2021届二轮复习 第一讲函数的图象与性质 课时作业（全国通用） 练习

第一讲 函数的图象与性质

1．(2020·资阳模拟)函数f(x)＝的定义域为(　　)

A．(0,1]　　　 B.

C. D．[2，＋∞)

解析：由x－1≥0，得x≥1，

∴0<x≤.

函数f(x)＝的定义域为.

故选B.

答案：B

2．(2020·北京朝阳期末乌鲁木齐第一次诊断)曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为(　　)

A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0

C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0

解析：设y＝f(x)＝2sin x＋cos x，则f′(x)＝2cos x－sin x，

∴f′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.

故选C.

答案：C

3．(2020·郑州模拟)函数f(x)＝sin x2＋cos x的部分图象符合的是(　　)

解析：函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，f(0)＝sin 0＋cos 0＝1，排除C，

f＝sin ＋cos ＝sin>0，排除A，D，故选B.

答案：B

4．(2020·湛江一模)已知函数g(x)＝f(2x)－x2为奇函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝(　　)

A．－2 B．－1

C．1 D．2

解析：∵g(x)为奇函数，且f(2)＝1，

∴g(－1)＝－g(1)，

∴f(－2)－1＝－f(2)＋1＝－1＋1，

∴f(－2)＝1.

故选C.

答案：C

5．(2020·烟台一模)函数f(x)是定义在R上的奇函数，f＝1，当x<0时，f(x)＝log2(－x)＋m，则实数m＝(　　)

A．－1 B．0

C．1 D．2

解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，f＝1，且x<0时，f(x)＝log2(－x)＋m；

∴f＝log2＋m＝－2＋m＝－1；

∴m＝1.

故选C.

答案：C

6．(2020·成都模拟)已知定义域为R的奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且当0≤x≤1时，f(x)＝x3，则f＝(　　)

A．－ B．－

C. D.

解析：∵f(x)是奇函数，且图象关于x＝1对称；

∴f(2－x)＝f(x)；

又0≤x≤1时，f(x)＝x3；

∴f＝f＝f＝－f＝－.

故选B.

答案：B

7．(2020·梧州一模)函数f(x)＝(e是自然对数的底数)的图象大致为(　　)

解析：f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，

则函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除B，C.

当x>1时，f(x)>0，排除D，

故选A.

答案：A

8．(2020·兰州模拟)已知函数f(x)＝x·ln ，a＝f，b＝f，c＝f，则以下关系成立的是(　　)

A．c<a<b B．c<b<a

C．a<b<c D．a<c<b

解析：根据题意，函数f(x)＝x·ln，有>0，解可得－1<x<1，即函数的定义域为(－1,1)，

又由f(－x)＝(－x)ln＝x·ln ＝f(x)，则函数f(x)为偶函数；

当 x∈(0,1)时，y＝x与y＝ln 都是增函数且都有y>0成立，则f(x)在(0,1)上为增函数，

a＝f＝f，b＝f，c＝f，

又由<<，则有c<a<b；

故选A.

答案：A

9．(2020·武侯区校级模拟)已知函数f(x)为R上的偶函数，当x≥0时，f(x)单调递减，若f(2a)>f(1－a)，则a的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

解析：根据题意，函数f(x)为R上的偶函数，

当x≥0时，f(x)单调递减，

则f(2a)>f(1－a)⇒f(|2a|)>f(|1－a|)⇒|2a|<|1－a|，

解可得：－1<a<，

即a的取值范围为；

故选C.

答案：C

10．(2020·聊城一模)设函数f(x)＝＋a，若f(x)为奇函数，则不等式f(x)>1的解集为(　　)

A．(0,1) B．(－∞，ln 3)

C．(0，ln 3) D．(0,2)

解析：根据题意，函数f(x)＝＋a，其定义域为{x|x≠0}．

若f(x)为奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0，

即＋＝－1＋2a＝0，解可得a＝，

则f(x)＝＋

由f(x)>1得＋>1，

－>0，

>0，

<0，

(ex－3)(ex－1)<0

1<ex<3，

解得0＝ln 1<x<ln 3，

所以解集为(0，ln 3)．故选C.

