2021届二轮复习 三角函数的图象与性质 课时作业（全国通用） 练习

第1讲 三角函数的图象与性质

限时40分钟　满分80分

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．(2020·南昌段考)已知角θ的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点M(－3,4)，则cos2θ－sin2θ＋tan θ的值为(　　)

A．－　　　　　　　　 B.

C．－  D.

解析：A　[设O为坐标原点，则由已知得|OM|＝5，因而cos θ＝－，sin θ＝，tan θ＝－，则cos2θ－sin2θ＋tan θ＝－－＝－.]

2．(2020·青岛三模)如图①，这个美妙的螺旋叫做特奥多鲁斯螺旋，是由公元5世纪古希腊哲学家特奥多鲁斯给出的，螺旋由一系列直角三角形组成，如图②，第一个三角形是边长为1的等腰直角三角形，以后每个直角三角形以上一个三角形的斜边为直角边，另一条直角边为1.将这些直角三角形在公共顶点处的角依次记为α1，α2，α3，…，则与α1＋α2＋α3＋α4最接近的角是(　　)

参考值：tan 55°≈1.428，tan 60°≈1.732，tan 65°≈2.145，≈1.414

A．120°  B．130°

C．135°  D．140°

解析：C　[由题意可得，α1，α2，α3，α4都是锐角，且α1＝45°，tan α2＝＝，tan α3＝＝，所以α3＝30°，tan α4＝＝，所以α1＋α3＝75°.又tan(α2＋α4)＝＝≈1.87，接近tan 60°，故α2＋α4接近60°，故与α1＋α2＋α3＋α4最接近的角是135°.]

3．(2020·东营模拟卷)函数f(x)＝的最小正周期为(　　)

A.   B.

C．π  D．2π

解析：C　[由已知得f(x)＝＝＝＝sin x·cos x＝sin 2x，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π，故选C.]

4．(2020·成都二诊)将函数y＝2sinsin的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数，则φ的最小值为(　　)

A.   B.

C.  D.

解析：A　[由y＝2sinsin可得y＝2sincos＝sin，该函数的图象向左平移φ个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为g(x)＝sin＝sin，因为g(x)＝sin为奇函数，所以2φ＋＝kπ(k∈Z)，φ＝－(k∈Z)，又φ＞0，故φ的最小值为，选A.]

5．(2020·广州模拟)已知函数f(x)＝sin(ω＞0)在区间上单调递增，则ω的取值范围为(　　)

A.   B.

C.  D.

解析：B　[通解：因为x∈，所以ωx＋∈，因为函数f(x)＝sin(ω＞0)在区间上单调递增，所以又ω＞0，所以0＜ω≤，选B.

优解：取ω＝1，f＝sin＝－sin＜0，f＝sin＝sin＝1，f＝sin＝sin＝，不满足题意，排除A，C，D，选B.]

6．(2020·洛阳统考)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)的图象关于直线x＝0对称，则y＝f(x)在的值域为(　　)

A．[－，0]  B．[－2,0]

C．(－，0)  D．(－2,0)

解析：A　[由题意得函数f(x)＝2sin，因为其图象关于直线x＝0对称，所以2×0＋＋φ＝＋kπ(k∈Z)，即φ＝＋kπ(k∈Z)，又|φ|＜，所以φ＝，f(x)＝2sin＝2cos 2x.当≤x≤时，≤2x≤，所以y＝f(x)在上的值域为[－，0]．]

7．(2020·天津卷)将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　　)

A．在区间上单调递增

B．在区间上单调递减

C．在区间上单调递增

D．在区间上单调递减

解析：A　[由函数图象平移变换的性质可知：

将y＝sin 的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：

y＝sin＝2sin x.

则函数的单调递增区间满足：2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，

即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z) ，

令k＝1可得一个单调递增区间为：.

函数的单调递减区间满足：2kπ＋≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，

即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z) ，

令k＝1可得一个单调递减区间为：.本题选择A选项．]

8．(2020·贵阳监测)函数f(x)＝Asin(ω＞0)的图象与x轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，若要得到函数g(x)＝Asin ωx的图象，只要将f(x)的图象(　　)

A．向左平移个单位  B．向右平移个单位

C．向左平移个单位  D．向右平移个单位

解析：D　[正弦函数图象与x轴相邻交点横坐标相差为半个周期，即d＝＝，又因为d＝，所以ω＝2，则f(x)＝Asin＝Asin，所以只要将函数f(x)的图象向右平移个单位就能得到g(x)＝sin ωx的图象．]

9.

