第6章 图形的相似（培优卷）——2022-2023学年九年级下册数学单元卷（苏科版）（原卷版+解析版）

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第6章 图形的相似（B卷·能力提升练）

（时间：120分钟，满分：100分）

一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。）

1．两地的实际距离是2000m，在地图上量得这两地的距离为2cm，这幅地图的比例尺是（   ）

A．1：1000000 B．1：100000  C．1：2000 D．1：1000

【答案】B

【解析】解：2000m=200000cm，所以这幅地图的比例尺为2：200000=1：100000．故选B．

2．若，则下列等式成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】解：A.由，可得，不符合题意；B.由，可得，不符合题意；C.由，可得，不符合题意；D.由，可得，符合题意；故选：D．

3．已知P、Q是线段AB的两个黄金分割点，且，则PQ的长为（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】解：如图，

根据黄金分割点的概念，可知，

AQ=PB，

AB=2，

AQ=PB=，

PQ=AQ+PB－AB=．

故选：A．

4．下列各组图形中，一定相似的是（　　）

A．两个等腰三角形 B．两个等边三角形

C．两个平行四边形 D．两个菱形

【答案】B

【解析】任意两个等腰三角形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，故A错误；任意两个等边三角形的对应角相等，都是60°，故一定相似，故B正确；任意两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，故不一定相似，故C错误；任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，故D错误；故选B．

5．如图，在中，点P在边上，则在下列四个条件中：

；；；，

能满足与相似的条件是（        ）

A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③

【答案】A

【解析】当，

又∵，

∴，故条件①能判定相似，符合题意；当，

又∵，

∴，故条件②能判定相似，符合题意；当，即，

而，

∴条件③不能判断相似，不符合题意；当，

即，

又∵，

∴，故条件④能判定相似，符合题意；

①②④能判定相似，

故选：A．

6．如图，是半圆的直径，，是半圆上任意两点，连结，，与相交于点，要使与相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】解：，，

，故A选项正确；，

，

，

，

，故B选项正确；，

，

，故C选项正确；，

，

，

与不相似，故D选项错误．

故选：D．

7．如图，在中，，，记，，，则下列关于，，的关系式正确的是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解：设，，与间的距离为h，

，，

四边形是平行四边形，

，

，，

，，

，

，

，

，

，

，

．

故选：B．

8．如图，O是位似中心，点A，B的对应点分别为点D、E，相似比为，若，则的长为（　       　）

A．8 B．10 C．12 D．16

【答案】D

【解析】∵O是位似中心，点A，B的对应点分别为点D、E，

∴，

∵相似比为，

∴，

∵，

∴．

故选：D．

9．如图，身高1.2m的小淇晚上在路灯（AH）下散步，DE为他到达D处时的影子．继续向前走8m到达点N，影子为FN．若测得EF＝10m，则路灯AH的高度为（    ）

A．6m B．7m C．8m D．9m

【答案】A

【解析】解∶∵CD⊥EF，AH⊥EF，MN⊥EF，

∴，

∴，，

∴，，

设DE=xm，DH=ym，则FN=（10-x-8）m，HN=（8-y）m，

∴，，

∴y=4x，

∴，

∴，

∴AH=6，

故路灯AH的高度为6m．

故选：A．

10．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①；②；③；④＝，⑤HG＝其中正确结论的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【解析】解：四边形是边长为6的正方形，点是的中点，