答案：C

11．(2020·江门一模)能把圆x2＋y2＝9的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为周易函数．已知函数：①y＝；②y＝－；③y＝tan x；④y＝sin x＋cos x，在这些函数中，周易函数是(　　)

A．①② B．①③

C．③④ D．②③

解析：由题意可得，“周易函数”能把圆x2＋y2＝9的周长和面积同时分为相等的两部分，

则其图象经过圆心(0,0)，且是奇函数；

据此依次分析选项：

对于①，y＝为奇函数，但不过原点，不符合题意；

对于②，y＝－，有f(0)＝0，过原点，

且f(－x)＝－＝－＝－f(x)，为奇函数，符合题意；

对于③，y＝tan x，为正切函数，过原点且是奇函数，符合题意；

对于④，y＝sin x＋cos x＝sin，不经过原点，不符合题意；

则②③是周易函数；

故选D.

答案：D

12．(2020·北镇市校级月考)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2，已知函数f(x)＝－，则关于函数g(x)＝[f(x)]的叙述正确的是(　　)

A．g(x)是偶函数

B．g(x)是奇函数

C．g(x)的值域是{－1,0,1}

D．g(x)的值域是{－1,0}

解析：根据题意，f(x)＝－，则f(－x)＝－＝－，

则f(x)≠f(－x)且－f(x)≠f(－x)，则函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，A、B错误；

函数f(x)＝－＝－，

又由ex>0，则1＋ex>1，

则有－<f(x)<，

则g(x)＝[f(x)]＝{－1,0}，C错误，D正确；

故选D.

答案：D

13．(2020·北京朝阳期末乌鲁木齐第一次诊断)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax.若f(ln 2)＝8，则a＝________.

解析：设x＞0，则－x＜0.

∵当x＜0时，f(x)＝－eax，∴f(－x)＝－e－ax.

∵f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝e－ax，

∴f(ln 2)＝e－aln 2＝(eln 2)－a＝2－a.

又∵f(ln 2)＝8，∴2－a＝8，∴a＝－3.

答案：－3

14．(2020·山东潍坊模拟)已知奇函数f(x)满足对任意的x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，且f(1)＝1，f(2)＝2，则f(2 017)＋f(2 018)＝________.

解析：因为f(x＋6)＝f(x)＋f(3)，所以当x＝－3时，有f(3)＝f(－3)＋f(3)，即f(－3)＝0，又f(x)为奇函数，所以f(3)＝0，所以f(x＋6)＝f(x)，函数f(x)是以6为周期的周期函数，f(2 017)＋f(2 018)＝f(336×6＋1)＋f(336×6＋2)＝f(1)＋f(2)＝3.

答案：3

15．如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点，设顶点P(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则对函数y＝f(x)有下列判断：①函数y＝f(x)是偶函数；②对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(x－2)；③函数y＝f(x)在区间[2,3]上单调递减；④函数y＝f(x)在区间[4,6]上是减函数．其中判断正确的序号是________．

解析：如图，从函数y＝f(x)的图象可以判断出，图象关于y轴对称，每4个单位图象重复出现一次，在区间[2,3]上，随x增大，图象是往上的，在区间[4,6]上图象是往下的，所以①②④正确，③错误．

答案：①②④

16．(2020·济宁模拟)已知函数f(x)＝min{2，|x－2|}，其中min{a，b}＝若动直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，且它们的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1·x2·x3的最大值是________．

解析：因为函数f(x)＝min{2，|x－2|}

＝

作出其大致图象如图所示，若直线y＝m与函数f(x)的图象有三个不同的交点，则0<m<2(－1)．不妨设x1<x2<x3，则易知2＝m，所以x1＝；同理，2－x2＝m，所以x2＝2－m；x3－2＝m，所以x3＝2＋m，所以x1·x2·x3＝(2－m)(m＋2)＝≤2＝1，当且仅当m2＝4－m2，即m＝时取等号．

答案：1