初中数学沪科版八年级下册19.3 矩形 菱形 正方形精品练习

这是一份初中数学沪科版八年级下册19.3 矩形 菱形 正方形精品练习，文件包含1935正方形的性质练习原卷版doc、1935正方形的性质练习解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。

第十九章 四边形


19.3.5 正方形的性质


精选练习答案


基础篇








一、单选题


1．（2019·宿州市第十一中学初一期末）甲乙两人各用一张正方形的纸片ABCD折出一个45°的角（如图），两人做法如下：





甲：将纸片沿对角线AC折叠，使B点落在D点上，则∠1=45°.


乙：将纸片沿AM、AN折叠，分别使B、D落在对角线AC上的一点P，则∠MAN=45°.


对于两人的做法，下列判断正确的是（ ）


A．甲乙都对B．甲对乙错C．甲错乙对D．甲乙都错


【答案】A


【解析】





∵AC为正方形的对角线，


∴∠1=×90°=45°；


∵AM、AN为折痕，


∴∠2=∠3，4=∠5，


又∵∠DAB=90°，


∴∠3+∠4=×90°=45°.


∴二者的做法都对。


故选A.


2．（2019·安徽省初二期末）如图，在正方形 ABCD 中，BD=2，∠DCE 是正方形 ABCD 的外角，P 是∠DCE 的角平分线 CF 上任意一点，则△PBD 的面积等于 ( )





A．1B．1.5C．2D．2.5


【答案】A


【解析】由于BD∥CF，以BD为底边，以BD边对应的高为边长计算三角形的面积即可．


解：△PBD的面积等于 ×2×1=1．故选A．


3．（2019·安徽省初二期末）如图，正方形ABCD的边长为8，点M在边DC上，且，点N是边AC上一动点，则线段的最小值为





A．8


B．


C．


D．10


【答案】D


【解析】解：根据题意，连接BD、BM，则BM就是所求DN＋MN的最小值，





在Rt△BCM中，BC＝8，CM＝6


根据勾股定理得：BM＝ ，


即DN＋MN的最小值是10；


故选：D．


4．（2018·安徽省初二期末）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2+∠3的度数为（ ）





A．90°B．105°C．120°D．135°


【答案】D


【解析】观察图形可知, 所在的三角形与3所在的三角形全等,


,


又,


.


故选D.


5．（2020·安徽省初二期中）如图,已知点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是( )





A．48B．60


C．76D．80


【答案】C


【解析】试题解析：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，


∴AB=


∴S阴影部分=S正方形ABCD-SRt△ABE=102-


=100-24


=76.


故选C.


6．（2019·安徽省初二期末）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）


A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角线互相平分且相等


【答案】B


【解析】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．


故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．


故选：B．


7．（2019·河南省初二期末）如图是由四个全等的直角三角形拼接而成的图形，其中，，则的长是( )





A．7B．8C．D．


【答案】C


【解析】解：如图，由题意可知：AE=BG=FC=5，BE=CG=12，


∴EG=BE-BG=12-5=7，FG=CG-FC=12-5=7，


∴在Rt△EGF中，EF==7.





故选C.


8．（2019·安徽省初二期末）如图，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是 ( )





A．1B．1.5C．2D．2.5


【答案】C


【解析】


连接AE，


∵AB=AD=AF,∠D=∠AFE=90°，


由折叠的性质得：Rt△ABG≌Rt△AFG，


在△AFE和△ADE中，


∵AE=AE，AD=AF，∠D=∠AFE，


∴Rt△AFE≌Rt△ADE，


∴EF=DE，


设DE=FE=x，则CG=3，EC=6−x.


在直角△ECG中，根据勾股定理，得：


(6−x)2+9=(x+3)2，


解得x=2.


则DE=2.


9．（2019·合肥寿春中学初二期末）如图，在正方形中，，是对角线上的动点，以为边作正方形，是的中点，连接，则的最小值为（ ）





A．B．C．2D．


【答案】A


【解析】取AD中点O，连接OE，得到△ODE≌△HDG，得到OE=HG,当OE⊥AC时，OE有最小值，此时△AOE是等腰直角三角形，OE=AE，


∵AD=AB=4,


∴AO=AB=2


在Rt△AOE中，由勾股定理可得OE2+AE2=AO2=4,即2OE2=4


解得OE=


∴GH的最小值为


故选A．





10．（2019·全国初二期末）如图，在正方形ABCD对角线BD上截取BE=BC，连接CE并延长交AD于点F，连接AE，过B作BG⊥AE于点G，交AD于点H，则下列结论错误的是（ ）