，，，，

，，，故①正确，

，，，

，

，且，

，

，

，故②正确，

，，，

，

，

，

，

，故③正确，

，，

，

，

，

，，

，

，

，

，

，故④正确，

如图，过点作，

，，

，

，，

，且，，

，，

，，

，，

，，

，

，

，

，故⑤正确，

故选：D．

二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分。）

11．已知，则的值是________．

【答案】

【解析】解：设x=2k，y=3k，z=4k，

所以，

故答案为：．

12．已知点P是线段的黄金分割点，，那么________．

【答案】

【解析】解：设的长为，由黄金分割点可知

∴

去分母得：

解得（舍去）或

经检验是方程的解

∴的长为cm

故答案为：．

13．如图，在中，，，点E在边上且，点F在边上，过点F作的垂线交射线于点G，当Rt的一条直角边与的一边平行时，则的长为 _____．

【答案】4或8

【解析】解：过点C作CM⊥AB，

∵，，

∴，

在Rt中，，

∴，

∵，

∴，，

①当时，

由题意可得，

∴，

在Rt，，

∴，，

又∵，

∴，

∴，

∴；②当时，

此时，

∴，

∴；③当时，

此时，

过点F作，

∴，，

∵，，

∴，

在Rt中，，

∴，

综上，的长为4或8，

故答案为：4或8．

14．如图，、是以为直径的半圆上任意两点，连接、、，与相交于点，要使与相似，可以添加的一个条件是___________（填正确结论的序号）．

①；②；③；④．

【答案】①②③

【解析】解：如图，∠ADC=∠ADB，

①、∵∠ACD=∠DAB，∴△ADC∽△BDA，故①选项正确；②、∵AD=DE，

∴，

∴∠DAE=∠B，

∴△ADC∽△BDA，故②选项正确；

③、∵=BD•CD，

∴AD：BD=CD：AD，

∴△ADC∽△BDA，故③选项正确；④、∵CD•AB=AC•BD，

∴CD：BD=AC：AB，

但∠ADC=∠ADB不是对应夹角，故④选项错误．

故答案为①②③．

15．如图，在矩形中，P是上的动点，连接，若上存在三个不同位置的点P，使与相似，设，则d的取值范围是____________．

【答案】

【解析】解：∵与相似，且，

∴只存在和两种情况，

如图1所示，当点P是的中点时，

∵四边形是矩形，

∴，

∵点P是的中点，

∴，

∴，

∴；

∵使与相似的P点有三个，除去这种情况的1个，

∴使的P点有两个，即使的P点有2个，

当时，则，

∵，

∴，

∴，

∴以BC为直径的圆必须要与有两个交点，

∴，

∴，

故答案为：

16．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD＝90°，CO＝CD，若B(3，0)，则点C的坐标为________．

【答案】

【解析】解：∵∠OCD＝90°，CO＝CD，

∴是等腰直角三角形，

∵与是位似图形，

∴,

即也是等腰直角三角形，，

∵，

∴，则,

∴，

∵与是位似图形，相似比为1：2，

∴点C的坐标为，

故答案为：．

17．如图，燃烧的蜡烛经小孔O在屏幕上成像，设，小孔O到的距离分别为、，则像的长是____________．

【答案】

【解析】过O点作于点E，交于点F，如图，

由题意可得：，

∴，

∴结合题意有，，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴（）﹒

即的长为，

故答案为：．

18．如图，在中，∠C=90°，AC=3，BC=4，半径为2的⊙O与AC，BC分别相切于点D，E，将线段AB沿着射线CA的方向平移得到线段，若与⊙O相切于点F，连接EF，则EF的值为___________．

【答案】

【解析】解：连接OE、OF，延长CB与，相交于点M，

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，

∴,

∵，

∴，

设，CM=4x，，

∴

∴，，CM=8，，

∵OE⊥CM，OD⊥AC，∠C=90°，OE=OD，

∴四边形OECD为正方形，CE=2，

∴ME=6，

由勾股定理可得：，

在和中，

∴（HL），

∴ME=MF，

∵ME=MF，OM平分∠EMF，

∴OM垂直平分EF，

四边形OEMF的面积，

∴,

解得：，

故答案为：．

三、解答题（本题共8小题，共64分。）

19．（6分）（1）已知，，求的值．

（2）已知，求的值．

【答案】（1）；（2）或

【解析】解（1）设，

则，，，

．

（2）∵，

∴，，，

联立得：，

∴

当时，，

当时，

∴或．

20．（6分）已知：如图，在△ABC中，，以腰AB为直径作，分别交BC，AC于点D，E，连接OD，DE．

(1)求证：．

(2)若，求的度数．

【答案】(1)证明见解析；(2)

【解析】（1）证明：∵OB=OD， ∴∠B=∠ODB，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C， ∴∠ODB=∠C，

∴， ∴，

∴BD=DC；（2）∵AB=AC，

∴∠B=∠C=，

∴∠ODB=∠B=65°，

∵∠EDC=∠A=50°，

∴∠ODE=180°-∠ODB-∠EDC=180°-65°-50°=65°．

21．（8分）如图，中，，点D在边上，以为直径画与交于点E．

(1)求证是的切线；(2)若，求的长度．

【答案】(1)见解析；(2)

