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初中数学苏科版九年级下册第6章 图形的相似综合与测试测试题
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这是一份初中数学苏科版九年级下册第6章 图形的相似综合与测试测试题，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．如果2x=3y（x、y均不为0），那么下列各式中正确的是（ ）
A．=B．=3C．=D．=
2．在1：1000000的地图上，A，B两点之间的距离是5cm，则A，B两地的实际距离是（ ）
A．5kmB．50kmC．500kmD．5000km
3．已知点C是线段AB上的一个点，且满足AC2=BC•AB，则下列式子成立的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若=，则=（ ）
A．B．C．D．1
5．如图，BD=CD，AE：DE=1：2，延长BE交AC于F，且AF=4cm，则AC的长为（ ）
A．24cmB．20cmC．12cmD．8cm
6．下列说法：①所有等腰三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的等腰三角形相似；④有一个角为60°的两个直角三角形相似，其中正确的说法是（ ）
A．②④B．①③C．①②④D．②③④
7．如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是（ ）
A．AC：BC=AD：BDB．AC：BC=AB：ADC．AB2=CD•BCD．AB2=BD•BC
8．若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的最大边的比是（ ）
A．1：2B．1：4C．1：5D．1：16
9．如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AB2=BC•BDB．AB2=AC•BDC．AB•AD=BC•BDD．AB•AC=AD•BC
10．如图，△ABC中，点D、F在边AB上，点E在边AC上，如果DE∥BC，EF∥CD，那么一定有（ ）
A．DE2=AD•AEB．AD2=AF•ABC．AE2=AF•ADD．AD2=AE•AC
11．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，DE：EC=1：2，FB=12，则DF=（ ）
A．2B．3C．4D．6
12．一个钢筋三角形框架三边长分别为20厘米，50厘米、60厘米，现要再做一个与其相似的钢筋三角形框架，而只有长是30厘米和50厘米的两根钢筋，要求以其中一根为边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，则不同的截法有（ ）
A．一种B．二种C．三种D．四种
二、填空题
13．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=1，E为AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE，连结AD，下列说法：①∠BCE=∠ACD； ②△ACD∽△BCE； ③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四边形ABCD的面积有最大值，且最大值为.其中正确的结论是 .
14．已知：直角梯形OABC中，CB∥OA，对角线OB和AC交于点D，OC=2，CB=2，OA=4，点P为对角线CA上的一点，过点P作QH⊥OA于H，交CB的延长线于点Q，连接BP，如果△BPQ和△PHA相似，则点P的坐标为 .
15．我们已经学习了相似三角形，也知道：如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形.比如两个正方形，它们的边长、对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．
现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形，请指出其中哪几对是相似图形 .
16．利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是 .
17．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（7，0），D，E分别是线段AO，AB上的点，以DE所在直线为对称轴，把△ADE作轴对称变换得△A′DE，点A′恰好在x轴上，若△OA′D与△OAB相似，则OA′的长为 .（结果保留2个有效数字）
18．已知△ABC∽△DEF，且它们的面积之比为4：9，则它们的相似比为 .
三、解答题
19．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ.
(1)若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
(2)连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值.
20．已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放，（点C与E点重合），点B、C、E、F始终在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8，BC=6，EF=10，如图2，△DEF从图1出发，以每秒1个单位的速度沿CB向△ABC匀速运动，同时，点P从A出发，沿AB以每秒1个单位向点B匀速移动，AC与△DEF的直角边相交于Q，当P到达终点B时，△DEF同时停止运动，连接PQ，设移动的时间为t（s）．解答下列问题：
(1)△DEF在平移的过程中，当点D在Rt△ABC的边AC上时，求t的值；
(2)在移动过程中，是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.
(3)在移动过程中，当0＜t≤5时，连接PE，是否存在△PQE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.
21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E.求证：△ABF∽△COE.
22．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上的中点，过点B作BE⊥CD，垂足为E.
求证：△ABC∽△BCE.
23．折纸与证明﹣﹣﹣用纸折出黄金分割点：
第一步：如图(1)，先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF.
第二步：如图(2)，将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD）
24．矩形ABCD一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处.
(1)如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA.
①求证：△OCP∽△PDA；
②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长.
(2)如图2，在(1)的条件下，擦去AO和OP，连接BP.动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E.试问动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由.
答案
1．如果2x=3y（x、y均不为0），那么下列各式中正确的是（ ）
A．=B．=3C．=D．=
【考点】S1：比例的性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据比例的性质逐项判断，判断出各式中正确的是哪个即可．
【解答】解：∵2x=3y，
∴=，
∴选项A不正确；
∵2x=3y，
∴=，
∴==3，
∴选项B正确；
∵2x=3y，
∴=，
∴==，
∴选项C不正确；
∵2x=3y，
∴=，
∴==，
∴∴选项D不正确．
故选：B．
【点评】此题主要考查了比例的性质和应用，要熟练掌握．
2．在1：1000000的地图上，A，B两点之间的距离是5cm，则A，B两地的实际距离是（ ）
A．5kmB．50kmC．500kmD．5000km
【考点】S2：比例线段．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，列方程直接求得结果．
【解答】解：设A，B两地的实际距离是x，根据题意：
=，
解得x=5 000 000cm=50km．
故选B．
【点评】能够根据比例尺的概念进行正确计算，注意单位的转换．
3．已知点C是线段AB上的一个点，且满足AC2=BC•AB，则下列式子成立的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】S3：黄金分割．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】把AB当作已知数求出AC，求出BC，再分别求出各个比值，根据结果判断即可．
【解答】解：AC2=BC•AB，
AC2﹣BC•AB=0，
AC2﹣（AB﹣AC）AB=0，
AC2+AB•AC﹣AB2=0，
AC=，
∵边长为正值，
∴AC=AB，BC=AB﹣AC=，
∴==，===，==，
即选项A、C、D错误，只有选项B正确；
故选B．
【点评】本题考查了解一元二次方程和黄金分割的应用，主要考查学生的计算能力．
4．如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若=，则=（ ）
A．B．C．D．1
【考点】S4：平行线分线段成比例．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到==，根据比例性质得=，于是得到=．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴==，
∴=，
∴=．
故选C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
5．如图，BD=CD，AE：DE=1：2，延长BE交AC于F，且AF=4cm，则AC的长为（ ）
A．24cmB．20cmC．12cmD．8cm
【考点】S4：平行线分线段成比例．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】首先过D作DG∥BF交AC于G，易得△AEF∽△ADG，然后由BD=CD，求得CG=GF，AF：FG=AE：ED=1：2，继而求得AC的长．
