2021届二轮复习 三角函数的图象及性质 课时作业（全国通用） 练习

第1讲 三角函数的图象及性质

A级——北京朝阳期末保分练

1．(2020·徐州调研)若函数f(x)＝2tan的最小正周期T满足1<T<2，则自然数k的值为________．

解析：由题意得，1<<2，所以k<π<2k，即<k<π，又k∈Z，所以k＝2或3.

答案：2或3

2．将函数y＝sin的图象向左平移个单位后，得到函数f(x)的图象，则f＝________.

解析：∵f(x)＝sin＝sin，∴f＝sin ＝.

答案：

3．(2020·苏州期末)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)的一条对称轴是x＝－，则φ＝________.

解析：因为函数f(x)的一条对称轴是x＝－，

所以2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，

则φ＝kπ＋，k∈Z，

又因为0≤φ<π，所以φ＝.

答案：

4．若函数f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值为1，则ω＝________.

解析：因为0<ω<1,0≤x≤，所以0≤ωx<.所以f(x)在区间上单调递增，则f(x)max＝f＝2sin ＝1，即sin ＝.又0≤ωx<，所以＝，解得ω＝.

答案：

5．设函数f(x)＝cos(ω>0)．若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．

解析：∵f(x)≤f对任意的实数x都成立，

∴f＝1，

∴·ω－＝2kπ，k∈Z，整理得ω＝8k＋，k∈Z.

又ω>0，∴当k＝0时，ω取得最小值.

答案：

6．将函数y＝2sin·sin的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数，则φ的最小值为________．

解析：由y＝2sinsin可得y＝2sincos＝sin，该函数的图象向左平移φ个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为g(x)＝sin2(x＋φ)＋＝sin，因为g(x)＝sin为奇函数，所以2φ＋＝kπ(k∈Z)，φ＝－(k∈Z)，又φ>0，故φ的最小值为.

答案：

7.若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图所示，则f(2 019)的值为________．

解析：由题图易知，函数f(x)的最小正周期T＝4×＝6，所以ω＝＝，所以f(x)＝Asin，将(0,1)代入，可得Asin φ＝1，所以f(2 019)＝f(6×336＋3)＝f(3)＝Asin×3＋φ＝－Asin φ＝－1.

答案：－1

8．(2020·启东检测)已知函数f(x)＝sin x－sin 3x，x∈[0,2π]，则f(x)的所有零点之和等于________．

解析：f(x)＝sin x－sin 3x＝sin(2x－x)－sin(2x＋x)＝－2cos 2xsin x，令f(x)＝0，可得cos 2x＝0或sin x＝0，∵x∈[0,2π]，∴2x∈[0,4π]，由cos 2x＝0可得2x＝或2x＝或2x＝或2x＝，∴x＝或x＝或x＝或x＝，由sin x＝0可得x＝0或x＝π或x＝2π，∵＋＋＋＋0＋π＋2π＝7π，∴f(x)的所有零点之和等于7π.

答案：7π

9.如图，已知A，B分别是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB＝，则该函数的最小正周期是________．

解析：设函数f(x)的最小正周期为T，由图象可得A，B，则·＝－3＝0，解得T＝4.

答案：4

10．已知ω>0，在函数y＝sin ωx与y＝cos ωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则ω的值为________．

解析：令sin ωx＝cos ωx，得sin ωx－cos ωx＝sinωx－＝0，所以ωx－＝kπ，k∈Z，即x＝·.如图，当k＝0时，x1＝，y1＝；当k＝1时，x2＝，y2＝－.由勾股定理，得(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝()2，即2＋2＝3.化简得ω2＝π2.又ω>0，所以ω＝π.

答案：π

11．(2017·浙江北京朝阳期末)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)．

(1)求f的值；

(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．

解：(1)由题意，f(x)＝－cos 2x－sin 2x

＝－2＝－2sin，

故f＝－2sin＝－2sin ＝2.

(2)由(1)知f(x)＝－2sin.

则f(x)的最小正周期是π.

由正弦函数的性质

令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，

解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．

12.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈[0，π))的图象如图所示．

(1)求f(x)的解析式；

(2)求函数g(x)＝f(x)＋f(x＋2)在x∈[－1,3]上的最大值和最小值．

解：(1)由图可得A＝3，f(x)的周期为8，

则＝8，即ω＝.

f(－1)＝f(3)＝0，则f(1)＝3，所以sin＝1，

即＋φ＝＋2kπ，k∈Z.又φ∈[0，π)，故φ＝.

综上所述，f(x)的解析式为f(x)＝3sin.

(2)g(x)＝f(x)＋f(x＋2)

＝3sin＋3sin

＝3sin＋3cos

＝6

＝6sin.

当x∈[－1,3]时，x＋∈.

故当x＋＝，即x＝－时，sin取得最大值1，则g(x)的最大值为g＝6；

当x＋＝，即x＝3时，sin取得最小值－，则g(x)的最小值为g(3)＝6×＝－3.

B级——难点突破练

1．(2020·苏北三市期末)将函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则以函数f(x)与g(x)的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为________．

解析：平移后的函数g(x)＝sin.

令f(x)＝g(x)，得sin 2x＝sin.

法一：2x－＝π－2x＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋(k∈Z)，相邻的三个交点为，，.故所求面积为S＝×π×＝π.

法二：sin 2x＝sin＝sin 2xcos－cos 2x·sin＝sin 2x－cos 2x，即sin＝0，则有2x＋＝kπ(k∈Z)，x＝－＋(k∈Z)，相邻的三个交点为，，.

则所求面积S＝×π×＝π.

答案：π

2．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，|φ|≤，－为f(x)的零点，且f(x)≤恒成立，f(x)在区间上有最小值无最大值，则ω的最大值是________．

解析：因为－为f(x)的零点，x＝是y＝f(x)图象的对称轴，所以－＝＋T(k∈N)，即＝T(k∈N)，则＝·，所以ω＝2k＋1(k∈N)．又因为f(x)在上有最小值无最大值，所以－＝≤T＝，所以ω≤16，所以ω的最大值为15.

答案：15

3．已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x.

(1)求f(x)的最小正周期和最大值；

(2)讨论f(x)在，上的单调性．

解：(1)f(x)＝sinsin x－cos2x

＝cos xsin x－(1＋cos 2x)

＝sin 2x－cos 2x－

＝sin－，

因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.

(2)当x∈，时，0≤2x－≤π，

从而当0≤2x－≤，

即≤x≤时，f(x)单调递增，

当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减．

综上可知，f(x)在，上单调递增，在，上单调递减．

4．已知函数f(x)＝4sincos x＋.

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

(2)若函数g(x)＝f(x)－m在0，上有两个不同的零点x1，x2，求实数m的取值范围，并计算tan(x1＋x2)的值．

解：(1)f(x)＝4sincos x＋

＝4cos x＋

＝2sin xcos x－2cos2x＋

＝sin 2x－cos 2x

＝2sin.

所以f(x)的最小正周期T＝π.

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，

得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．

所以函数f(x)的单调递增区间为

kπ－，kπ＋(k∈Z)．

(2)方程g(x)＝0等价于f(x)＝m，

在平面直角坐标系中画出函数f(x)＝2sin在0，上的图象，如图所示，由图象可知，

当且仅当m∈[，2)时，方程f(x)＝m有两个不同的解x1，x2，且x1＋x2＝2×＝，

故tan(x1＋x2)＝tan＝－tan＝－.