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初中数学人教版八年级上册15.2 分式的运算综合与测试优质课ppt课件
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这是一份初中数学人教版八年级上册15.2 分式的运算综合与测试优质课ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了§41分式的概念，有理式，练习2，归纳小结，分式的概念，第2课时，分式的基本性质，一问题情景，二类比归纳，用式子表示为等内容，欢迎下载使用。
问题1： 请将下列的几个代数式按照你认为的共同特征进行分类，并将同一类移入一个圈内（圈的个数自己选定,若不够可再画），并说明理由。 。。。。。。 特征： 。
用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成 形式。如果B中含有字母，式子 就叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
分式的特征是: ①分子、分母 都是 ； ②分母中含有 。
把下列各式的题号分别填入表中
(1)(4)(6)(7)
(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)
探索与发现（求代数式的值）
思考：1、第2个分式在什么情况下无意义？2、 这三个分式在什么情况下有意义？3、这三个分式在什么情况下值为零？
1、归纳：对于分式（1） 分式无意义的条件是 。（2）分式有意义的条件是 。（3）分式的值为零的条件是 。
9、选择：1.使分式 有意义的 值必为 （ ）
A B C D 任意有理数
分母
1、对于任意有理数 ，分式 有意义 （ ）2、若分式 无意义，则 的值一定是-3 （ ）
无论 取何值，
观察下面一列有规律的数：
探索规律
①请在上面横线上填写第七个数。
②根据规律可知，第n个数应是 （n为正整数）
①分子分母都是整式②分母中必含有字母
分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义
当分子为零且分母不为零时，分式值为零。
问题1 小学学过分数计算，请你快速计算下列各式，并说出计算根据：
分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于零的数，分数的值不变.
1.下列从左到右的变形成立吗？为什么？
（类比分数的基本性质，得出分式的基本性质）
2.你能归纳出以上所体现的变形吗？
3.会用字母表达式表示吗？
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于０的整式，分式的值不变。
其中Ａ，Ｂ，Ｃ是整式.
例1（补充）下列等式的右边是怎样从左边得到的？
分子分母都
例2（课本P5)填空：
例3（补充）判断下列变形是否正确.
( )
( )
( )
1.（补充）下列等式的右边是怎样从左边得到的？
,分子分母都
例4（补充）.不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“—”号：
分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
15.2 分式的运算乘除法则
在计算的过程中，你运用了分数的什么法则？你能叙述这个法则吗？
如果将分数换成分式，那么你能类比分数的乘除法法则，说出分式的乘除法法则吗？
怎样用字母来表示分式的乘除法法则呢？
探索分式的乘除法法则
如何用文字语言来描述？
乘法法则： 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.
分式的乘除法法则：
除法法则： 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
15.2 分式的运算加减法则
感受学习分式加减法的必要性
问题1 甲工程队完成一项工程需n 天，乙工程队要比甲队多用3天才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？（1）甲工程队一天完成这项工程的几分之几？（2）乙工程队一天完成这项工程的几分之几？（3）甲乙两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？
问题2 2009年、2010年、2011年某地的森林面积（单位：km2）分别是S1，S2，S3，2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多少？（1）什么是增长率？（2）2010年、2011年的森林面积增长率分别是多少？ （3）2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多 少？
探索分式的加减法法则
分式的加减法与分数的加减法类似，它们实质相同．观察下列分数加减运算的式子，你能将它们推广，得出分式的加减法法则吗？
分式的加减法法则： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．
运用分式的加减法法则
问题1 甲工程队完成一项工程需n 天，乙工程队要比甲队多用3天才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？
解：
问题2 2009年、2010年、2011年某地的森林面积（单位：km2）分别是S1，S2，S3，2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多少？
15.2 分式的运算分式的乘方及分式乘除、乘方混合运算
探究分式的乘除混合运算
你能写出推导过程吗？试试看．你能用文字语言叙述得到的结论吗？
这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方．
分式的乘方法则： 一般地，当n 是正整数时，
运用分式的乘方法则计算
【例1】两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工一个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成. 哪个队的施工速度快？
设乙队如果单独施工一个月能完成总工程的 .
记总工程量为1，根据题意, 得
经检验知 x = 1 是原方程的解.
由上可知，若乙队单独工作一个月可以完成全部任务，所以乙队施工速度快.
两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.
甲队1个月完成总工程的 ,设乙队如果单独施工1个月完成总工程的 ,那么甲队半个月完成总工程的_____,乙队半个月完成总工程的_____,两队半个月完成总工程的_______.
列方程的关键是什么？问题中的哪个等量关系可以用来列方程？
甲队施工1个月的工作量+甲乙共施工半个月的工作量=总工作量
设乙队如果单独施工1个月完成总工程的 .依题意得
方程两边同乘6x,得 2X+X+3=6X解得 x=1
检验:x=1时6x≠0,x=1是原分式方程的解
答：由上可知,若乙队单独施工1个月可以完成全部任务, 而 甲队1个月完成总工程的 ,可知乙队施工速度快.