【解答】解：过D作DG∥BF交AC于G，则△AEF∽△ADG，
∵BD=CD，
∴CG=GF，AF：FG=AE：ED=1：2，
∵AF=4cm，
∴FG=2AF=8cm=CG，
∴AC=AF+FG+CG=20cm．
故选B．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
6．下列说法：①所有等腰三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的等腰三角形相似；④有一个角为60°的两个直角三角形相似，其中正确的说法是（ ）
A．②④B．①③C．①②④D．②③④
【考点】S8：相似三角形的判定．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】考查相似三角形的判定问题，对应角相等即为相似三角形．
【解答】解：①中等腰三角形角不确定，所以①错；
②中有一个底角相等即所有角都对应相等，②对；
③中可能是以底角和一顶角相等，所以③错；
④中两个角对应相等，所以相似，④对
故选A．
【点评】考查相似三角形的判定定理：
(1)两角对应相等的两个三角形相似；
(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；
(3)三边对应成比例的两个三角形相似；
(4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
7．如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是（ ）
A．AC：BC=AD：BDB．AC：BC=AB：ADC．AB2=CD•BCD．AB2=BD•BC
【考点】S8：相似三角形的判定．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据相似三角形的对应边比例且夹角相等进行判断，要注意相似三角形的对应边和对应角．
【解答】解：∵∠B=∠B，
∴当时，
△ABC∽△DBA，
当AB2=BD•BC时，△ABC∽△DBA，
故选D．
【点评】此题主要考查的是相似三角形的性质，正确地判断出相似三角形的对应边和对应角是解答此题的关键．
8．若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的最大边的比是（ ）
A．1：2B．1：4C．1：5D．1：16
【考点】S7：相似三角形的性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比为1：4，
∴它们的最大边的比是1：2，
故选A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质的应用，能运用性质进行计算是解此题的关键，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方．
9．如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AB2=BC•BDB．AB2=AC•BDC．AB•AD=BC•BDD．AB•AC=AD•BC
【考点】S7：相似三角形的性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据相似三角形的对应边成比例进行判断，要注意相似三角形的对应边和对应角．
【解答】解：∵△ABC∽△DBA，
∴==；
∴AB2=BC•BD，AB•AC=AD•BC；
故选AD．
【点评】此题主要考查的是相似三角形的性质，正确地判断出相似三角形的对应边和对应角是解答此题的关键．
10．如图，△ABC中，点D、F在边AB上，点E在边AC上，如果DE∥BC，EF∥CD，那么一定有（ ）
A．DE2=AD•AEB．AD2=AF•ABC．AE2=AF•ADD．AD2=AE•AC
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】先证明△ADE∽△ABC得到AD：AB=AE：AC，再证明△AEF∽△ACD得到AF：AD=AE：AC，则AD：AB=AF：AD，然后利用比例的性质得到AD2=AF•AB．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AD：AB=AE：AC，
∵EF∥CD，
∴△AEF∽△ACD，
∴AF：AD=AE：AC，
∴AD：AB=AF：AD，
∴AD2=AF•AB．
故选B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定于性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用相似三角形的性质时利用相似比表示线段之间的关系．
11．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，DE：EC=1：2，FB=12，则DF=（ ）
A．2B．3C．4D．6
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据平行四边形的性质易证△DEF∽△BAF，再根据相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到答案．
【解答】解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，CD=AB．
∴△DEF∽△BFA，
∴DE：AB=DF：BF，
∵DE：EC=1：2，
∴DE：DC=DE：AB=1：3，
∵FB=12，
∴DF：12=1：3，
∴DF=4，
故选C．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形各种判断方法和性质是解答此题的关键．
12．一个钢筋三角形框架三边长分别为20厘米，50厘米、60厘米，现要再做一个与其相似的钢筋三角形框架，而只有长是30厘米和50厘米的两根钢筋，要求以其中一根为边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，则不同的截法有（ ）
A．一种B．二种C．三种D．四种
【考点】SA：相似三角形的应用．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】①当把30厘米作为最长边，50厘米的钢筋截成10与25即可，利用三组对应边的相似比相等即可得所求三角形；②当把30厘米作为中长边，50厘米的钢筋截成12与36即可，③当30cm作为最短边，分别利用三组对应边的相似比相等即可得所求三角形．
【解答】解：①当把30厘米的钢筋作为最长边，把50厘米的钢筋按10厘米与25厘米两部分截，则：；
②当30厘米的钢筋作为中长边，把50厘米分截出12厘米和36厘米两部分，
则有．
③当30cm作为最短边：则另两边都会超过50cm，此时不合题意，
∴一共有两种截法．
故选B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定．能够根据不同的情况分情况讨论是解答本题的关键．
13．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=1，E为AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE，连结AD，下列说法：①∠BCE=∠ACD； ②△ACD∽△BCE； ③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四边形ABCD的面积有最大值，且最大值为.其中正确的结论是 .
【考点】SO：相似形综合题．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】①首先根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠DCE=45°，从而得到∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE，进而得到结论：∠ECB=∠DCA正确；
②利用两对角对应相等的三角形相似证得结论△ACD∽△BCE即可；
④证得△BEC∽△ADC后得到∠DAC=∠B=45°，从而得到∠DAC=∠BCA=45°，即AD∥BC；
③由④知：△EAD与△BEC不相似，故③错误；
⑤△ABC的面积为定值，若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大；△ACD中，AD边上的高为定值（即为1），若△ACD的面积最大，则AD的长最大；由④的△BEC∽△ADC知：当AD最长时，BE也最长；故梯形ABCD面积最大时，E、A重合，此时EC=AC=，AD=，故S梯形ABCD=（1+）×=，从而判定是否正确即可；
【解答】解：∵△ABC、△DCE都是等腰Rt△，
∴AB=AC=BC=，CD=DE=CE；
∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE=45°；
①∵∠ACB=∠DCE=45°，
∴∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE；
即∠ECB=∠DCA；故①正确；
②∵△ABC与△CDE，均为等腰直角三角形，
∴∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE，
∴∠BCE=∠ACD，
∵∠ADC=∠BEC，
∴△ACD∽△BCE，
故②正确；
④∵==，
∴=；
由①知∠ECB=∠DCA，
∴△BEC∽△ADC；
∴∠DAC=∠B=45°；
∴∠DAC=∠BCA=45°，即AD∥BC，故④正确；
③由④知：∠DAC=45°，则∠EAD=135°；
∠BEC=∠EAC+∠ECA=90°+∠ECA；
∵∠ECA＜45°，∴∠BEC＜135°，即∠BEC＜∠EAD；
因此△EAD与△BEC不相似，故③错误；
⑤△ABC的面积为定值，若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大；
△ACD中，AD边上的高为定值（即为1），若△ACD的面积最大，则AD的长最大；
由④的△BEC∽△ADC知：当AD最长时，BE也最长；
故梯形ABCD面积最大时，E、A重合，此时EC=AC=，AD=；
故S梯形ABCD=（1+）×=，故⑤正确；
因此本题正确的结论是①②④⑤，
故答案为：①②④⑤．
【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质、平行线的判定、相似三角形的判定和性质、图形面积的求法等知识，综合性强，难度较大．
14．已知：直角梯形OABC中，CB∥OA，对角线OB和AC交于点D，OC=2，CB=2，OA=4，点P为对角线CA上的一点，过点P作QH⊥OA于H，交CB的延长线于点Q，连接BP，如果△BPQ和△PHA相似，则点P的坐标为 .
