数学九年级下册2. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质优秀第4课时学案

这是一份数学九年级下册2. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质优秀第4课时学案，共9页。学案主要包含了知识链接，新知预习等内容，欢迎下载使用。

2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质


第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质


学习目标：


1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.(难点）


2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.（重点）


自主学习


一、知识链接


1.填空：


（1）x2+6x+10=（x+_____）2+___________; （2）x2-4x-6=（x-_____）2+___________;





（3）3x2+8x-4=3（x+_____）2+___________; （4）x2-3x+1=（x-_____）2+___________.


(1)抛物线y=(x-2)2+3的开口向________,对称轴为直线___________,顶点坐标为_________,当x=_____, 二次函数y=(x-2)2+3有最_____值，为______.


(2)抛物线y=-3(x+3)2+1的开口向________,对称轴为直线___________,顶点坐标为_________,当x_________时，y随x的增大而减小.


思考：二次函数y=x2+2x+3的开口方向、对称轴、顶点坐标，如何确定呢？


二、新知预习


填空并完成练习


1.说一说抛物线y=x2+2x+3并说出其开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性.


y=x2+2x+3=（x+_____）2+________;


抛物线y=x2+2x+3的开口向___________,对称轴为___________,顶点坐标为_________.当x


_________时，y随x的增大而增大，当_________时，y随x的增大而减小.


2.通过配方， 说明二次函数y=-2x2+4x-1的图象的开口方向、对称轴及顶点坐标.


（1）y=-2x2+4x-1=-2（x2-_______）-1=-2(x2-2x+____-____)-1=-2(x-____)2+________.


（2）抛物线y=-2x2+4x-1的开口向___________,对称轴为___________,顶点坐标为_________.


（3）这个函数有最_____值（填“大”或“小”），其值为_________.


【自主归纳】对于抛物线y=ax2+bx+c,可以先将抛物线通过_______，将其转化为y=a(x-h)2+k的形式，再确定抛物线的对称轴、顶点坐标及其他性质.


练习：写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点


y=-x2+2x-5； （2）y=8x2-48x+30.











合作探究


要点探究


探究点1：将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x－h)2+k


想一想


（1）请将化成y=a(x－h)2+k的形式，并说一说配方的方法及步骤；








（1）提出________系数，注意括号内的符号变化


(2)括号内配成完全平方


(3)化成y=a(x－h)2+k的形式















































（2）如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c(a≠0)化成顶点式y=a(x－h)2+k？








【要点归纳】将一般式y=ax2+bx+c(a≠0)化成顶点式y=a(x－h)2+k，则y=a(x+_______)2+_________.


练一练 将下列二次函数的一般式用配方法化成顶点式y=a(x-h)2+k的形式，并指出其顶点坐标．


（1）y=-3x2-2x+1； （2）y=x2-x+6．











探究点2：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质


说一说 （1）抛物线的对称轴、顶点坐标；








（2）求抛物线y=ax2+bx+c的对称轴、顶点坐标的一般步骤；











（3）抛物线y=ax2+bx+c的对称轴、顶点坐标.








【要点归纳】


一般地，二次函数y=ax2+bx+c可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即y=ax2+bx+c=_________;


因此，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是_____________;对称轴是直线______________;


如果a>0，当x< _________时，y随x的增大而减小；当x> _________时，y随x的增大而增大.


如果a<0，当x<________时，y随x的增大而增大；当x>_________时，y随x的增大而减小.


【典例精析】


例1 已知二次函数y＝x2﹣6x+5．


（1）将y＝x2﹣6x+5化成y=a(x-h)2+k的形式；


（2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；


（3）当x取何值时，y随x的增大而减小？














探究点3：二次函数字母系数与图象的关系（拓展）


问题 二次函数的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空（填“＞”“＜”或“＝”）.


①a1 0，b1 0，c1 0；


② a2 0，b2 0，c2 0；


③a3 0，b3 0，c3 0；


④ a4 0，b4 0，c4 0.











【要点归纳】二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a，b，c的关系如下：


①a＞0开口向上，a＜0开口向下；b=0对称轴为y轴；


②a、b同号对称轴在y轴的左侧，a、b异号对称轴在y轴的右侧；


③c=0图象经过原点；c＞0与y轴交于正半轴，c＜0与y轴交于负半轴.


④当x=±1时，y=a±b+c,当x=±2时，y=4a±2b+c.


