数学华师大版26.1 二次函数优秀教学设计

这是一份数学华师大版26.1 二次函数优秀教学设计，共4页。教案主要包含了创设问题情境，讲解例题，巩固新知，巩固练习，课堂小结，课外作业等内容，欢迎下载使用。

课 题：26.1二次函数


＆.教学目标：


1、经历二次函数数学模型的建立过程，培养学生数学建模。


2、使学生正确理解二次函数的定义。


3、使学生掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围。


＆.教学重点、难点：


重点：通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义。


难点：如何建立二次函数模型。


＆.教学过程：


一、创设问题情境


问题：要用长的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎么样围法才能使围成的花圃的面积最大？


如果花圃垂直于墙的一边长为，花圃的面积为，那么。试问：为何值时，才能使的值最大？


教学方法：引导学生建立函数关系式。


思考：求为何值时，才能使的值最大？这就是本章要研究的问题.本章将探索二次函数的图象与性质，并解决一些简单的实际问题。


§.探究二次函数的概念：


问题1：（本章导图中的问题）如图1，要用总长为的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃．怎样围法，才能使围成的花圃面积最大？


D


C


A


B


图 1














（1）设矩形花圃的垂直于墙的一边的长为，先取的一些值，算出矩形的另一边的长，进而得出矩形的面积.试将计算结果填写在下表的空格中。


（2）的值是否可以任意取？有限定范围吗？


（3）我们发现，当的长（）确定后，矩形的面积（）也就随之确定，是的函数，试写出这个函数的关系式.


教学方法：对于（1）小问，可让学生根据表中给出的的长，填写出相应的的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，从而引导学生建立函数关系式。


思考：


（1）从所填表格中，你能发现什么？


（2）根据表格中的数据，对前面提出的问题的解答能作出什么猜想？（当的长为，的长为时，围成的矩形面积最大，最大面积为。）


（3）为什么会受到限制，它的取值范围如何确定？


（4）当（）时，长等于多少？面积等于多少？


答案：（）即：（）


问题2：某商店将每件进价为元的某种商品按每件元出售，一天可售出约件.该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润。经过市场调查，发现这种商品单价每降低元，其销售量可增加约件.将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？


思考：


（1）商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系？


（利润（售价－进价）销售量）


（2）如果不降低售价，该商品每件利润是多少元？一天总的利润是多少元？


（元，元）


（3）若每件商品降价元，则每件商品的利润是多少元？一天可销售约多少件商品？


元，件；


（4）的值是否可以任意取？如果不能任意取，请求出它的取值范围？


（的值不能任意取，其范围是）


（5）若设该商品每天的利润为元，求与的函数关系式？


答案：（），即（）


思考：请同学们观察上述两个函数关系式：，，并回答下列问题：


（1）这两个函数关系式各有几个变量？


（2）多项式和分别是几次几项式？


（3）这两个函数有什么共同特点？


§.二次函数的定义：


形如（、、为常数，）的函数叫做二次函数.其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项.


注意：


（1）二次函数的解析式是整式；


（2）二次函数关键取决于二次项前面的系数，、不受限制；


（3）二次函数自变量的最高次数是.


三、讲解例题，巩固新知


§.例1、下列函数中哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，指出、、.


（1） （2） （3）


（4） （5） （6）


解析：利用二次函数的概念进行判定，注意二次函数的解析式是整式，自变量的最高次数是且二次项前面的系数不等于零；同时判定一个函数是否是二次函数的前提是必须把它整理成一般形式在进行判定。


答案：二次函数有（1）、（2）、（4）.


同步练习：下列函数中，哪些是二次函数？


（1） （2） （3）


（4） （5） （6）


§.例2、当取哪些值时，函数是以为自变量的二次函数。


解析：若函数是二次函数，须满足的条件是.


教学方法：教师引导学生分析，先由学生书写，教师然后点评。


解：若函数是二次函数，则


，解得：且


因此，当且时，函数是二次函数。


变试例题：


（1）若函数是以为自变量的一次函数，则取哪些值？


（2）当为何值时，函数是关于的二次函数？


§.例3、当取何值时，函数是以为自变量的二次函数？并写出函数的解析式。


解析：若函数是二次函数，须满足的条件是且.


教学方法：教师引导学生分析，先由学生书写，教师然后点评。


解：若函数是二次函数，则


，解得：


当，二次函数的解析式为：.


同步练习：当为何值时，函数为二次函数。


§.例4、写出下列函数关系，并判断它们是什么类型的函数。


（1）写出正方体的表面积与正方体的棱长之间的函数关系式；


（2）写出圆的面积与它的周长之间的函数关系；


（3）菱形的两条对角线的和为，求菱形的面积与一对角线长之间的函数关系.


教学方法：学生先独立完成，教师再根据学生学习的情况加以点评。


答案：（1）；（2）；（3）.


§.例5、用一根长为的木条，做一个矩形窗框，若一边长为，写出它的面积与之间的函数关系式.是的二次函数吗？


解析：先用自变量的代数式表示出相关量，再写出函数关系式，并标注出的取值范围.


解：因为矩形周长为，一边长为，则另一边长为，由题意得：


，即（）


故是的二次函数。


A


B


图 2


变式练习：如图2，有长为的篱笆，一方利用长的墙的一部分作为矩形的一边，围成中间隔着一到篱笆（垂直于墙）的矩形花圃，设为米，矩形花圃的面积为（），求与的函数关系式，并确定的取值范围。














方法小结：用自变量表示相关的量时，注意分析它们之间的关系，比如特殊图形中面积公式、直角三角形勾股定理及边角关系、相似图形成比例线段、行程问题和工程问题的数量关系等。


四、巩固练习


教材 练习


五、课堂小结


通过本节课的学习，要求同学们


1、理解二次函数的定义并能利用二次函数的定义解决相关问题。


2、能根据实际问题确定函数解析式并确定自变量的取值范围。


六、课外作业


1、教材 习题26.1 长
1
2
3
4
5
6
7
8
9
长
12
面积
48