【考点】SO：相似形综合题．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】先根据点A、点C的坐标利用待定系数法求出直线AC的解析式，当HQ在点B的左侧时和QH在点B的右侧时利用相似三角形的性质就可以求出点P的坐标．
【解答】解：∵OC=2，OA=4，
∴C（0，2），A（4，0）．
设直线AC的解析式为y=kx+b，由题意，得
，
解得，
故直线AC的解析式为：y=﹣x+2．
如图2，在点B的右侧，当△BQP∽△AHP时，
则，
则BQ．PH=AH．PQ．
∵点P在直线AC上，设点P的坐标为（x，﹣x+2）（0＜x＜4），
∴CQ=x，OH=x，PH=﹣x+2，
∵CB=2，OA=4，OH=2，
∴BQ=x﹣2，AH=4﹣x，PQ=x．
∴（x﹣2）（﹣x+2）=（4﹣x）（x），
解得x=4（舍去）．
当△BQP∽△PHA时，
则，即BQ．AH=PH．PQ，
（x﹣2）（4﹣x）=（﹣x+2）（x），
解得x1=，x2=4（舍去）
则y=，
则P（，）．
∴P（，）．
故答案为：P（，）．
【点评】本题是一道相似三角形的综合试题，考查了相似三角形的性质的运用，待定系数法求直线的解析式的运用及分类讨论思想的运用．本题难度较大，涉及的情况较多，解答时不要漏解．
15．我们已经学习了相似三角形，也知道：如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形.比如两个正方形，它们的边长、对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．
现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形，请指出其中哪几对是相似图形 .
【考点】S5：相似图形．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】根据相似图形的定义，对题中所给图形一一分析，判断它们的边长、对角线等所有元素都是否对应成比例，从而选出正确答案．
【解答】解：①两个圆，所有元素都对应成比例，符合相似形的定义；
②两个菱形，边的比一定相等，而对应角不一定对应相等，故不是相似图形；
③两个长方形，对应角的度数一定相等，但对应边的比值不一定相等，故不是相似图形；
④两个正六边形，所有元素都对应成比例，符合相似形的定义．
∴①④是相似图形．
故答案为：①④．
【点评】本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．
16．利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是 .
【考点】S5：相似图形．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】根据等边三角形周长的比是三角形边长的比解答即可．
【解答】解：因为原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm的等边三角形，
所以放大前后的两个三角形的周长比为5：20=1：4，故答案为：1：4．
【点评】本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，关键是根据等边三角形周长的比是三角形边长的比来解答．
17．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（7，0），D，E分别是线段AO，AB上的点，以DE所在直线为对称轴，把△ADE作轴对称变换得△A′DE，点A′恰好在x轴上，若△OA′D与△OAB相似，则OA′的长为 .（结果保留2个有效数字）
【考点】S7：相似三角形的性质；D5：坐标与图形性质；PB：翻折变换（折叠问题）．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】由点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（7，0），可得OA=5，OB=7，AB=4，然后分别从△OA′D∽△OAB与△OA′D∽△OBA去分析，根据相似三角形的对应边成比例，即可取得答案．
【解答】解：∵点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（7，0），
∴OA=5，OB=7，AB=4，
若△OA′D∽△OAB，
则=，
设AD=x，
则OD=5﹣x，A′D=x，
即，
解得：x≈2.2，
∴，
∴OA′=2.0；
若△OA′D∽△OBA，
则，
同理：可得：OA′≈3.3．
故答案为：2.0或3.3．
【点评】此题考查了相似三角形的性质与折叠的知识．此题综合性较强，难度较大，注意数形结合与方程思想的应用，小心别漏解．
18．已知△ABC∽△DEF，且它们的面积之比为4：9，则它们的相似比为 .
【考点】S7：相似三角形的性质．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，可直接得出结果．
【解答】解：因为△ABC∽△DEF，所以△ABC与△DEF的面积比等于相似比的平方，
因为S△ABC：S△DEF=2：9=（）2，
所以△ABC与△DEF的相似比为2：3，
故答案为：2：3．
【点评】本题比较容易，考查相似三角形的性质．利用相似三角形的性质时，要注意相似比的顺序，同时也不能忽视面积比与相似比的关系．相似比是联系周长、面积、对应线段等的媒介，也是相似三角形计算中常用的一个比值．
19．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ.
(1)若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
(2)连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值.
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1)分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，BP：BA=BQ：BC；当△BPQ∽△BCA时，BP：BC=BQ：BA，再根据BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可；
(2)过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM=CQ：MP，代入计算即可．
【解答】解：根据勾股定理得：BA=；
(1)分两种情况讨论：
①当△BPQ∽△BAC时，，
∵BP=5t，QC=4t，AB=10，BC=8，
∴，解得，t=1，
②当△BPQ∽△BCA时，，
∴，解得，t=；
∴t=1或时，△BPQ∽△BCA；
(2)过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图所示：
则PB=5t，PM=3t，MC=8﹣4t，
∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，
∴∠NAC=∠PCM，
∵∠ACQ=∠PMC，
∴△ACQ∽△CMP，
∴，
∴，解得t=．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质；由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．
20．已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放，（点C与E点重合），点B、C、E、F始终在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8，BC=6，EF=10，如图2，△DEF从图1出发，以每秒1个单位的速度沿CB向△ABC匀速运动，同时，点P从A出发，沿AB以每秒1个单位向点B匀速移动，AC与△DEF的直角边相交于Q，当P到达终点B时，△DEF同时停止运动，连接PQ，设移动的时间为t（s）．解答下列问题：
(1)△DEF在平移的过程中，当点D在Rt△ABC的边AC上时，求t的值；
(2)在移动过程中，是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.
