2021届二轮复习 三角函数的图象和性质文 作业（全国通用） 练习

专题限时集训(一)　三角函数的图象和性质

[专题通关练]

(建议用时：30分钟)

1．已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝(　　)

A．－1　　　　B．－　　　　C.　　　　 D．1

A　[由得2cos2α＋2cos α＋1＝0，

即(cos α＋1)2＝0，∴cos α＝－.

又α∈(0，π)，∴α＝，∴tan α＝tan ＝－1.]

2．函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为(　　)

A．4  B．5  C．6  D．7

B　[f(x)＝1－2sin2x＋6sin x＝－22＋，当sin x＝1时，f(x)取得最大值5，故选B.]

3．(2020·长沙模拟)已知将函数f(x)＝tan(2＜ω＜10)的图象向右平移个单位之后与f(x)的图象重合，则ω＝(　　)

A．9  B．6  C．4  D．8

B　[将函数f(x)＝tan(2＜ω＜10)的图象向右平移个单位后得函数y＝tan＝tan的图象，结合题意得－＝kπ，k∈Z，即ω＝－6k，k∈Z.因为2＜ω＜10，所以ω＝6.]

4．[一题多解]已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象在y轴左侧且离y轴最近的最高点为，最低点为，则函数f(x)的解析式为(　　)

A．f(x)＝3sin

B．f(x)＝3sin

C．f(x)＝3sin

D．f(x)＝3sin

A　[法一：设函数f(x)的最小正周期为T，根据相邻最高点与最低点的横坐标的关系，有＝－－＝，∴T＝π，∴|ω|＝＝2.又由三角函数图象最高点的纵坐标为3，得A＝3，∴f(x)＝3sin(2x＋φ)或f(x)＝3sin(－2x＋φ)．将点代入函数f(x)＝3sin(2x＋φ)中，得3sin＝3，解得φ－＝2kπ＋(k∈Z)，即φ＝2kπ＋π(k∈Z)，而|φ|＜，∴φ无解；将点代入函数f(x)＝3sin(－2x＋φ)中，得3sin＝3，解得φ＋＝2kπ＋(k∈Z)，即φ＝2kπ＋(k∈Z)，又|φ|＜，∴φ＝，即f(x)＝3sin.故选A.

法二：将x＝－代入函数f(x)＝3sin中，得f(x)＝3，即点在函数f(x)＝3sin的图象上；将x＝－代入函数f(x)＝3sin中，得f(x)＝－3，即点不在函数f(x)＝3sin的图象上；将x＝－代入函数f(x)＝3sin中，得f(x)＝，即点不在函数f(x)＝3sin的图象上，将x＝－代入函数f(x)＝3sin中，得f(x)＝－，即点不在函数f(x)＝3sin的图象上．故选A.]

5．已知函数f(x)＝cos(x＋θ)(0＜θ＜π)在x＝时取得最小值，则f(x)在[0，π]上的单调递增区间是(　　)

A.   B.

C.   D.

A　[因为0＜θ＜π，所以＜＋θ＜，又f(x)＝cos(x＋θ)在x＝时取得最小值，所以＋θ＝π，θ＝，所以f(x)＝cos.由0≤x≤π，得≤x＋≤.由π≤x＋≤，得≤x≤π，所以f(x)在[0，π]上的单调递增区间是，故选A.]

6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意的x都有f＝f，则f＝________.

±2　[函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意的x都有f＝f，则其图象的对称轴为x＝，所以f＝±2.]

7．[一题多解](2017·北京北京朝阳期末)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝，则cos(α－β)＝________.

－　[法一：由已知得β＝(2k＋1)π－α(k∈Z)．

∵sin α＝，∴sin β＝sin[(2k＋1)π－α]＝sin α＝(k∈Z)．

当cos α＝＝时，cos β＝－，

∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.

当cos α＝－＝－时，cos β＝，

∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.

综上，cos(α－β)＝－.

