平移3个单位，得到的新的抛物线的函数表达式是_____________.


3.二次函数y=a+(m-5)的图象的顶点在x轴下方，求m的值.











4.已知二次函数y=x2+k的图象经过点P（-2，3）.


（1）求二次函数的表达式；


（2）画出此二次函数的图象；


（3）若该二次函数图象的顶点为D，与x轴正半轴的交点为A，求△APD的面积.








参考答案


自主学习


知识链接


1.向上 向下 （0,0） （0,0） y轴 y轴 减小 增大 增大 减小


2.y=2x+2 直线y=-2x-3是由直线y=-2x通过向下平移3个单位得到


新知预习





练习：1.向上 y轴 （0，-3） 下 3 2.y=2x2+1 （0,1） ＞0 ＜0 =0 小 1


合作探究


要点探究


探究点1：二次函数y=ax2+k的图象及平移


做一做：


（1）填表如下：


（2）列表，连线如图①所示：


当自变量x取同一数值时，函数值y2比y1大1.


函数y2=2x2+1的图象上的每一点都在函数y1=2x2的图象上相应点的上方1个单位.


【典例精析】例1 C 【针对训练】（1）y=-x2+3 (2)y=x2-2





图① 图②


探究点2：二次函数y=ax2+k的图象和性质


观察 填表如下：


做一做： 二次函数y=－x2，y=－x2-2，y=－x2+2的图象如图②所示.


观察与思考 （1）向下 （2）y轴（或直线x=0） (3)(0,2),(0,0),（0，－2）


（4）高 大 y=2 y=0 y=－2


对称轴左侧，y随x的增大而增大，对称轴右侧，y随x的增大而减小





【典例精析】例2 B 【针对训练】C 例3 D 【针对训练】D





二、课堂小结


上 y轴 （0，k） ＞0 ＜0 下 y轴 （0，k） ＜0 ＞0 上 下





当堂检测


1.②③④⑤


2.（1）y=-2x2-3 （2）-0.5 -3 （3）y=x2+4 y=x2+1


3.解：由题意得m2-4m-3=2，且m-5＜0，则m=-1.


4.解：（1）把（-2，3）代入y=x2+k得4+k=3，解得k=-1，


所以二次函数的表达式为y=x2-1；


（2）抛物线y=x2-1的顶点坐标为（0，-1），当y=0时，x2-1=0，解得x1=1，x2=-1，则抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（1，0），如图所示.


（3）设直线PD的表达式为y=kx+b,将点（-2,3），（0，-1）代人得解得即直线PD的表达式为y=-2x-1.当y=0时，-2x-1=0,解得x=.设直线PD与x轴的交点为C，则C.


∴S△APD=S△APC+S△ADC==3.





y=3 x2
y=-3 x2
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 .
在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 .
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=ax2+k
a＞0
开口向______
a＜0
开口向______
x
···
-1.5
-1
0
1
1.5
···
y1=2x2
···
···
y2=2x2+1
···
···
二次函数
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
y1=2x2
向_____
_____
_____
当x____0时，y随x的增大而增大；
y2=2x2+1
向_____
_____
_____
当x____0时，y随x的增大而减小
二次函数y=ax2+k


(a≠0)的图象和性质
图象的特点
a>0



开口向_____；


对称轴是_________，


顶点坐标是_________.
当x________时，y随x的增大而增大，当x_______时，y随x的增大而减小
a<0
开口向_____.


对称轴是_________，


顶点坐标是_________.
当x______时，y随x的增大而增大，


当x______时，y随x的增大而减小
平移规律
k正向_____平移；k负向下_____平移.
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=ax2+k
a＞0
开口向 上
y轴
（0，k）
a＜0
开口向 下
y轴
（0，k）
x
···
－1.5
－1
0
1
1.5
···
y1=2x2
···
4.5
2
0
2
4.5
···
y2=2x2+1
···
5.5
3
1
3
5.5
···
二次函数
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
y=2x2
向上
（0,0）
y轴
当x＞ 0时，y随x的增大而增大；
y=2x2+1
向上
（0,1）
y轴
当x＜0时，y随x的增大而减小