(3)在移动过程中，当0＜t≤5时，连接PE，是否存在△PQE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KI：等腰三角形的判定；KN：直角三角形的性质；KQ：勾股定理．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1)根据等腰三角形性质求出即可；
(2)①AP=AQ，求出即可；②AP=PQ，作PH⊥AC于H，根据相似得出比例式，即可求出答案；③AQ=PQ，作PH⊥AC于H，根据相似得出比例式，④当5≤t≤10时，AQ=PQ，作PH⊥BC，PG⊥AC，利用相似与勾股定理，即可求出答案；
(3)分为三种情况，①∠PQE=90°，②∠PEQ=90°，③∠EPQ=90°，根据勾股定理得出方程，求出方程的解，看看是否满足小于10即可．
【解答】解：(1)当D在AC上时，
∵DE=DF，
∴EC=CF=EF=5，
∴t=5．
(2)存在．
∵AP=t，∠EDF=90°，∠DEF=45°，
∴∠CQE=45°=∠DEF，
∴CQ=CE=t，
AQ=8﹣t，当0≤t＜5时，
①AP=AQ，
t=8﹣t，
∴t=4；
②AP=PQ，
作PH⊥AC于H，
AH=HQ=AQ=4﹣t，
∵PH∥BC，
∴△APH∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴t=；
③AQ=PQ，
作QI⊥AB于I，
AI=PI=AP=t（等腰三角形的性质三线合一），
∵∠AIQ=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△AIQ∽△ACB，
∴=，
∴=，
∴t=，
④当5≤t≤10时，AQ=PQ，作PH⊥BC，PG⊥AC，
同理可求出，
FC=QC=10﹣t，BP=10﹣t，
PH=（10﹣t）=8﹣t，
BH=（10﹣t）=6﹣t，
QG=QC﹣GC=QC﹣PH=10﹣t﹣（8﹣t）=2﹣，
PG=HC=6﹣（6﹣t）=t，
PQ=AQ=8﹣（10﹣t）=t﹣2，
∴PQ 2=PG 2+QG 2，
（t﹣2）2=（t） 2+（2﹣） 2，
解得：t=秒，
其它情况不符合要求，
综合上述：当t等于4秒、秒、秒、秒时△APQ是等腰三角形．
(3)由勾股定理：CE=CQ=t，
∵sinA===，csA===，
∴PW=t，AW=t，
∴QW=8﹣t﹣t=8﹣t，
∴PQ2=PM2+QW2=（t）2+（8﹣t）2=t2﹣t+64，
PE2=PH2+EH2=（t+8﹣t）2+（t﹣t）2=t2﹣t+64，
①∠PQE=90°，
在Rt△PEQ中
PQ2+QE2=PE2，
∴t1=0（舍去） t2=；
②∠PEQ=90°，
PE2+EQ2=PQ2
t1=0（舍去） t2=20（舍去）
∴此时不存在；
③当∠EPQ=90°时
PQ2+PE2=EQ2，
t1=（舍去） t2=4，
综合上述：当t=或t=4时，△PQE是直角三角形．
【点评】本题综合运用了等腰三角形的判定，直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，此题难度较大，综合性强，用的数学思想是分类讨论思想．
21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E.求证：△ABF∽△COE.
【考点】S8：相似三角形的判定．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】充分利用图中的垂直条件寻求角之间的关系．由∠BAD+∠ABC=90°，∠C+∠ABC=90°得∠BAF=∠C；由∠ABO+∠AOB=90°，∠AOB+∠COE=90°得∠ABF=∠COE．两对角对应相等判定三角形相似．
【解答】证明：∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠BAF=∠C．
∵OE⊥OB，
∴∠BOA+∠COE=90°．
∵∠BOA+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠COE．
∴△ABF∽△COE．
【点评】此题考查了相似三角形的判定方法：有两角对应相等的三角形相似．关键在充分利用图中的垂直条件寻求角之间的关系．
22．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上的中点，过点B作BE⊥CD，垂足为E.
求证：△ABC∽△BCE.
【考点】S8：相似三角形的判定．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】利用直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半可得三角形BDC是等腰三角形，所以可得∠ECB=∠ABC，再有一对直角相等即可证明△ABC∽△BCE．
【解答】证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上的中点，
∴CD=AB，BD=AB，
∴CD=DB，
∴∠ECB=∠ABC，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=90°，
∴∠ACB=∠BEC=90°，
∴△ABC∽△BCE．
【点评】本题考查了直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半这一性质以及等腰三角形的性质、垂直的定义以及相似三角形的判定．
23．折纸与证明﹣﹣﹣用纸折出黄金分割点：
第一步：如图(1)，先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF.
第二步：如图(2)，将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD）
【考点】S3：黄金分割．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】连接GF，设正方形的边长为1，由折纸第一步，可知DF=，在Rt△BCF中，根据勾股定理得出BF=，则A′F=﹣1．设AG=A'G=x，则GD=1﹣x，在Rt△A′GF和Rt△DGF中，根据勾股定理由GF不变得出A′F2+A′G2=DF2+DG2，列出关于x的方程，解方程求出x=，即可说明点G是AD的黄金分割点．
【解答】证明：如图，连接GF，设正方形ABCD的边长为1，则DF=．
在Rt△BCF中，BF==，
则A′F=BF﹣BA′=﹣1．
设AG=A′G=x，则GD=1﹣x，
在Rt△A′GF和Rt△DGF中，有A'F2+A'G2=DF2+DG2，
即，
解得x=，
即点G是AD的黄金分割点（AG＞GD）．
【点评】本题考查黄金分割的概念：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
24．矩形ABCD一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处.
(1)如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA.
①求证：△OCP∽△PDA；
②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长.
(2)如图2，在(1)的条件下，擦去AO和OP，连接BP.动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E.试问动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由.
