华师大版九年级下册3. 求二次函数的表达式优秀学案设计

这是一份华师大版九年级下册3. 求二次函数的表达式优秀学案设计，共9页。学案主要包含了知识链接，课堂小结等内容，欢迎下载使用。

3. 求二次函数的表达式


学习目标：


1.会用待定系数法求二次函数的表达式.(难点）


2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.（重点）


自主学习


一、知识链接


1.已知一次函数y=kx+3过点（1,2），则k=_________.


2.已知某反比例函数的图象经过点（2，-4），则该反比例函数的表达式为__________.


3.说一说：（1）反比例函数y=中，待定系数有几个？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？


（2）一次函数y=kx+b 中，有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？











思考： 对于二次函数y=ax2+bx+c,有几个待定系数？需要知道几个点的坐标能确定它的表达式？


新知预习


填空并完成练习


1.已知二次函数y=ax2的图象经过点(1,1),则a=_________;


2.已知二次函数y=ax2+k的图象的顶点坐标为（0,3），且经过点（1,5），则该二次函数的表达式为__________.


3.已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（1,6），（-1，2），求该二次函数的表达式.








4.已知某二次函数的图象经过点（2,6），（0,10），（1,7）三点，求该二次函数的表达式.











【自主归纳】求二次函数表达式的方法：①设函数表达式为y=ax2+bx+c；②代入图象上三个点的坐标，得到一个三元一次方程组；③解方程组得到a，b，c的值；④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.


练习：一个二次函数的图象经过(－1，10 )，(1，4)，(2，7)三点，求这个二次函数的表达式.











合作探究


要点探究


探究点1：一般式法求二次函数的表达式


【典例精析】


例1 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，-1），C（4，5）三点．求二次函数的表达式．








【针对训练】下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分，试求出这个二次函数的表达式.




















探究点2：顶点法求二次函数的表达式


问题 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（-2，-16），（4，-16），且函数的最大值为2，你能求出此函数的表达式吗？


由题意，可知二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标为 .


方法一：将点（-2，-16），（4，-16）， 代入y=ax2+bx+c，





得 解得 所以y=_________________.


____________________, __________________,





（2）二次函数y=ax2+bx+c通过配方，可转化为y=a(x-h)2+k的形式，若给定顶点坐标后，即可知道_____、_______的值，再将另外一个点的坐标代入，即可得a的值.


方法二：∵y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标为 ，可设y=a(x-_____)2+_____.


将点（-2，-16）代入可得a(-2-_____)2+_____=-16,解得a=_______.


∴y=___(x-_____)2+_____=_______________________.








【要点归纳】顶点法求二次函数的方法


已知抛物线的顶点坐标，设函数表达式是y=a(x－h)2+k，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：


①设函数表达式是y=a(x－h)2+k；②先代入顶点坐标，得到与a,h,k有关的一次方程（组）；


③将另一点的坐标代入一次方程（组）求出未知参数的值；④写出函数表达式.





【典例精析】


例2 已知二次函数的顶点坐标为（2，-2），且其图象经过点（1，-1），求此二次函数的表达式．











【针对训练】二次函数图象经过点A（4，-3），当x=3时，函数有最大值-1，求二次函数的表达式．























探究点3：交点法求二次函数的表达式（拓展）


问题 已知一个二次函数的图象经过点A（-1，0）、B（3，0）和C（0，-3）三点．求此二次函数的表达式.


方法一：

















思考：将y=x2-2x-3右边的整式因式分解，可得y=（x+_____)（x-_____）,对比点A，B的坐标，你有什么发现？


方法二：


解：设二次函数表达式为y=a（x+_____）（x-_____），∵抛物线过点C（0，-3），


∴-3=a（0+_____）（0-_____），解得a=_____，∴y=___×（x+_____）（x-_____），


∴二次函数的表达式y=_______________________．


【要点归纳】交点法求二次函数表达式的方法


已知抛物线与x轴的交点，设函数表达式是y=a(x－x1)(x－x2)的方法，求表达式的方法叫做交点法.


其步骤是：


①设函数表达式是y=a(x－x1)(x－x2)；


②先把两交点的横坐标x1，x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；


③将方程的解代入原方程求出a值；


④a用数值换掉，写出函数表达式.





【典例精析】


例3 分别求出满足下列条件的二次函数的表达式．


（1）图象经过点A(1，0)，B(0，-3)，对称轴是直线x=2；


（2）图象顶点坐标是(-2，3)，且过点(1，-3)；


（3）如图，图象经过A，B，C三点．








二、课堂小结





当堂检测


1.已知二次函数y=ax2-1的图象经过点（1，-2），那么a的值为（ ）


A．-2 B．2 C．1 D．-1


2.已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为（1，-3），则抛物线对应的函数表达式为（ ）


A．y=x2-2x+2 B．y=x2-2x-2 C．y=-x2-2x+1 D．y=x2-2x+1


3.已知二次函数y=ax2+4x+c，当x等于-2时，函数值是-1；当x=1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为 .