法二：由已知得β＝(2k＋1)π－α(k∈Z)．

∴sin β＝sin[(2k＋1)π－α]＝sin α，cos β＝cos[(2k＋1)π－α]＝－cos α，k∈Z.

当sin α＝时，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－cos2α＋sin2α＝－(1－sin2α)＋sin2α＝2sin2α－1＝2×－1＝－.]

8．(2020·桂林模拟)若函数f(x)＝2sin ωx(0＜ω＜1)在区间上的最大值为1，则ω＝________.

　[因为0＜ω＜1,0≤x≤，所以0≤ωx＜.所以f(x)在区间上单调递增，则f(x)max＝f＝2sin＝1，即sin＝.又0≤ωx＜，所以＝，解得ω＝.]

[能力提升练]

(建议用时：15分钟)

9．函数f(x)＝2sin2－cos 2x的最大值为(　　)

A．2   B．3

C．2＋   D．2－

B　[f(x)＝1－cos 2－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＋1＝2sin＋1，可得f(x)的最大值是3.]

10．[易错题](2020·西安模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则

A．f(x)的图象关于直线x＝－对称

B．f(x)的图象关于点对称

C．若方程f(x)＝m在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(－2，－]

D．将函数y＝2sin的图象向左平移个单位长度得到函数f(x)的图象

C　[根据题中所给的图象，可知函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin，∴2×＋＝－π，从而f(x)的图象关于点对称，而不是关于直线x＝－对称，故A不正确；2×＋＝－，∴f(x)的图象关于直线x＝－对称，而不是关于点对称，故B不正确；当x∈时，2x＋∈，结合正弦函数图象的性质，可知若方程f(x)＝m在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(－2，－]，故C正确；根据图象平移变换的法则，可知应将y＝2sin的图象向左平移个单位长度得到f(x)的图象，故D不正确．故选C.]

11．已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)．

(1)求f的值；

(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．

[解]　(1)由sin＝，cos＝－，

f＝2－2－2××，

得f＝2.

(2)由cos 2x＝cos2x－sin2x与sin 2x＝2sin xcos x得

f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin.

所以f(x)的最小正周期是π.

由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，

解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.

所以，f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．

12．设函数f(x)＝sin＋sin，其中0＜ω＜3，已知f＝0.

(1)求ω；

(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．

[解]　(1)因为f(x)＝sin＋sin，

所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx

＝sin ωx－cos ωx

＝

＝sin.

由题设知f＝0，

所以－＝kπ，k∈Z，

故ω＝6k＋2，k∈Z.又0＜ω＜3，所以ω＝2.

(2)由(1)得f(x)＝sin，

所以g(x)＝sin

＝sin.

因为x∈，所以x－∈，

当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－.

【押题1】　设函数f(x)＝sin，下列结论中正确的是(　　)

A．f(x)的最大值等于2

B．f(x)在区间上单调递增

C．f(x)的图象关于直线x＝－对称

D．f(x)的图象关于点对称

C　[由正弦函数的性质可以得到f(x)的最大值等于，所以选项A是错误的；

计算可得函数f(x)的最小正周期为π，f(x)在区间上先增后减，所以选项B是错误的；

结合图象(图略)并分析可知，当x＝－时，f(x)取得最小值，f(x)的图象关于直线x＝－对称，故选项C是正确的；

分析可知，x＝不是f(x)的零点，所以选项D是错误的．故选C.]

【押题2】　[新题型]如图所示，函数y＝sin(ωx－1)(0＜ω＜2)的图象与x轴交于点P，将函数的图象平移|m|个单位长度后得到函数y＝cos ωx的图象，则ω＝________，|m|的最小值为________．

　1＋　[将点P代入y＝sin(ωx－1)，得sin＝0，又0＜ω＜2，解得ω＝，所以y＝sin的最小正周期是4.

将y＝sin的图象向左平移个单位长度，

得sin＝cosx，而且此时平移的距离最短．]