【考点】SO：相似形综合题．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1)①先证出∠C=∠D=90°，再根据∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，得出∠2=∠3，即可证出△OCP∽△PDA；
②根据△OCP与△PDA的面积比为1：4，得出CP=AD=4，设OP=x，则CO=8﹣x，由勾股定理得 x2=（8﹣x）2+42，求出x，最后根据AB=2OP即可求出边AB的长；
(2)作MQ∥AN，交PB于点Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根据ME⊥PQ，得出EQ=PQ，根据∠QMF=∠BNF，证出△MFQ≌△NFB，得出QF=QB，
再求出EF=PB，由(1)中的结论求出PB==4，最后代入EF=PB即可得出线段EF的长度不变．
【解答】解：(1)①如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3，
又∵∠D=∠C，
∴△OCP∽△PDA；
②如图1，∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，
∴===，
∴CP=AD=4，
设OP=x，则CO=8﹣x，
在Rt△PCO中，∠C=90°，
由勾股定理得 x2=（8﹣x）2+42，
解得：x=5，
∴AB=AP=2OP=10，
∴边AB的长为10；
(2)作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2，
∵AP=AB，MQ∥AN，
∴∠APB=∠ABP=∠MQP．
∴MP=MQ，
∵BN=PM，
∴BN=QM．
∵MP=MQ，ME⊥PQ，
∴EQ=PQ．
∵MQ∥AN，
∴∠QMF=∠BNF，
在△MFQ和△NFB中，
，
∴△MFQ≌△NFB（AAS）．
∴QF=QB，
∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB，
由(1)中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，
∴PB==4，
∴EF=PB=2，
∴在(1)的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为2．
【点评】此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，关键是做出辅助线，找出全等和相似的三角形．
一、选择题
1．如果2x=3y（x、y均不为0），那么下列各式中正确的是（ ）
A．=B．=3C．=D．=
2．在1：1000000的地图上，A，B两点之间的距离是5cm，则A，B两地的实际距离是（ ）
A．5kmB．50kmC．500kmD．5000km
3．已知点C是线段AB上的一个点，且满足AC2=BC•AB，则下列式子成立的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若=，则=（ ）
A．B．C．D．1
5．如图，BD=CD，AE：DE=1：2，延长BE交AC于F，且AF=4cm，则AC的长为（ ）
A．24cmB．20cmC．12cmD．8cm
6．下列说法：①所有等腰三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的等腰三角形相似；④有一个角为60°的两个直角三角形相似，其中正确的说法是（ ）
A．②④B．①③C．①②④D．②③④
7．如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是（ ）
A．AC：BC=AD：BDB．AC：BC=AB：ADC．AB2=CD•BCD．AB2=BD•BC
8．若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的最大边的比是（ ）
A．1：2B．1：4C．1：5D．1：16
9．如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AB2=BC•BDB．AB2=AC•BDC．AB•AD=BC•BDD．AB•AC=AD•BC
10．如图，△ABC中，点D、F在边AB上，点E在边AC上，如果DE∥BC，EF∥CD，那么一定有（ ）
A．DE2=AD•AEB．AD2=AF•ABC．AE2=AF•ADD．AD2=AE•AC
11．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，DE：EC=1：2，FB=12，则DF=（ ）
A．2B．3C．4D．6
12．一个钢筋三角形框架三边长分别为20厘米，50厘米、60厘米，现要再做一个与其相似的钢筋三角形框架，而只有长是30厘米和50厘米的两根钢筋，要求以其中一根为边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，则不同的截法有（ ）
A．一种B．二种C．三种D．四种
二、填空题
13．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=1，E为AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE，连结AD，下列说法：①∠BCE=∠ACD； ②△ACD∽△BCE； ③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四边形ABCD的面积有最大值，且最大值为.其中正确的结论是 .
14．已知：直角梯形OABC中，CB∥OA，对角线OB和AC交于点D，OC=2，CB=2，OA=4，点P为对角线CA上的一点，过点P作QH⊥OA于H，交CB的延长线于点Q，连接BP，如果△BPQ和△PHA相似，则点P的坐标为 .
15．我们已经学习了相似三角形，也知道：如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形.比如两个正方形，它们的边长、对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．
现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形，请指出其中哪几对是相似图形 .
16．利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是 .
17．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（7，0），D，E分别是线段AO，AB上的点，以DE所在直线为对称轴，把△ADE作轴对称变换得△A′DE，点A′恰好在x轴上，若△OA′D与△OAB相似，则OA′的长为 .（结果保留2个有效数字）
18．已知△ABC∽△DEF，且它们的面积之比为4：9，则它们的相似比为 .
三、解答题
19．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ.
(1)若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
(2)连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值.
20．已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放，（点C与E点重合），点B、C、E、F始终在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8，BC=6，EF=10，如图2，△DEF从图1出发，以每秒1个单位的速度沿CB向△ABC匀速运动，同时，点P从A出发，沿AB以每秒1个单位向点B匀速移动，AC与△DEF的直角边相交于Q，当P到达终点B时，△DEF同时停止运动，连接PQ，设移动的时间为t（s）．解答下列问题：
(1)△DEF在平移的过程中，当点D在Rt△ABC的边AC上时，求t的值；
(2)在移动过程中，是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.
(3)在移动过程中，当0＜t≤5时，连接PE，是否存在△PQE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.
21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E.求证：△ABF∽△COE.
22．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上的中点，过点B作BE⊥CD，垂足为E.
求证：△ABC∽△BCE.
23．折纸与证明﹣﹣﹣用纸折出黄金分割点：
第一步：如图(1)，先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF.
第二步：如图(2)，将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD）
24．矩形ABCD一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处.
(1)如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA.
①求证：△OCP∽△PDA；
②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长.
(2)如图2，在(1)的条件下，擦去AO和OP，连接BP.动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E.试问动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由.
答案
1．如果2x=3y（x、y均不为0），那么下列各式中正确的是（ ）
A．=B．=3C．=D．=
【考点】S1：比例的性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据比例的性质逐项判断，判断出各式中正确的是哪个即可．
【解答】解：∵2x=3y，
∴=，
∴选项A不正确；
∵2x=3y，
∴=，
∴==3，
∴选项B正确；
∵2x=3y，
∴=，
∴==，
∴选项C不正确；
∵2x=3y，
∴=，
∴==，
∴∴选项D不正确．
故选：B．
【点评】此题主要考查了比例的性质和应用，要熟练掌握．
2．在1：1000000的地图上，A，B两点之间的距离是5cm，则A，B两地的实际距离是（ ）
A．5kmB．50kmC．500kmD．5000km
【考点】S2：比例线段．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，列方程直接求得结果．
【解答】解：设A，B两地的实际距离是x，根据题意：
=，
解得x=5 000 000cm=50km．
故选B．
【点评】能够根据比例尺的概念进行正确计算，注意单位的转换．
3．已知点C是线段AB上的一个点，且满足AC2=BC•AB，则下列式子成立的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】S3：黄金分割．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】把AB当作已知数求出AC，求出BC，再分别求出各个比值，根据结果判断即可．
【解答】解：AC2=BC•AB，
AC2﹣BC•AB=0，
AC2﹣（AB﹣AC）AB=0，
AC2+AB•AC﹣AB2=0，
AC=，
∵边长为正值，
∴AC=AB，BC=AB﹣AC=，
∴==，===，==，
即选项A、C、D错误，只有选项B正确；
故选B．
【点评】本题考查了解一元二次方程和黄金分割的应用，主要考查学生的计算能力．
