浙教版八年级下册5.3 正方形巩固练习

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第5章　特殊平行四边形5.3　正方形第2课时　正方形的性质基础过关全练知识点　正方形的性质1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是 (　　)A.对角相等　　　　    B.对边相等C.对角线互相垂直　　　D.对角线相等2.若正方形的对角线长为2,则这个正方形的面积为 (　　)A.2　　　　B.4　　　　C.3.下图是甲、乙两张不同的纸片,将它们分别沿着虚线剪开后,各自要拼一个与原来面积相等的正方形,则              (　　)     甲        乙A.甲、乙都可以　　　　 B.甲、乙都不可以C.甲不可以,乙可以　　　　D.甲可以,乙不可以4.【教材变式·P127作业题T2变式】如图,正方形ABCD的边长为2,E为边AB上一点,若EC=,则ED=　　　　. 5.如图,正方形ABCD的边长为6,点E,F分别在AB,AD上,若CE=3,且∠ECF=45°,则CF的长为　　　　. 6.【新独家原创】如图,在正方形ABCD中,点E为BC边上任意一点,连结AE,分别过点B、D作AE的垂线,垂足分别为G、F.求证:DF=BG+FG.能力提升全练7.如图,正方形ABCD的边长为4 cm,则图中阴影部分的面积为 (　　)A.6 cm2　　　　B.8 cm2　　　　C.16 cm2　　　　D.32 cm28.如图,P是正方形ABCD内一点,连结PA、PB、PC、PD,若△PAB是等边三角形,则∠DPA的度数是              (　　)A.60°　　　　B.75°　　　　C.80°　　　　D.90°9.如图,已知正方形ABCD的对角线长为3,将正方形ABCD沿直线EF折叠,则图中阴影部分的周长为              (　　)A.12    C.12　　　　   D.910.【一题多变】如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是正方形,其中顶点A,B,C的坐标分别为(-1,2),(1,3),(2,1),将正方形OABC绕点O顺时针旋转90°后,点B的坐标为　              (　　)A.(-1,2)　　　　B.(2,3)    C.(-3,1)　　　　D.(3,-1)[变式]如图所示,将正方形OEFG放在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点E的坐标为(2,3),则点F的坐标为　　　　. 11.如图,以正方形ABCD的一边为边向外作等边△ABE,BD与EC交于点F,且DF=EF,则∠AFD等于　　　　°. 12.(2022浙江杭州中考节选,23(1),)如图,在正方形ABCD中,点M是边AB的中点,点E在线段AM上(不与点A重合),点F在边BC上,且AE=2BF,连结EF,以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH.若AB=4,当点E与点M重合时,求正方形EFGH的面积.13.如图,在正方形ABCD中,AF=BE,AE与DF相交于点O.(1)求证:△DAF≌△ABE;(2)写出线段AE、DF的数量关系和位置关系,并说明理由.素养探究全练14.【推理能力】(2022贵州黔东南州中考)阅读材料:小明喜欢探究数学问题,一天杨老师给他这样一个几何问题:如图1,△ABC和△BDE都是等边三角形,点A在DE上.求证:以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形.【探究发现】(1)小明通过探究发现:连结DC,根据已知条件,可以证明DC=AE,∠ADC=120°,从而得出△ADC为钝角三角形,故以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形.请你根据小明的思路,写出完整的证明过程.【拓展迁移】(2)如图2,四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形,点A在EG上.①试猜想:以AE、AG、AC为边的三角形的形状,并说明理由.②若AE2+AG2=10,试求出正方形ABCD的面积.       图1          图2