【典例精析】


例2 二次函数y=-ax2+bx+c（a≠0）的图象如图①所示，则下列结论中，正确的是（ ）


A．a＜0 B．b＞0 C．c＞-1 D．4a+c＞2b





图① 图②


【针对训练】已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图②所示，下列结论：


①abc＞0；②2a+b＜0；③a-b+c＜0；④a+c＞0；其中正确的说法有 （写出正确说法的序号）．


课堂小结


当堂检测


抛物线y=x2+4x+7的对称轴是（ ）


A．直线x=4 B．直线x=-4 C．直线x=2 D．直线x=-2


2.二次函数y=x2-6x图象的顶点坐标为（ ）


A．（3，0） B．（-3，-9） C．（3，-9） D．（0，-6）


3.将抛物线y=x2-2x+1向下平移2个单位，再向左平移1个单位，所得抛物线的表达式是


.


4.二次函数y=-x2+4x+1的图象中，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是 .


5.将下列二次函数的一般式用配方法化成顶点式y=a(x-h)2+k的形式，并指出其开口方向、顶点坐标、对称轴及最值．


（1）y=2-4x-x2； （2）y=x2-3x-4； （3）y=2x2-3x； （4）y=-x2+6x-7.








5.已知抛物线y=2x2-12x+13.


（1）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？


（2）当x为何值时，y随x的增大而减小;


（3）将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，请直接写出新抛物线的表达式.











能力提升


6.一次函数y=ax+b与反比例函数y=的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的大致图象是（ ）

















参考答案


自主学习


一、知识链接


1.(1)3 1 (2)2 (-10) (3) (4)3


2.(1)上 x=2 (2,3) 2 小 3 （2）下 x=-3 (-3,1) ＞-3


二、新知预习


1.（1）1 2 （2）上 直线x=-1 (-1,2) ＞-1 ＜-1


2.（1）2x 1 1 1 1 (2) 下 直线x=1 (1,1) (3)大 1


【自主归纳】配方


练习：解：（1）y=-x2+2x-5=-（x-1）2-4.开口向下， 对称轴为直线x=1,顶点坐标为（1，-4）.


（2）y=8x2-48x+30=8（x-3）2-42.开口向上， 对称轴为直线x=3,顶点坐标为（3，-42）.


合作探究


探究点1：将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x－h)2+k


想一想


（1）6 6 9 9 3 3 二次项


（2）y=ax²+bx+c=











【要点归纳】


练一练


解：（1）y=-3x2-2x+1==,则其顶点坐标为.


（2）y=x2-x+6==，则其顶点坐标为（2,5）.


探究点2：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质


说一说


解：（1）对称轴为直线x=3,顶点坐标为.


先将抛物线y=ax2+bx+c通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，再根据y=a(x-h)2+k的图象和性质，判断抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标和对称轴.


（3）抛物线y=ax2+bx+c，易知其对称轴为直线，顶点坐标为.


【要点归纳】











【典例精析】


例1 解：（1）y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4；


（2）二次函数的图象的对称轴是x＝3，顶点坐标是（3，﹣4）；


（3）∵抛物线的开口向上，对称轴是x＝3，∴当x≤3时，y随x的增大而减小．





探究点3：二次函数字母系数与图象的关系（拓展）


问题 ①＞ ＞ ＞ ②＞ ＜ = ③＜ = ＞ ④ ＜ ＞ ＜


例2 D 【针对训练】②④


二、课堂小结





上 下 小 大 ＞ ＜ ＜ ＞


当堂检测


1.D 2.C 3.y=x2-2 4.x＞2


5.解：（1）y=-x2-4x+2=-（x+2）2+6，开口向下，对称轴为直线x=-2，顶点坐标为（-2，6），


最大值为6.


（2）y=x2-3x-4=（x-）2-，开口向上，对称轴为直线x=，顶点坐标为（，-），


最小值为-.


（3）y=2x2-3x=2（x-）2-，开口向上，对称轴为直线x=，顶点坐标为（，-），


最小值为-.


(4)y=-x2+6x-7=-（x-4）2+5，开口向下，对称轴为直线x=4，顶点坐标为（4，5），


最大值为5.


5.解：∵y=2x2-12x+13=2(x2-6x+9)-5=2(x-3)2-5，∴抛物线开口向上，顶点为(3，-5)，对称轴为直线x=3.


（1）当x=3时，y有最小值，最小值为-5；


（2）当x＜3时，y随x的增大而减小；


（3）新抛物线的表达式为y=2(x-5)2-3．


能力提升


6.D


二次函数y=ax2+bx+c


(a≠0)的图象和性质
顶点式
y=_____________________
图象和性质
a＞0
a＜0
顶点坐标：__________________


对称轴：直线________________
开口向____________
开口向____________
最_____值为________
最_____值为________
当x_______时，y随x的增大而增大，当x_________时，y随x的增大而减小
当x_______时，y随x的增大而增大，当x_________时，y随x的增大而减小