4．如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若=，则=（ ）
A．B．C．D．1
【考点】S4：平行线分线段成比例．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到==，根据比例性质得=，于是得到=．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴==，
∴=，
∴=．
故选C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
5．如图，BD=CD，AE：DE=1：2，延长BE交AC于F，且AF=4cm，则AC的长为（ ）
A．24cmB．20cmC．12cmD．8cm
【考点】S4：平行线分线段成比例．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】首先过D作DG∥BF交AC于G，易得△AEF∽△ADG，然后由BD=CD，求得CG=GF，AF：FG=AE：ED=1：2，继而求得AC的长．
【解答】解：过D作DG∥BF交AC于G，则△AEF∽△ADG，
∵BD=CD，
∴CG=GF，AF：FG=AE：ED=1：2，
∵AF=4cm，
∴FG=2AF=8cm=CG，
∴AC=AF+FG+CG=20cm．
故选B．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
6．下列说法：①所有等腰三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的等腰三角形相似；④有一个角为60°的两个直角三角形相似，其中正确的说法是（ ）
A．②④B．①③C．①②④D．②③④
【考点】S8：相似三角形的判定．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】考查相似三角形的判定问题，对应角相等即为相似三角形．
【解答】解：①中等腰三角形角不确定，所以①错；
②中有一个底角相等即所有角都对应相等，②对；
③中可能是以底角和一顶角相等，所以③错；
④中两个角对应相等，所以相似，④对
故选A．
【点评】考查相似三角形的判定定理：
(1)两角对应相等的两个三角形相似；
(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；
(3)三边对应成比例的两个三角形相似；
(4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
7．如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是（ ）
A．AC：BC=AD：BDB．AC：BC=AB：ADC．AB2=CD•BCD．AB2=BD•BC
【考点】S8：相似三角形的判定．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据相似三角形的对应边比例且夹角相等进行判断，要注意相似三角形的对应边和对应角．
【解答】解：∵∠B=∠B，
∴当时，
△ABC∽△DBA，
当AB2=BD•BC时，△ABC∽△DBA，
故选D．
【点评】此题主要考查的是相似三角形的性质，正确地判断出相似三角形的对应边和对应角是解答此题的关键．
8．若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的最大边的比是（ ）
A．1：2B．1：4C．1：5D．1：16
【考点】S7：相似三角形的性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比为1：4，
∴它们的最大边的比是1：2，
故选A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质的应用，能运用性质进行计算是解此题的关键，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方．
9．如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AB2=BC•BDB．AB2=AC•BDC．AB•AD=BC•BDD．AB•AC=AD•BC
【考点】S7：相似三角形的性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据相似三角形的对应边成比例进行判断，要注意相似三角形的对应边和对应角．
【解答】解：∵△ABC∽△DBA，
∴==；
∴AB2=BC•BD，AB•AC=AD•BC；
故选AD．
【点评】此题主要考查的是相似三角形的性质，正确地判断出相似三角形的对应边和对应角是解答此题的关键．
10．如图，△ABC中，点D、F在边AB上，点E在边AC上，如果DE∥BC，EF∥CD，那么一定有（ ）
A．DE2=AD•AEB．AD2=AF•ABC．AE2=AF•ADD．AD2=AE•AC
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】先证明△ADE∽△ABC得到AD：AB=AE：AC，再证明△AEF∽△ACD得到AF：AD=AE：AC，则AD：AB=AF：AD，然后利用比例的性质得到AD2=AF•AB．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AD：AB=AE：AC，
∵EF∥CD，
∴△AEF∽△ACD，
∴AF：AD=AE：AC，
∴AD：AB=AF：AD，
∴AD2=AF•AB．
故选B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定于性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用相似三角形的性质时利用相似比表示线段之间的关系．
11．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，DE：EC=1：2，FB=12，则DF=（ ）
A．2B．3C．4D．6
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据平行四边形的性质易证△DEF∽△BAF，再根据相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到答案．
【解答】解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，CD=AB．
∴△DEF∽△BFA，
∴DE：AB=DF：BF，
∵DE：EC=1：2，
∴DE：DC=DE：AB=1：3，
∵FB=12，
∴DF：12=1：3，
∴DF=4，
故选C．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形各种判断方法和性质是解答此题的关键．
12．一个钢筋三角形框架三边长分别为20厘米，50厘米、60厘米，现要再做一个与其相似的钢筋三角形框架，而只有长是30厘米和50厘米的两根钢筋，要求以其中一根为边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，则不同的截法有（ ）
A．一种B．二种C．三种D．四种
【考点】SA：相似三角形的应用．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】①当把30厘米作为最长边，50厘米的钢筋截成10与25即可，利用三组对应边的相似比相等即可得所求三角形；②当把30厘米作为中长边，50厘米的钢筋截成12与36即可，③当30cm作为最短边，分别利用三组对应边的相似比相等即可得所求三角形．
【解答】解：①当把30厘米的钢筋作为最长边，把50厘米的钢筋按10厘米与25厘米两部分截，则：；
②当30厘米的钢筋作为中长边，把50厘米分截出12厘米和36厘米两部分，
则有．
③当30cm作为最短边：则另两边都会超过50cm，此时不合题意，
∴一共有两种截法．
故选B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定．能够根据不同的情况分情况讨论是解答本题的关键．
13．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=1，E为AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE，连结AD，下列说法：①∠BCE=∠ACD； ②△ACD∽△BCE； ③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四边形ABCD的面积有最大值，且最大值为.其中正确的结论是 .
【考点】SO：相似形综合题．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】①首先根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠DCE=45°，从而得到∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE，进而得到结论：∠ECB=∠DCA正确；
②利用两对角对应相等的三角形相似证得结论△ACD∽△BCE即可；
④证得△BEC∽△ADC后得到∠DAC=∠B=45°，从而得到∠DAC=∠BCA=45°，即AD∥BC；
③由④知：△EAD与△BEC不相似，故③错误；
⑤△ABC的面积为定值，若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大；△ACD中，AD边上的高为定值（即为1），若△ACD的面积最大，则AD的长最大；由④的△BEC∽△ADC知：当AD最长时，BE也最长；故梯形ABCD面积最大时，E、A重合，此时EC=AC=，AD=，故S梯形ABCD=（1+）×=，从而判定是否正确即可；
【解答】解：∵△ABC、△DCE都是等腰Rt△，
∴AB=AC=BC=，CD=DE=CE；
∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE=45°；
①∵∠ACB=∠DCE=45°，
∴∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE；
即∠ECB=∠DCA；故①正确；
②∵△ABC与△CDE，均为等腰直角三角形，
∴∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE，
∴∠BCE=∠ACD，
∵∠ADC=∠BEC，
∴△ACD∽△BCE，
故②正确；
④∵==，
∴=；
由①知∠ECB=∠DCA，
∴△BEC∽△ADC；
∴∠DAC=∠B=45°；
∴∠DAC=∠BCA=45°，即AD∥BC，故④正确；
③由④知：∠DAC=45°，则∠EAD=135°；
∠BEC=∠EAC+∠ECA=90°+∠ECA；
∵∠ECA＜45°，∴∠BEC＜135°，即∠BEC＜∠EAD；
因此△EAD与△BEC不相似，故③错误；
⑤△ABC的面积为定值，若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大；
△ACD中，AD边上的高为定值（即为1），若△ACD的面积最大，则AD的长最大；
由④的△BEC∽△ADC知：当AD最长时，BE也最长；
故梯形ABCD面积最大时，E、A重合，此时EC=AC=，AD=；
故S梯形ABCD=（1+）×=，故⑤正确；
因此本题正确的结论是①②④⑤，
故答案为：①②④⑤．
【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质、平行线的判定、相似三角形的判定和性质、图形面积的求法等知识，综合性强，难度较大．
14．已知：直角梯形OABC中，CB∥OA，对角线OB和AC交于点D，OC=2，CB=2，OA=4，点P为对角线CA上的一点，过点P作QH⊥OA于H，交CB的延长线于点Q，连接BP，如果△BPQ和△PHA相似，则点P的坐标为 .
