华师大版九年级下册第26章 二次函数26.2 二次函数的图象与性质2. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质学案设计

26.2  二次函数的图象与性质

2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质

第5课时   图形面积的最大值

学习目标：

1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.（难点）

2.能应用二次函数的性质求出图形面积的最大值.（重点）

自主学习

一、知识链接

用一段长为20 m的篱笆围成一个矩形菜园，设AB=x m,用含x的代数式填空：

（1）如图①，AD的长为_________m,矩形菜园的面积S=___________，x的取值范围为____________;

（2）如图②，菜园中间用一道篱笆隔开，此时AD的长为_________m,矩形菜园的面积S=___________,

x的取值范围为____________;

（3）如图③，菜园的一面靠墙，此时AD的长为_________m,矩形菜园的面积S=___________.

若可利用的墙的长度不限，则x的取值范围为____________;若可利用的墙的长度为8 m,则x的取值范围为____________.

            图①                   图②                     图③

二、自主预习

填空并完成下列练习：

求二次函数y=ax2+bx+c（x为任意实数）的最大（或小）值时，常用方法有两种：

（1）将抛物线y=ax2+bx+c通过配方，转化为y=a(x-h)2+k的形式.若a＞0，则当x=_____时，y取最_____值,此时，y=__________;若a＜0，则当x=_____时，y取最______值,此时，y=__________.

（2）运用公式法，若a＞0，则当x=时，y取得最_______值，此时y=_____________;若a＜0，则当x=时，y取得最_______值，此时y=_____________;

练习

1.求二次函数y=x2－6x－5的最大(或小）值，可先将其配方，可化为y=(x-_______)2+_________,则该函数有最_______值，其值为__________;

2.求二次函数y=的最(大或小）值,可利用公式法，当x=________时，该函数有最_________值，其值为___________.

合作探究

一、要点探究

探究点1：求二次函数的最大(或最小)值

做一做  1.在如图所示的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象，根据图象，回答问题:

问题1

（1）当x取任意实数时，二次函数在何时取得最大（或小）值？

（2）当-3≤x≤1时，二次函数在何时取得最大值？

做一做  2.在如图所示的平面直角坐标系中，画出二次函数y=-x2-2x+3的图象，根据图象，回答问题：

问题2

（1）当x取任意实数时，二次函数y=-x2-2x+3在何时取得最大（或小）值？

（2）当-3≤x≤4时，二次函数y=-x2-2x+3在何时取得最大值？

【要点归纳】当自变量的范围有限制时，二次函数的最值可以根据以下步骤来确定：

1.配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴.

2.画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x的取值范围.

3.判断，判断x的取值范围与对称轴的位置关系.根据二次函数的性质，确定当x取何值时函数有最大或最小值.然后根据x的值，求出函数的最值.

【典例精析】

例1  求下列函数的最大值与最小值.

（1） (-1≤x≤2）；   (2) y=-100x2+100x+200(0≤x≤2）； （3） . 

探究点2：二次函数与几何图形面积的最值

问题  要用总长为40m的铁栏杆，围城一个矩形的花圃，怎样围，才能使围成的花圃的面积最大？

解：设AB的长为x m,则BC的长为__________m,

此时花圃的面积S=___________m2.

易知x的取值范围为____________.

S=___________=-（      ）2+_________,

则当x=_________时，S取得最大值，此时最大面积为________m2.

变式 若花圃的一面靠墙（墙足够长），怎样围，能使围成的花圃的面积最大？

解：设AB的长为x m,则BC的长为__________m,

此时花圃的面积S=___________m2.

易知x的取值范围为____________.

S=___________=_____（      ）2+_________,

则当x=_________时，S取得最大值，此时最大面积为________m2.

想一想：（1）若可利用的墙的长度为24m，怎样围，能使围成的花圃的面积最大？

（2）若可利用的墙的长度为16 m，怎样围，能使围成的花圃的面积最大？

【典例精析】

例2  如图所示，用一根长度为18米的原材料制作一个矩形窗户边框（即矩形ABFE和矩形DCFE），原材料刚好全部用完，设窗户边框AB长度为x米，窗户总面积为S平方米（注：窗户边框粗细忽略不计）．
（1）求S与x之间的函数关系式；
（2）若窗户边框AB的长度不少于2米，且边框AB的长度小于BC的长度，求此时窗户总面积S的最大值和最小值．

【针对训练】如图，有长24米的铁栏杆，一面利用墙（墙的最大长度为15米），围成中间隔有一道铁栏杆的长方形花圃．设花圃中垂直于墙AD的一边AB的长为米，花圃的总面积为平方米．

（1）求与之间的函数关系式；

（2）如果花圃的总面积为36平方米，求AB的长；

（3）能否围成面积比45平方米更大的花圃？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．

二、课堂小结

当堂检测

1.二次函数y=（x+1）2-2的最小值是（　　）

   A．-2       B．-1        C．1             D．2

2.二次函数y=-2x2-4x+3（x≤-2）的最大值为________.