4.二次函数的部分图象如图所示，对称轴是x=-1，则这个二次函数的表达式为 .





5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（-3，0），（2，-5），（-2，3）．


(1)试确定此二次函数的表达式；


(2)写出该函数的对称轴及顶点坐标.














6.在二次函数y=ax2+bx+c中，部分x，y的对应值如下表：


（1）直接写出表格中m的值；


（2）求该函数的表达式.














参考答案





自主学习


知识链接


-1 2.y=


3.答：（1）反比例函数y=中，待定系数有1个，通常需要已知1个点的坐标求出它的表达式.


（2）一次函数y=kx+b 中，有2个待定系数，通常需要已知2个点的坐标求出它的表达式.


二、新知预习


1. 1 2. y=2x2+3


3.解：将点（1,6），（-1，2）代入y=x2+bx+c，得解得则二次函数表达式为y=x2+2x+3.


4.解：设该二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，将点（2,6），（0,10），（1,7）代入，得解得则该二次函数的表达式为y=x2-4x+10.


练习：


解：设该二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，将点(－1，10 )，(1，4)，(2，7)代入，得解得则该二次函数的表达式为y=2x2-3x+5.


合作探究


一、要点探究


探究点1：一般式法求二次函数的表达式


【典例精析】例1 解：根据题意得解得∴二次函数的表达式为y＝x2−x−1．





【针对训练】解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c，把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c得解得∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.





探究点2：顶点法求二次函数的表达式


问题 （1）（1,2） （1,2） -2x2+4x


(2)h k （1,2） 1 2 1 2 -2 -2 1 2 -2x2+4x


【典例精析】例2 解：设二次函数的表达式为y=a（x-2）2-2.∵图象经过点（1，-1），


∴-1=a（1-2）2-2，解得a=1，∴二次函数的表达式为y=（x-2）2-2．


【针对训练】 解：由题意可知此抛物线顶点坐标为（3，-1）,设其表达式为y=a（x-3）2-1．


将点（4，-3）代入得-3=a-1解得a=-2，∴此抛物线的表达式为y=-2（x-3）2-1


探究点3：交点法求二次函数的表达式（拓展）


问题 方法一 解：设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，将点A（-1，0）、B（3，0）和C（0，-3）代入得解得即二次函数的表达式y=x2-2x-3．


思考： 1 3


方法二 1 3 1 3 1 1 1 3 x2-2x-3





【典例精析】例3解：（1）∵图象经过点A(1，0)，对称轴是直线x=2，∴图象经过另一点(3，0).∴设该二次函数的表达式为y=a(x-1)(x-3).将点(0，-3)代入，得-3=a·(-1)(-3).解得a=-1.∴该二次函数的表达式为y=-(x-1)(x-3)=-x2+4x-3.





（2）∵图象的顶点为(-2，3)，且经过点(1，-3)，设抛物线的表达式为y=a(x+2)2+3，把(1，-3)代入，得a(1+2)2+3=-3，解得a=∴抛物线的表达式为y=


（3）根据图象可知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0），B（0，-3），C（4，5）三点，代入可得解得∴所求的二次函数的表达式是y=x2-2x-3.


当堂检测


1.D 2.B 3.y=2x2+4x-1 4.y=-x2-2x+3


5.解：（1）设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，将点（-3，0），（2，-5），（-2，3）代入得解得即二次函数的表达式y=-x2-2x+3．


(2)y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,则抛物线的对称轴为直线x=-1,顶点坐标为（-1,4）.


6.解：（1）从表格看：函数的对称轴为直线x=1，x=2与x=0是关于对称轴的对称点，


其y值相同，故m=2.


（2）由表格可知抛物线的顶点坐标为（1，3），设抛物线的表达式为y=a （x-1）2+3.


∵过点（0，2），∴2=a （0-1）2+3．∴a=-1．∴y=-（x-1）2+3=-x2+2x+2，


∴该函数的表达式为y=-x2+2x+2．x
－3
－2
－1
0
1
2
y
0
1
0
－3
－8
－15
待定系数法求二次函数表达式
已知条件
所选方法
已知三点坐标
用一般式法：y=ax2+bx+c
已知顶点坐标或对称轴或最值
用顶点法：y=a(x－h)2+k
已知抛物线与x轴的两个交点
用交点法：y=a(x－x1)(x－x2)


(x1，x2为交点的横坐标)
x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
-1
2
3
m
-1
…