【考点】SO：相似形综合题．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】先根据点A、点C的坐标利用待定系数法求出直线AC的解析式，当HQ在点B的左侧时和QH在点B的右侧时利用相似三角形的性质就可以求出点P的坐标．
【解答】解：∵OC=2，OA=4，
∴C（0，2），A（4，0）．
设直线AC的解析式为y=kx+b，由题意，得
，
解得，
故直线AC的解析式为：y=﹣x+2．
如图2，在点B的右侧，当△BQP∽△AHP时，
则，
则BQ．PH=AH．PQ．
∵点P在直线AC上，设点P的坐标为（x，﹣x+2）（0＜x＜4），
∴CQ=x，OH=x，PH=﹣x+2，
∵CB=2，OA=4，OH=2，
∴BQ=x﹣2，AH=4﹣x，PQ=x．
∴（x﹣2）（﹣x+2）=（4﹣x）（x），
解得x=4（舍去）．
当△BQP∽△PHA时，
则，即BQ．AH=PH．PQ，
（x﹣2）（4﹣x）=（﹣x+2）（x），
解得x1=，x2=4（舍去）
则y=，
则P（，）．
∴P（，）．
故答案为：P（，）．
【点评】本题是一道相似三角形的综合试题，考查了相似三角形的性质的运用，待定系数法求直线的解析式的运用及分类讨论思想的运用．本题难度较大，涉及的情况较多，解答时不要漏解．
15．我们已经学习了相似三角形，也知道：如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形.比如两个正方形，它们的边长、对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．
现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形，请指出其中哪几对是相似图形 .
【考点】S5：相似图形．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】根据相似图形的定义，对题中所给图形一一分析，判断它们的边长、对角线等所有元素都是否对应成比例，从而选出正确答案．
【解答】解：①两个圆，所有元素都对应成比例，符合相似形的定义；
②两个菱形，边的比一定相等，而对应角不一定对应相等，故不是相似图形；
③两个长方形，对应角的度数一定相等，但对应边的比值不一定相等，故不是相似图形；
④两个正六边形，所有元素都对应成比例，符合相似形的定义．
∴①④是相似图形．
故答案为：①④．
【点评】本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．
16．利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是 .
【考点】S5：相似图形．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】根据等边三角形周长的比是三角形边长的比解答即可．
【解答】解：因为原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm的等边三角形，
所以放大前后的两个三角形的周长比为5：20=1：4，故答案为：1：4．
【点评】本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，关键是根据等边三角形周长的比是三角形边长的比来解答．
17．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（7，0），D，E分别是线段AO，AB上的点，以DE所在直线为对称轴，把△ADE作轴对称变换得△A′DE，点A′恰好在x轴上，若△OA′D与△OAB相似，则OA′的长为 .（结果保留2个有效数字）
【考点】S7：相似三角形的性质；D5：坐标与图形性质；PB：翻折变换（折叠问题）．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】由点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（7，0），可得OA=5，OB=7，AB=4，然后分别从△OA′D∽△OAB与△OA′D∽△OBA去分析，根据相似三角形的对应边成比例，即可取得答案．
【解答】解：∵点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（7，0），
∴OA=5，OB=7，AB=4，
若△OA′D∽△OAB，
则=，
设AD=x，
则OD=5﹣x，A′D=x，
即，
解得：x≈2.2，
∴，
∴OA′=2.0；
若△OA′D∽△OBA，
则，
同理：可得：OA′≈3.3．
故答案为：2.0或3.3．
【点评】此题考查了相似三角形的性质与折叠的知识．此题综合性较强，难度较大，注意数形结合与方程思想的应用，小心别漏解．
18．已知△ABC∽△DEF，且它们的面积之比为4：9，则它们的相似比为 .
【考点】S7：相似三角形的性质．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，可直接得出结果．
【解答】解：因为△ABC∽△DEF，所以△ABC与△DEF的面积比等于相似比的平方，
因为S△ABC：S△DEF=2：9=（）2，
所以△ABC与△DEF的相似比为2：3，
故答案为：2：3．
【点评】本题比较容易，考查相似三角形的性质．利用相似三角形的性质时，要注意相似比的顺序，同时也不能忽视面积比与相似比的关系．相似比是联系周长、面积、对应线段等的媒介，也是相似三角形计算中常用的一个比值．
19．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ.
(1)若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
(2)连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值.
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1)分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，BP：BA=BQ：BC；当△BPQ∽△BCA时，BP：BC=BQ：BA，再根据BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可；
(2)过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM=CQ：MP，代入计算即可．
【解答】解：根据勾股定理得：BA=；
(1)分两种情况讨论：
①当△BPQ∽△BAC时，，
∵BP=5t，QC=4t，AB=10，BC=8，
∴，解得，t=1，
②当△BPQ∽△BCA时，，
∴，解得，t=；
∴t=1或时，△BPQ∽△BCA；
(2)过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图所示：
则PB=5t，PM=3t，MC=8﹣4t，
∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，
∴∠NAC=∠PCM，
∵∠ACQ=∠PMC，
∴△ACQ∽△CMP，
∴，
∴，解得t=．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质；由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．
20．已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放，（点C与E点重合），点B、C、E、F始终在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8，BC=6，EF=10，如图2，△DEF从图1出发，以每秒1个单位的速度沿CB向△ABC匀速运动，同时，点P从A出发，沿AB以每秒1个单位向点B匀速移动，AC与△DEF的直角边相交于Q，当P到达终点B时，△DEF同时停止运动，连接PQ，设移动的时间为t（s）．解答下列问题：
(1)△DEF在平移的过程中，当点D在Rt△ABC的边AC上时，求t的值；
(2)在移动过程中，是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.