1.列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题的方法与步骤基本相同， 不同点是，解分式方程必须要验根. 一方面要看原方程是否有增根， 另一方面还要看解出的根是否符合题意. 原方程的增根和不符合题意的根都应舍去. 2.列分式方程解应用题，一般是求什么量，就设所求的量为未知数，这种设未知数的方法，叫做设直接未知数. 但有时可根据题目特点不直接设题目所求的量为未知量，而是设另外的量为未知量，这种设未知数的方法叫做设间接未知数. 在列分式方程解应用题时，设间接未知数，有时可使解答变得简捷.
甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所用时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？
解：设甲每小时做x个零件则乙每小时做（ x －6）个零件， 依题意得：
经检验X=18是原方程的根。
答：甲每小时做18个，乙每小时12个
我们所列的是一个分式方程，这是分式方程的应用
由x＝18得x－6=12
等量关系：甲用时间=乙用时间
1、甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所用时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？
2、甲、乙两人每时共能做35个零件，当甲做了90个零件时，乙做了120个。问甲、乙每时各做多少个机器零件？
解：设甲每小时做X个，乙每小时做（35-x)个，则
1.填空： (1)一件工作甲单独做要m小时完成，乙单独做要n小时完成，如果两人合做，完成这件工作的时间是______小时； (2)某食堂有米m公斤，原计划每天用粮a公斤，现在每天节约用粮b公斤，则可以比原计划多用天数是______; (3)把a千克的盐溶在b千克的水中，那么在m千克这种盐水中的含盐量为______千克.
2、甲加工180个零件所用的时间，乙可以加工240个零件，已知甲每小时比乙少加工5个零件，求两人每小时各加工的零件个数.
解：设乙每小时加工x个，甲每小时加工（x-5）个，则
检验：x=20时x(x-5) ≠0,x=20是原分式方程的解。
答：乙每小时加工20个，甲每小时加工15个。
3、某工人师傅先后两次加工零件各1500个，当第二次加工时，他革新了工具，改进了操作方法，结果比第一次少用了18个小时.已知他第二次加工效率是第一次的2.5倍，求他第二次加工时每小时加工多少零件?
解：设他第一次每小时加工x个，第二次每小时加 工2.5x个，则
【例2】从2004年5月起某列车平均提速v千米/小时，用相同的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度为多少？
解：设提速前的速度为x,提速后为x+v,则
1、一队学生去校外参观，他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍.若骑车的速度是队伍行进速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间?
解：设队伍的速度为x，骑车的速度为2x,则
经检验x=15是原方程的解。
答：这名学生追上队伍用了0.5小时。
2、某人骑自行车比步行每小时多走8千米，如果他步行12千米所用时间与骑车行36千米所用的时间相等，求他步行40千米用多少小时?
解：设步行每小时行x千米，骑车每小时行（x+8)千米，则
40÷4=10(小时）
经检验x=4是方程的解。
答：他步行40千米用10个小时。
3、A，B两地相距135千米，两辆汽车从A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟.已知小汽车与大汽车的速度之比是5：2，求两辆汽车各自的速度.
解：设小汽车的速度为5x,大汽车的速度为2x,则
经检验x=9是方程的解。
5×9=45 2×9=18
答：小车每小时行45千米，大车每小时行18千米。
4、已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米?