答案全解全析基础过关全练1.D　正方形的对角线相等,菱形的对角线不一定相等.2.A　正方形是特殊的菱形,可按菱形的面积公式计算.因为正方形的对角线长为2,所以这个正方形的面积为×2×2=2.3.A　对剪开后的纸片进行拼接,可得下面的图形:        甲         乙所以甲、乙都可以拼成和原来面积相等的正方形,故选A.4.解析　因为正方形ABCD的边长为2,所以AB=BC=AD=2,∠B=∠A=90°,因为EC=,所以BE==1.所以AE=AB-BE=1.所以DE=.5.2解析　如图,延长AB至F',使BF'=DF,连结CF'、EF.∵四边形ABCD为正方形,∴∠D=∠ABC=90°,CD=CB,∵∠CBF'=180°-∠ABC=90°,∴∠D=∠CBF',在Rt△CDF和Rt△CBF'中,∵CD=BC,∠D=∠CBF',DF=BF',∴△CDF≌△CBF',∴CF=CF',∠DCF=∠BCF',∵∠ECF=45°,∴∠BCE+∠FCD=45°,∴∠BCE+∠F'CB=45°,∴∠ECF=∠ECF'=45°,在△ECF和△ECF'中,∵CF=CF',∠ECF=∠ECF',CE=CE,∴△ECF≌△ECF',∴EF=EF',∵CE=3,BC=6,∴BE==3,∴AE=3,设DF=BF'=x,则AF=6-x,EF=EF'=3+x,∵在Rt△AEF中,AF2+AE2=EF2,∴(6-x)2+32=(3+x)2,解得x=2,∴DF=2,∴CF=.故答案为2.6.证明　如图.∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°,∵DF⊥AE,BG⊥AE,∴∠AGB=90°=∠DFA,∵∠BAG+∠DAF=90°,∠DAF+∠ADF=90°,∴∠BAG=∠ADF,∴△ABG≌△DAF(AAS),∴BG=AF,AG=DF,∵AG=AF+FG,∴DF=BG+FG.能力提升全练7.B　 S阴影=×4×4=8(cm2).8.B　∵四边形ABCD是正方形,∴AD=AB,∠DAB=90°,∵△PAB是等边三角形,∴∠PAB=60°,PA=AB,∴∠DAP=30°,AP=DA,∴∠DPA==75°.9.C　根据折叠的性质,可知阴影部分的周长=正方形的周长.设正方形的边长为x,根据勾股定理得x2+x2=(3)2,解得x=3(舍去x=-3),所以阴影部分的周长为3×4=12.故选C.10.D　如图,将点B绕点O顺时针旋转90°,得到点B',其坐标为(3,-1).故选D.[变式](-1,5)解析　如图,过点E作y轴的垂线,垂足为点A,过点F作FP⊥EA,交EA的延长线于点P,∵四边形OEFG是正方形,∴EF=OE,∠FEO=90°,∵∠FEP+∠PEO=90°,∠PEO+∠AOE=90°,∴∠AOE=∠FEP,∵EF=OE,∠EPF=∠OAE=90°,∴△AOE≌△PEF(AAS),∴AE=PF,PE=AO,∵点E(2,3),∴PE=AO=3,PF=AE=2,∴PA=1,∴点F的坐标为(-1,5).11.60解析　如图,连结AC,∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC=AB,BD垂直平分AC,∴FA=FC,在△DCF和△DAF中,∴△DCF≌△DAF(SSS),∵三角形ABE是等边三角形,∴AE=AB,∴AE=AD,在△DAF和△EAF中,∴△DAF≌△EAF,∴△DCF≌△DAF≌△EAF,∴∠DFC=∠AFD=∠AFE,又∵∠DFC+∠AFD+∠AFE=180°,∴∠DFC=∠AFD=∠AFE=60°.12.解析　∵点M是边AB的中点,点E与点M重合,AB=4,∴AE=BE=2,∵AE=2BF,∴BF=1,在Rt△EBF中,EF2=EB2+BF2=22+12=5,∴正方形EFGH的面积=EF2=5.13.解析　(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴DA=AB,∠DAF=∠ABE=90°,∵AF=BE,∴△DAF≌△ABE(SAS).(2)AE=DF,AE⊥DF,理由如下:由(1)得△DAF≌△ABE,∴DF=AE,∠ADF=∠BAE,∵∠DAO+∠BAE=90°,∴∠DAO+∠ADF=90°,∴∠DOA=90°,∴AE⊥DF.素养探究全练14.解析　(1)证明:如图,连结DC,∵△ABC和△BDE都是等边三角形,∴AB=BC,BE=BD,∠ABC=∠DBE=∠E=∠BDE=60°,∴∠ABC-∠ABD=∠DBE-∠ABD,即∠CBD=∠ABE,∴△CBD≌△ABE(SAS),∴CD=AE,∠BDC=∠E=60°,∴∠ADC=∠BDE+∠BDC=120°,∴△ADC为钝角三角形,∴以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形.(2)①以AE、AG、AC为边的三角形是直角三角形,理由如下:如图,连结CG,∵四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形,∴AB=CB,BE=BG,∠ABC=∠BCD=∠EBG=∠BGF=90°,∠EGB=∠GEB=45°,∴∠ABC-∠ABG=∠EBG-∠ABG,即∠CBG=∠ABE,∴△CBG≌△ABE(SAS),∴CG=AE,∠CGB=∠AEB=45°,∴∠AGC=∠EGB+∠CGB=45°+45°=90°,∴△ACG是直角三角形,∴以AE、AG、AC为边的三角形是直角三角形.②由①可知CG=AE,∠AGC=90°,∴CG2+AG2=AC2,∴AE2+AG2=AC2,∵AE2+AG2=10,∴AC2=10,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=90°,∴AB2+BC2=AC2=10,∴AB2=5,∴S正方形ABCD=AB2=5.