(3)在移动过程中，当0＜t≤5时，连接PE，是否存在△PQE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KI：等腰三角形的判定；KN：直角三角形的性质；KQ：勾股定理．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1)根据等腰三角形性质求出即可；
(2)①AP=AQ，求出即可；②AP=PQ，作PH⊥AC于H，根据相似得出比例式，即可求出答案；③AQ=PQ，作PH⊥AC于H，根据相似得出比例式，④当5≤t≤10时，AQ=PQ，作PH⊥BC，PG⊥AC，利用相似与勾股定理，即可求出答案；
(3)分为三种情况，①∠PQE=90°，②∠PEQ=90°，③∠EPQ=90°，根据勾股定理得出方程，求出方程的解，看看是否满足小于10即可．
【解答】解：(1)当D在AC上时，
∵DE=DF，
∴EC=CF=EF=5，
∴t=5．
(2)存在．
∵AP=t，∠EDF=90°，∠DEF=45°，
∴∠CQE=45°=∠DEF，
∴CQ=CE=t，
AQ=8﹣t，当0≤t＜5时，
①AP=AQ，
t=8﹣t，
∴t=4；
②AP=PQ，
作PH⊥AC于H，
AH=HQ=AQ=4﹣t，
∵PH∥BC，
∴△APH∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴t=；
③AQ=PQ，
作QI⊥AB于I，
AI=PI=AP=t（等腰三角形的性质三线合一），
∵∠AIQ=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△AIQ∽△ACB，
∴=，
∴=，
∴t=，
④当5≤t≤10时，AQ=PQ，作PH⊥BC，PG⊥AC，
同理可求出，
FC=QC=10﹣t，BP=10﹣t，
PH=（10﹣t）=8﹣t，
BH=（10﹣t）=6﹣t，
QG=QC﹣GC=QC﹣PH=10﹣t﹣（8﹣t）=2﹣，
PG=HC=6﹣（6﹣t）=t，
PQ=AQ=8﹣（10﹣t）=t﹣2，
∴PQ 2=PG 2+QG 2，
（t﹣2）2=（t） 2+（2﹣） 2，
解得：t=秒，
其它情况不符合要求，
综合上述：当t等于4秒、秒、秒、秒时△APQ是等腰三角形．
(3)由勾股定理：CE=CQ=t，
∵sinA===，csA===，
∴PW=t，AW=t，
∴QW=8﹣t﹣t=8﹣t，
∴PQ2=PM2+QW2=（t）2+（8﹣t）2=t2﹣t+64，
PE2=PH2+EH2=（t+8﹣t）2+（t﹣t）2=t2﹣t+64，
①∠PQE=90°，
在Rt△PEQ中
PQ2+QE2=PE2，
∴t1=0（舍去） t2=；
②∠PEQ=90°，
PE2+EQ2=PQ2
t1=0（舍去） t2=20（舍去）
∴此时不存在；
③当∠EPQ=90°时
PQ2+PE2=EQ2，
t1=（舍去） t2=4，
综合上述：当t=或t=4时，△PQE是直角三角形．
【点评】本题综合运用了等腰三角形的判定，直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，此题难度较大，综合性强，用的数学思想是分类讨论思想．
21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E.求证：△ABF∽△COE.
【考点】S8：相似三角形的判定．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】充分利用图中的垂直条件寻求角之间的关系．由∠BAD+∠ABC=90°，∠C+∠ABC=90°得∠BAF=∠C；由∠ABO+∠AOB=90°，∠AOB+∠COE=90°得∠ABF=∠COE．两对角对应相等判定三角形相似．
【解答】证明：∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠BAF=∠C．
∵OE⊥OB，
∴∠BOA+∠COE=90°．
∵∠BOA+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠COE．
∴△ABF∽△COE．
【点评】此题考查了相似三角形的判定方法：有两角对应相等的三角形相似．关键在充分利用图中的垂直条件寻求角之间的关系．
22．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上的中点，过点B作BE⊥CD，垂足为E.
求证：△ABC∽△BCE.
【考点】S8：相似三角形的判定．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】利用直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半可得三角形BDC是等腰三角形，所以可得∠ECB=∠ABC，再有一对直角相等即可证明△ABC∽△BCE．
【解答】证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上的中点，
∴CD=AB，BD=AB，
∴CD=DB，
∴∠ECB=∠ABC，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=90°，
∴∠ACB=∠BEC=90°，
∴△ABC∽△BCE．
【点评】本题考查了直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半这一性质以及等腰三角形的性质、垂直的定义以及相似三角形的判定．
23．折纸与证明﹣﹣﹣用纸折出黄金分割点：
第一步：如图(1)，先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF.
第二步：如图(2)，将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD）
【考点】S3：黄金分割．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】连接GF，设正方形的边长为1，由折纸第一步，可知DF=，在Rt△BCF中，根据勾股定理得出BF=，则A′F=﹣1．设AG=A'G=x，则GD=1﹣x，在Rt△A′GF和Rt△DGF中，根据勾股定理由GF不变得出A′F2+A′G2=DF2+DG2，列出关于x的方程，解方程求出x=，即可说明点G是AD的黄金分割点．
【解答】证明：如图，连接GF，设正方形ABCD的边长为1，则DF=．
在Rt△BCF中，BF==，
则A′F=BF﹣BA′=﹣1．
设AG=A′G=x，则GD=1﹣x，
在Rt△A′GF和Rt△DGF中，有A'F2+A'G2=DF2+DG2，
即，
解得x=，
即点G是AD的黄金分割点（AG＞GD）．
【点评】本题考查黄金分割的概念：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
24．矩形ABCD一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处.
(1)如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA.
①求证：△OCP∽△PDA；
②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长.
(2)如图2，在(1)的条件下，擦去AO和OP，连接BP.动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E.试问动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由.
【考点】SO：相似形综合题．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1)①先证出∠C=∠D=90°，再根据∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，得出∠2=∠3，即可证出△OCP∽△PDA；
②根据△OCP与△PDA的面积比为1：4，得出CP=AD=4，设OP=x，则CO=8﹣x，由勾股定理得 x2=（8﹣x）2+42，求出x，最后根据AB=2OP即可求出边AB的长；
(2)作MQ∥AN，交PB于点Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根据ME⊥PQ，得出EQ=PQ，根据∠QMF=∠BNF，证出△MFQ≌△NFB，得出QF=QB，
再求出EF=PB，由(1)中的结论求出PB==4，最后代入EF=PB即可得出线段EF的长度不变．
【解答】解：(1)①如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3，
又∵∠D=∠C，
∴△OCP∽△PDA；
②如图1，∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，
∴===，
∴CP=AD=4，
设OP=x，则CO=8﹣x，
在Rt△PCO中，∠C=90°，
由勾股定理得 x2=（8﹣x）2+42，
解得：x=5，
∴AB=AP=2OP=10，
∴边AB的长为10；
(2)作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2，
∵AP=AB，MQ∥AN，
∴∠APB=∠ABP=∠MQP．
∴MP=MQ，
∵BN=PM，
∴BN=QM．
∵MP=MQ，ME⊥PQ，
∴EQ=PQ．
∵MQ∥AN，
∴∠QMF=∠BNF，
在△MFQ和△NFB中，
，
∴△MFQ≌△NFB（AAS）．
∴QF=QB，
∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB，
由(1)中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，
∴PB==4，
∴EF=PB=2，
∴在(1)的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为2．
【点评】此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，关键是做出辅助线，找出全等和相似的三角形．
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