3.已知直角三角形的两直角边之和为8，则该三角形的面积的最大值是________.

4.如图，将边长为40cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部分折成一个无盖的盒子．（纸板的厚度忽略不计）
（1）若该无盖盒子的底面积为900cm2，求剪掉的正方形的边长；
（2）求折成的无盖盒子的侧面积的最大值．

5.如图，某公司要建一个矩形的产品展示台，展示台的一边靠着长为9m的宣传版（这条边不能超出宣传版），另三边用总长为40 m的红布粘贴在展示台边上．设垂直于宣传版的一边长为x m.
（1）当展示台的面积为128 m2时，求x的值；
（2）设展示台的面积为y m2，求y的最大值．

参考答案

自主学习

一、知识链接

（1）（10-x）  x(10-x)   0＜x＜10

（2）（10-x） x（10-x）  0＜x＜

（3）（20-2x） x(20-2x)   0＜x＜10    6≤x＜10

二、新知预习

(1) h  小   k  h   大   k    (2)小     大  

练习：1. 3  (-14)   小    -14     2.    大 

合作探究

一、要点探究

探究点1：求二次函数的最大(或最小)值

做一做

1.解：如图①所示.

（1）当x取任意实数时，二次函数在x=2时取得最小值，此时y=1.

（2）由图象可知，当-3≤x≤1时，二次函数在x=-3处取得最大值，此时y=26.

       图①                     图②

2.解：如图②所示.

（1）当x取任意实数时，二次函数y=-x2-2x+3在x=-1时取得最大值，此时y=4.

（2）由图象可知，当-3≤x≤4时，二次函数y=-x2-2x+3在x=-1时取得最大值，此时y=4.

【典例精析】例1  解：（1）当x＜3时,y随x的增大而减小.∵-1≤x≤2，则当x=-1时，y取得最大值，此时y=6；当x=2时，y取得最小值，此时y=-9.

(2)y=-100x2+100x+200=-100(x2-x+)+25+200=-100(x-)2+225.∵0≤x≤2，∴当x=时，y取得最大值，此时y=225.当x=2时，y取最小值，此时y=0.

(3)∵-3≤x≤2,则当x=-2时，y取得最大值，此时y=5.当x=2时，y取得最小值，此时y=-3.

探究点2：二次函数与几何图形面积的最值

问题  （20-x）  x(20-x)   0＜x＜20  x(20-x)  x-10   100   10   100

变式 （40-2x） x(40-2x)  0＜x＜20   x(40-2x)  -2  x-10   200  10  200

想一想  （1）解：由可利用的墙的长度为24m，可得40-2x≤24，则8≤x＜20.因为y=-2(x-10)2+200,∴当x=10时，y取得最大值，此时围成的花圃的最大面积为200 m2.

（2）解：由可利用的墙的长度为16m，可得40-2x≤16，则12≤x＜20.因为y=-2(x-10)2+200,∴当x＞10时，y随x的增大而减小，则当x=12时，y有最大值，此时围成的花圃的最大面积为192 m2.

【典例精析】例2   解：（1）由题意可得S=x•=-x2+9x.
（2）由题意可得，2≤x＜，解得2≤x＜3.6.∵S=-x2+9x=-（x-3）2+,∴当x=3时，S取得最大值，此时S=，当x=2时，S取得最小值，此时S=12.
答：窗户总面积S的最大值是m2、最小值是12m2．

【针对训练】解：（1）花圃的宽AB为x米，则BC=（24-3x）米，
∴S=x（24-3x），即S=-3x2+24x（3≤x＜8）；
（2）当S=36时，-3x2+24x=36，解得x1=2，x2=6，当x=2时，24-3x=18＞15，不合题意，舍去；当x=6时，24-3x=6＜15，符合题意，故AB的长为6米．
（3）S=-3x2+24x=-3（x-4）2+48，∵3≤x＜8，∴能围成面积比45平方米更大的花圃，当x=4米时面积最大，最大面积为48平方米．

当堂检测

1.A   2. 5   3. 8   

4.解：（1）设剪掉的正方形的边长为x cm，则（40-2x）2=900，
即40-2x=±30，解得x1=35（不合题意，舍去），x2=5.
答：剪掉的正方形边长为5cm；
（2）设剪掉的正方形的边长为x cm，盒子的侧面积为y cm2，则y与x的函数关系式为y=

4（40-2x）x，即y=-8x2+160x，y=-8（x-10）2+800.∵-8＜0，∴y有最大值，
∴当x=10时，y最大=800；
答：折成的长方体盒子的侧面积有最大值，这个最大值是800cm2．

5.解：（1）由题意x（40-2x）=128，解得x=4或16，当x=4时，40-2x=32＞9，不合题意.
∴x的值为16.
（2）由题意y=x（40-2x）=-2x2+40x=-2（x-10）2+200．∵40-2x≤9，
∴x≥，∴当x=时，y=-2（-10）2+200=139.5．∴y的最大值为139.5．