(2020·德州三模)如图是函数f(x)＝Asin(2x＋φ)图象的一部分，对不同的x1，x2∈[a，b]，若f(x1)＝f(x2)，有f(x1＋x2)＝，则(　　)

A．f(x)在区间内单调递增

B．f(x)在区间内单调递减

C．f(x)在区间内单调递增

D．f(x)在区间内单调递减

解析：A　[根据图象得出：A＝2，对称轴方程为x＝，所以2sin(x1＋x2＋φ)＝2⇒x1＋x2＋φ＝，

所以x1＋x2＝－φ，因为f(x1＋x2)＝，

所以2sin＝，即sin(π－φ)＝，因为|φ|≤，所以φ＝，所以f(x)＝2sin，因为－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，所以－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即为f(x)的单调递增区间．]

10．(2020·辽宁省五校协作体联考)设ω＞0，将函数y＝2cos的图象向右平移个单位长度后与函数y＝2sin的图象重合，则ω的最小值是(　　)

A.   B.

C.  D.

解析：C　[通解　将函数y＝2cos的图象向右平移个单位长度后，得y＝2cos的图象，由已知得2cos＝2sin，所以cos＝sin，当ω＝时，cos＝cos≠sin；当ω＝时，cos＝cos≠sin；当ω＝时，cos＝cos＝sin，所以ω的最小值为.故选C.

优解　将函数y＝2cos的图象向右平移个单位长度后，得y＝2cos＝2cos的图象，由已知得cos＝sin，所以sin＝sin，所以＋＋2kπ＝ωx＋，k∈Z，所以ω＝＋10k，k∈Z，又ω＞0，所以ω的最小值为.故选C.]

11．(多选题)在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点P(－1，m)(m>0)，则下列各式的值一定为负的是(　　)

A．sin α＋cos α  B．sin α－cos α

C．sin αcos α  D.

解析：CD　[本题考查三角函数定义的应用及三角函数值符号的判断．由已知得r＝|OP|＝，则sin α＝>0，cos α＝－<0，tan α＝－m<0，

∴sin x＋cos α的符号不确定，sin α－cos α>0，sin αcos α<0，＝cos α<0.故选CD.]

12．(2020·东营模拟卷)设函数f(x)＝sin(ω＞0)，已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：

①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点；②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点；

③f(x)在单调递增；④ω的取值范围是.

其中所有正确结论的编号是(　　)

A．①④  B．②③

C．①②③  D．①③④

解析：

D　[∵f(x)＝sin(ω＞0)，在[0,2π]有且仅有5个零点．∴0≤x≤2π，≤ωx＋≤2πω＋，5π≤2πω＋＜6π，≤ω＜，④正确．如图x1，x2，x3为极大值点为3个，①正确；极小值点为2个或3个. ②不正确．

当0＜x＜时，＜ωx＋＜＋，当ω＝时，＋＝＋＝＜.

∴③正确，故选D.]

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．(2020·东营模拟卷)函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________．

解析：∵f(x)＝sin－3cos x＝－cos 2x－3cos x，

∴f(x)min＝－4.

答案：－4

14．(2020·吉林三模)将函数f(x)＝2cos 2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是____________．

解析：由题意可知，函数f(x)在区间和上均单调递增，根据f(x)＝2cos 2x的图象可知，－≤0且≤2a－≤π，解得≤a≤.

答案：

15．(2020·北京卷)设函数f(x)＝cos (ω>0)．若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．

解析：本题考查三角函数．∵f(x)≤f对任意x∈R恒成立，∴f为f(x)的最大值，∴f＝cos ＝1，∴ω－＝2kπ，解得ω＝8k＋，k∈Z，又∵ω>0，∴ω的最小值为.

答案：

16．(2020·烟台三模)函数f(x)＝的图象与函数g(x)＝2sinx(0≤x≤4)的图象的所有交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则f(y1＋y2＋…＋yn)＋g(x1＋x2＋…＋xn)＝________.

解析：如图，画出函数f(x)和g(x)的图象，可知有4个交点，并且关于点(2,0)对称，所以y1＋y2＋y3＋y4＝0，x1＋x2＋x3＋x4＝8，所以f(y1＋y2＋y3＋y4)＋g(x1＋x2＋x3＋x4)＝f(0)＋g(8)＝＋0＝.

答案：