解：设水流的速度为x,则
某次测试，初二（5）班55位同学中，80分的有25位，90分的有30位，班级平均分怎么算？
某商场把甲、乙两种糖果混合出售，并用以下公式来确定混合糖果的单价(a1、a2分别表示甲、乙两种糖果的单价，m1、m2分别表示甲、乙两种糖果的质量千克数)。已知a1=30元/千克，a2=20元/千克。现在单价为24元/千克的这种混合糖果100千克，商场想通过增加甲种糖果，把单价提高10%，问应加入甲种糖果多少千克？你能帮商场算出结果吗？
分式的分子与分母都乘以(或除以)_____________________，分式的值不变，用式子表示为：_____________________________________．
(1)形如___________________________________的式子叫分式；
1．分式的基本概念：
4．分式的约分、通分：
题型一 分式的概念,求字母的取值范围
(1)首先求出使分母等于0的字母的值，然后让未知数不等于这些值，便可使分式有意义；(2)首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0，当它使分母的值不为0时，这就是所要求的字母的值．
题型二 分式的性质
(1)分式的基本性质是分式变形的理论依据，所有分式变形都不得与此相违背，否则分式的值改变；(2)将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多项式，要先将它们分别分解因式，然后再约分，约分应彻底；(3)巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题，可应用逆向思维，将要求的算式向已知条件“凑”而求得结果．
题型三 分式的四则混合运算
题型三 分式的四则混合运算
题型四 分式方程的解法
3.分式方程的增根问题
1.勿忘分母不能为零
问题1： 请将下列的几个代数式按照你认为的共同特征进行分类，并将同一类移入一个圈内（圈的个数自己选定,若不够可再画），并说明理由。 。。。。。。 特征： 。
用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成 形式。如果B中含有字母，式子 就叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
分式的特征是: ①分子、分母 都是 ； ②分母中含有 。
把下列各式的题号分别填入表中
(1)(4)(6)(7)
(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)
探索与发现（求代数式的值）
思考：1、第2个分式在什么情况下无意义？2、 这三个分式在什么情况下有意义？3、这三个分式在什么情况下值为零？
1、归纳：对于分式（1） 分式无意义的条件是 。（2）分式有意义的条件是 。（3）分式的值为零的条件是 。
9、选择：1.使分式 有意义的 值必为 （ ）
A B C D 任意有理数
分母
1、对于任意有理数 ，分式 有意义 （ ）2、若分式 无意义，则 的值一定是-3 （ ）
无论 取何值，
观察下面一列有规律的数：
探索规律
①请在上面横线上填写第七个数。
②根据规律可知，第n个数应是 （n为正整数）
①分子分母都是整式②分母中必含有字母
分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义
当分子为零且分母不为零时，分式值为零。
问题1 小学学过分数计算，请你快速计算下列各式，并说出计算根据：
分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于零的数，分数的值不变.
1.下列从左到右的变形成立吗？为什么？
（类比分数的基本性质，得出分式的基本性质）
2.你能归纳出以上所体现的变形吗？
3.会用字母表达式表示吗？
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于０的整式，分式的值不变。
其中Ａ，Ｂ，Ｃ是整式.
例1（补充）下列等式的右边是怎样从左边得到的？
分子分母都
例2（课本P5)填空：
例3（补充）判断下列变形是否正确.
( )
( )
( )
1.（补充）下列等式的右边是怎样从左边得到的？
,分子分母都
例4（补充）.不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“—”号：
分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
15.2 分式的运算乘除法则
在计算的过程中，你运用了分数的什么法则？你能叙述这个法则吗？
如果将分数换成分式，那么你能类比分数的乘除法法则，说出分式的乘除法法则吗？
怎样用字母来表示分式的乘除法法则呢？
探索分式的乘除法法则
如何用文字语言来描述？
乘法法则： 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.
分式的乘除法法则：
除法法则： 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
15.2 分式的运算加减法则
感受学习分式加减法的必要性
问题1 甲工程队完成一项工程需n 天，乙工程队要比甲队多用3天才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？（1）甲工程队一天完成这项工程的几分之几？（2）乙工程队一天完成这项工程的几分之几？（3）甲乙两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？
问题2 2009年、2010年、2011年某地的森林面积（单位：km2）分别是S1，S2，S3，2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多少？（1）什么是增长率？（2）2010年、2011年的森林面积增长率分别是多少？ （3）2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多 少？
探索分式的加减法法则
分式的加减法与分数的加减法类似，它们实质相同．观察下列分数加减运算的式子，你能将它们推广，得出分式的加减法法则吗？
分式的加减法法则： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．
运用分式的加减法法则
问题1 甲工程队完成一项工程需n 天，乙工程队要比甲队多用3天才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？
解：
问题2 2009年、2010年、2011年某地的森林面积（单位：km2）分别是S1，S2，S3，2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多少？
15.2 分式的运算分式的乘方及分式乘除、乘方混合运算
探究分式的乘除混合运算
你能写出推导过程吗？试试看．你能用文字语言叙述得到的结论吗？
这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方．
分式的乘方法则： 一般地，当n 是正整数时，
运用分式的乘方法则计算
【例1】两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工一个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成. 哪个队的施工速度快？
设乙队如果单独施工一个月能完成总工程的 .
记总工程量为1，根据题意, 得
经检验知 x = 1 是原方程的解.
由上可知，若乙队单独工作一个月可以完成全部任务，所以乙队施工速度快.
两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.
甲队1个月完成总工程的 ,设乙队如果单独施工1个月完成总工程的 ,那么甲队半个月完成总工程的_____,乙队半个月完成总工程的_____,两队半个月完成总工程的_______.
列方程的关键是什么？问题中的哪个等量关系可以用来列方程？
甲队施工1个月的工作量+甲乙共施工半个月的工作量=总工作量
设乙队如果单独施工1个月完成总工程的 .依题意得
方程两边同乘6x,得 2X+X+3=6X解得 x=1
检验:x=1时6x≠0,x=1是原分式方程的解
答：由上可知,若乙队单独施工1个月可以完成全部任务, 而 甲队1个月完成总工程的 ,可知乙队施工速度快.