A．AH=DFB．S四边形EFHG=S△DCF+S△AGH


C．∠AEF=45°D．△ABH≌△DCF


【答案】B


【解析】详解：∵BD是正方形ABCD的对角线，


∴∠ABE=∠ADE=∠CDE=45°，AB=BC，


∵BE=BC，


∴AB=BE，


∵BG⊥AE，


∴BH是线段AE的垂直平分线，∠ABH=∠DBH=22.5°，


在Rt△ABH中，∠AHB=90°-∠ABH=67.5°，


∵∠AGH=90°，


∴∠DAE=∠ABH=22.5°，


在△ADE和△CDE中


，


∴△ADE≌△CDE，


∴∠DAE=∠DCE=22.5°，


∴∠ABH=∠DCF，


在Rt△ABH和Rt△DCF中


，


∴Rt△ABH≌Rt△DCF，


∴AH=DF，∠CFD=∠AHB=67.5°，


∵∠CFD=∠EAF+∠AEF，


∴67.5°=22.5°+∠AEF，


∴∠AEF=45°，故ACD正确；


如图，连接HE，





∵BH是AE垂直平分线，


∴AG=EG，


∴S△AGH=S△HEG，


∵AH=HE，


∴∠AHG=∠EHG=67.5°，


∴∠DHE=45°，


∵∠ADE=45°，


∴∠DEH=90°，∠DHE=∠HDE=45°，


∴EH=ED，


∴△DEH是等腰直角三角形，


∵EF不垂直DH，


∴FH≠FD，


∴S△EFH≠S△EFD，


∴S四边形EFHG=S△HEG+S△EFH=S△AHG+S△EFH≠S△DEF+S△AGH，故B错误，


故选：B．


提高篇








二、填空题


11．（2019·安徽省初二期末）如图，正方形 ABCD 的顶点 C, A 分别在 x 轴， y 轴上， BC 是菱形 BDCE 的对角线.若 BC  6, BD  5, 则点 D 的坐标是_____.





【答案】.


【解析】过点作于点，





四边形是菱形，


，


是等腰三角形，


点是的中点，


，


，


四边形是正方形，


=6，


6+4=10，





故答案为：.


12．（2019·安徽省初二期末）正方形的边长为2，点是对角线上一点，和是直角三角形.则______.


【答案】或.


【解析】解：∵正方形ABCD的边长为2，


∴BD＝AC＝，


∵点E是对角线BD上一点，△EAD、△ECD是直角三角形，


∴当点E是对角线的交点时，△EAD、△ECD是等腰直角三角形，


∴DE＝BD＝，


当点E与点B重合时，△EAD、△ECD是等腰直角三角形，


∴DE＝BD＝，


故答案为：或．





13．（2019·安徽省初二期末）已知正方形ABCD中，P为直线AD上一点，以PD为边做正方形PDEF，使点E在线段CD的延长线上，连接AC、AF．若，则的度数为________.


【答案】或


【解析】解：（1）当点P在DA的延长线上时，AD

（2）当点P在线段DA上时，如图：





连接FD，∵正方形PDEF中，FD=PD, ，∠ADF=45°，


∴FD=AD，∠DAF=∠AFD=（180°-45°）÷2=67.5°，


∴=∠CAD+∠DAF=45°+67.5°=；


（3））当点P在AD的延长线上时，如图：





连接FD，∵正方形PDEF中，FD=PD, ，∠PDF=45°=∠FAD+∠DFA，


∴AD=DF，∠FAD=∠DFA =45°÷2=22.5°，


∴=∠CAD+∠DAF=45°+22.5°=67.5°；


故答案为：或


14．（2019·安徽省宿州市第二中学初二月考）在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是a，b，c，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_____．





【答案】a+c


【解析】解：





∵∠ACB+∠DCE=90°，∠BAC+∠ACB=90°，


∴∠DCE=∠BAC，


∵AC=CE，∠ABC=∠CDE


∴△ABC≌△CDE，


∴BC=DE，


在直角△ABC中，AB2+BC2=AC2，


即，AB2+DE2=AC2，


∵S3=AB2，S4=DE2


∴S3+S4=c


同理S1+S2=a


故可得S1+S2+S3+S4=a+c，


故答案是： a+c．


15．（2020·安徽省初三学业考试）如图，正方形的边长为，点为边上一点，，点为的中点，过点作直线分别与，相交于点，.若，则长为______.





【答案】1或2


【解析】根据题意画出图形，过点作，交于点，交于点，四边形为正方形，.





在中，，cm，


cm.


根据勾股定理得cm.


为的中点，cm，


在和中，


，


，.


，，


，即.


在中，， cm.


由对称性得到 cm，


综上，等于1cm或2cm.


故答案为：1或2.





三、解答题


16．（2018·河北省初二期末）如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的点，且AE=BF，求证：AF⊥DE．





【答案】证明见解析


【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，


∴DA=AB，∠DAE=∠ABF=90°，


又∵AE=BF，


∴△DAE≌△ABF，


∴∠ADE=∠BAF，


∵∠ADE+∠AED=90°，


∴∠FAE+∠AED=90°，


∴∠AGE=90°，


∴AF⊥DE．





17．（2019·苏州市吴中区光福中学初二期末）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF





（1）求证：BE = DF；


（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．


【答案】（1）证明见解析；（2）四边形AEMF是菱形，证明见解析.


【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，


∴AB=AD，∠B=∠D=90°，


在Rt△ABE和Rt△ADF中，


∵，


∴Rt△ADF≌Rt△ABE（HL）


∴BE=DF；


（2）四边形AEMF是菱形，理由为：


证明：∵四边形ABCD是正方形，


∴∠BCA=∠DCA=45°（正方形的对角线平分一组对角），


BC=DC（正方形四条边相等），


∵BE=DF（已证），


∴BC-BE=DC-DF（等式的性质），


即CE=CF，


在△COE和△COF中，


，


∴△COE≌△COF（SAS），


∴OE=OF，


又OM=OA，


∴四边形AEMF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），


∵AE=AF，


∴平行四边形AEMF是菱形．


18．（2018·安徽省初二期末）正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB、BC上，将AD、DC分别沿DE、DF折叠，点A、C恰好都落在P处，且．


求EF的长；


求的面积．





【答案】(1)5；(2)6.


【解析】解：设，则，，


由勾股定理得得，，解得，，即，


；


，，


．


，，


，


．