【解析】（1）解：如图，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∴，

即，

∵是直径，

∴，

即，

又，

∴，

∴，

∴，

即，

∵是半径，

∴是的切线；（2）∵，

∴，

在中，，

∵是的切线，

∴，

∴，

又，

∴，

∴ ，

即，

∴，

∴．

22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为的正方形，点的坐标分别为，先以原点为位似中心在第三象限画一个使它与位似，且相似比．

(1)画出，点的坐标为____________．

(2)求的面积．

【答案】(1)见解析，；(2)6

【解析】（1）依题意，，画出，如图所示，

故答案为：

（2）

23．（8分）如图，建筑物BC上有一个旗杆，小明和数学兴趣小组的同学计划用学过的知识测量该建筑物的高度，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树，小明沿后退，发现地面上的点、树顶、旗杆顶端恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点、树顶、建筑物顶端恰好在一条直线上，已知旗杆米，米，米，米，点在一条直线上，点在一条直线上，均垂直于，根据以上信息，请求出这座建筑物的高．

【答案】这座建筑物的高为 米

【解析】解：由题意可得，

，

即，

，

由题意可得，，

，

即，

，

，

，

这座建筑物的高为 米．

24．（8分）再读教材：

宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：）

第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．

第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．

第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处．

第四步，展平纸片，按照所得的点D折出，使，则图④中就会出现黄金矩形．

问题解决：

(1)图③中＝      （保留根号）；

(2)如图④中的黄金矩形是：__________________________；(3)请写出图④中的一个黄金矩形，说明理由．

【答案】(1)

(2)矩形，矩形

(3)矩形是黄金矩形，理由见解析（答案不唯一）

【解析】（1）解：∵四边形是正方形，

∴，

由折叠的性质得，，

在中，根据勾股定理得，

，

故答案为：；

（2）解：根据题意得，图④中的黄金矩形是矩形，矩形，

故答案为：矩形，矩形；

（3）矩形是黄金矩形，理由如下：

解：∵，，

∴，

∴，

即矩形是黄金矩形．

25．（10分）三角形的布洛卡点（Brocardpoint）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．LCrelle1780-1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard1845-1922）重新发现，并用他的名字命名．如图1，若内一点P满足，则点P是的布洛卡点，是布洛卡角．

（1）如图2，点P为等边三角形ABC的布洛卡点，则布洛卡角的度数是______；PA、PB、PC的数量关系是______；

（2）如图3，点P为等腰直角三角形ABC（其中）的布洛卡点，且．

①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明；

②若的面积为，求的面积．

【答案】（1）30°，；（2）①，证明见解析；（3）．

【解析】解：（1）由题意知：，

为等边三角形，

，AB=BC=AC,

，

，

，

，

，

同理可证得出：

，

，

故答案是：30°，．

（2）①

证明：∵是等腰直角三角形

∴，

即，

∵，∴，

又∵，

∴.

（3）∵是等腰直角三角形，

∴，∴.

∵，

∴，

∴，，，

∴.

∵，

∴.

在中，∵，，

由勾股定理得，，

∴，

∴

∴．

26．（10分）（1）模型建立：如图1，在中，D是上一点，，求证：．

（2）类比探究：如图2，在菱形中，分别为上的点，且，射线交的延长线于点M，射线交的延长线于点N，若．

求：①的长；②的长．

（3）解决问题：如图3，在菱形中，，，点E为的中点，在平面内存在点F，且满足，以为一边作（顶点F、A、P按逆时针排列），使得，且，请直接写出的最小值．

【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3）．

【解析】（1）∵，，

∴，

∴，即；

（2）①如图，连接．

∵四边形为菱形，

∴，．

∵，

∴，即，

∴．

∵，

∴，

∴．

又∵，

∴，

∴，即，

解得：，

∴；②由①同理可证，，

∴，

∴，即，

解得：，

∴；

（3）∵，四边形为菱形，

∴，

∴．

∵点E为的中点，

∴．

∵，即，

∴，

∴，

∴，

∴点P在以点B为圆心，半径为2的圆上运动，如图，在上截取，连接，

∵，，

∴，

∴，

∴当D，P，M三点共线时，的值最小，且最小值为的长，即的最小值为的长．

如图，过点D作交延长线于点N，

∴，

∴，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴的最小值为，

∴的最小值为．