1.列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题的方法与步骤基本相同， 不同点是，解分式方程必须要验根. 一方面要看原方程是否有增根， 另一方面还要看解出的根是否符合题意. 原方程的增根和不符合题意的根都应舍去. 2.列分式方程解应用题，一般是求什么量，就设所求的量为未知数，这种设未知数的方法，叫做设直接未知数. 但有时可根据题目特点不直接设题目所求的量为未知量，而是设另外的量为未知量，这种设未知数的方法叫做设间接未知数. 在列分式方程解应用题时，设间接未知数，有时可使解答变得简捷.
甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所用时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？
解：设甲每小时做x个零件则乙每小时做（ x －6）个零件， 依题意得：
经检验X=18是原方程的根。
答：甲每小时做18个，乙每小时12个
我们所列的是一个分式方程，这是分式方程的应用
由x＝18得x－6=12
等量关系：甲用时间=乙用时间
1、甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所用时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？
2、甲、乙两人每时共能做35个零件，当甲做了90个零件时，乙做了120个。问甲、乙每时各做多少个机器零件？
解：设甲每小时做X个，乙每小时做（35-x)个，则
1.填空： (1)一件工作甲单独做要m小时完成，乙单独做要n小时完成，如果两人合做，完成这件工作的时间是______小时； (2)某食堂有米m公斤，原计划每天用粮a公斤，现在每天节约用粮b公斤，则可以比原计划多用天数是______; (3)把a千克的盐溶在b千克的水中，那么在m千克这种盐水中的含盐量为______千克.
2、甲加工180个零件所用的时间，乙可以加工240个零件，已知甲每小时比乙少加工5个零件，求两人每小时各加工的零件个数.
解：设乙每小时加工x个，甲每小时加工（x-5）个，则
检验：x=20时x(x-5) ≠0,x=20是原分式方程的解。
答：乙每小时加工20个，甲每小时加工15个。
3、某工人师傅先后两次加工零件各1500个，当第二次加工时，他革新了工具，改进了操作方法，结果比第一次少用了18个小时.已知他第二次加工效率是第一次的2.5倍，求他第二次加工时每小时加工多少零件?
解：设他第一次每小时加工x个，第二次每小时加 工2.5x个，则
【例2】从2004年5月起某列车平均提速v千米/小时，用相同的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度为多少？
解：设提速前的速度为x,提速后为x+v,则
1、一队学生去校外参观，他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍.若骑车的速度是队伍行进速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间?
解：设队伍的速度为x，骑车的速度为2x,则
经检验x=15是原方程的解。
答：这名学生追上队伍用了0.5小时。
2、某人骑自行车比步行每小时多走8千米，如果他步行12千米所用时间与骑车行36千米所用的时间相等，求他步行40千米用多少小时?
解：设步行每小时行x千米，骑车每小时行（x+8)千米，则
40÷4=10(小时）
经检验x=4是方程的解。
答：他步行40千米用10个小时。
3、A，B两地相距135千米，两辆汽车从A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟.已知小汽车与大汽车的速度之比是5：2，求两辆汽车各自的速度.
解：设小汽车的速度为5x,大汽车的速度为2x,则
经检验x=9是方程的解。
5×9=45 2×9=18
答：小车每小时行45千米，大车每小时行18千米。
4、已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米?
解：设水流的速度为x,则
某次测试，初二（5）班55位同学中，80分的有25位，90分的有30位，班级平均分怎么算？
某商场把甲、乙两种糖果混合出售，并用以下公式来确定混合糖果的单价(a1、a2分别表示甲、乙两种糖果的单价，m1、m2分别表示甲、乙两种糖果的质量千克数)。已知a1=30元/千克，a2=20元/千克。现在单价为24元/千克的这种混合糖果100千克，商场想通过增加甲种糖果，把单价提高10%，问应加入甲种糖果多少千克？你能帮商场算出结果吗？
分式的分子与分母都乘以(或除以)_____________________，分式的值不变，用式子表示为：_____________________________________．
(1)形如___________________________________的式子叫分式；
1．分式的基本概念：
4．分式的约分、通分：
题型一 分式的概念,求字母的取值范围
(1)首先求出使分母等于0的字母的值，然后让未知数不等于这些值，便可使分式有意义；(2)首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0，当它使分母的值不为0时，这就是所要求的字母的值．
题型二 分式的性质
(1)分式的基本性质是分式变形的理论依据，所有分式变形都不得与此相违背，否则分式的值改变；(2)将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多项式，要先将它们分别分解因式，然后再约分，约分应彻底；(3)巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题，可应用逆向思维，将要求的算式向已知条件“凑”而求得结果．
题型三 分式的四则混合运算
题型三 分式的四则混合运算
题型四 分式方程的解法
3.分式方程的增根问题
1.勿忘分母不能为零
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