2021届二轮复习 函数的图象与性质 课时作业（全国通用） 练习

第15讲 函数的图象与性质

A级——北京朝阳期末保分练

1．函数f(x)＝ln(1－)的定义域为________．

解析：由题意可得解得2<x≤3.

答案：(2,3]

2．已知函数f(x)＝－x2＋2x＋1的定义域为[0,3]，则f(x)的值域为________．

解析：f(x)＝－x2＋2x＋1在[0,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(3)＝－2，所以f(x)∈[－2,2]．

答案：[－2,2]

3．(2020·苏州暑假测试)已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(－1)＝________.

解析：因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，f(－1)＝－f(1)＝－(2－1)＝－1，因此f(0)＋f(－1)＝－1.

答案：－1

4．已知f(x)是奇函数，g(x)＝.若g(2)＝3，则g(－2)＝________.

解析：由题意可得g(2)＝＝3，

解得f(2)＝1.

又f(x)是奇函数，则f(－2)＝－1，

所以g(－2)＝＝＝－1.

答案：－1

5．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x)＝f(x＋4)，且当x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋，则f(log220)＝________.

解析：f(log220)＝f(log220－4)＝f，

∵1<<2，

∴0<log2<1，∴－1<－log2<0，

∴f(log220)＝－f＝－f＝－＝－1.

答案：－1

6．(2020·南京学情调研)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(－∞，0]上为单调增函数．若f(－1)＝－2，则满足f(2x－3)≤2的x的取值范围是________．

解析：函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(－∞，0]上为单调增函数，则在[0，＋∞)上也是单调增函数，所以f(x)在R上是单调增函数．由f(－1)＝－2得f(1)＝2，不等式f(2x－3)≤2⇔f(2x－3)≤f(1)，则2x－3≤1，解得x≤2.

答案：(－∞，2]

7．若f(x)是周期为2的奇函数，当x∈(0,1)时，f(x)＝x2－8x＋30，则f()＝________.

解析：∵f(x)是周期为2的奇函数，当x∈(0,1)时，f(x)＝x2－8x＋30＝(x－4)2＋14，∴f()＝f(－4)＝－f(4－)＝－[(4－－4)2＋14]＝－24.

答案：－24

8．(2020·泰州一检)若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.

解析：当a>1，则f(x)＝ax为增函数，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝，

此时g(x)＝－在[0，＋∞)上为减函数，不合题意．

当0<a<1，则f(x)＝ax为减函数，

有a－1＝4，a2＝m，此时a＝，m＝.

此时g(x)＝在[0，＋∞)上是增函数．故a＝.

答案：

9．已知函数f(x)对任意的x∈R都满足f(x)＋f(－x)＝0，f为偶函数，当0＜x≤时，f(x)＝－x，则f(2 018)＋f(2 019)＝________.

解析：依题意，f(－x)＝－f(x)，f＝f，所以f(x＋3)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝f(x)，所以f(2 018)＝f(2)＝f＝f＝f(1)＝－1，f(2 019)＝f(3)＝f(0)＝0，所以f(2 018)＋f(2 019)＝－1.

答案：－1

10．(2020·苏北三市期末)已知a，b∈R，函数f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则关于x的不等式f(2－x)>0的解集为________．

解析：f(x)＝(x－2)(ax＋b)＝ax2＋(b－2a)x－2b.因为函数f(x)是偶函数，所以b＝2a, 故f(x)＝ax2－4a.又函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以a<0.

f(2－x)＝a(2－x)2－4a>0，即(2－x)2<4，即－2<2－x<2，即0<x<4，故所求不等式的解集是(0,4)．

答案：(0,4)

11．已知函数f(x)＝，下列关于函数f(x)的研究：①y＝f(x)的值域为R；②y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递减；③y＝f(x)的图象关于y轴对称；④y＝f(x)的图象与直线y＝ax(a≠0)至少有一个交点．

其中，结论正确的序号是________．

解析：函数f(x)＝＝其图象如图所示，由图象知f(x)的值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，故①错误；在区间(0,1)和(1，＋∞)上单调递减，故②错误；

③y＝f(x)的图象关于y轴对称正确；

因为函数在每个象限都有图象，故④y＝f(x)的图象与直线y＝ax(a≠0)至少有一个交点正确．

答案：③④

12．(2020·南京六校联考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－x.若f(a)<4＋f(－a)，则实数a的取值范围是________．

解析：∵f(x)为奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)，

∴f(a)<4＋f(－a)可转化为f(a)<2，

作出函数f(x)的图象如图所示，

由图象可知a<2.

答案：(－∞，2)

B级——难点突破练

1．(2020·扬州中学开学考试)已知f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数，且当x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1，函数g(x)＝x2－2x＋m.如果∀x1∈[－2,2]，∃x2∈[－2,2]，使得g(x2)＝f(x1)，则实数m的取值范围是________．

解析：∵f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数，∴f(0)＝0，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1的值域为(0,3]，

∴当x∈[－2，2]时，f(x)的值域为[－3,3]．

若∀x1∈[－2,2]，∃x2∈[－2,2]，使得g(x2)＝f(x1)，

则g(x)max≥3且g(x)min≤－3，

∵g(x)＝x2－2x＋m＝(x－1)2＋m－1，

∴当x∈[－2,2]时，g(x)max＝g(－2)＝8＋m，g(x)min＝g(1)＝m－1，

故8＋m≥3且m－1≤－3，解得－5≤m≤－2.

答案：[－5，－2]

2．已知函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象关于y轴对称，当函数y＝f(x)和y＝g(x)在区间[a，b]上同时递增或者同时递减时，把区间[a，b]叫做函数y＝f(x)的“不动区间”，若区间[1,2]为函数f(x)＝|2x－t|的“不动区间”，则实数t的取值范围是________．

解析：因为函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称，所以g(x)＝f(－x)＝|2－x－t|.

因为区间[1,2]为函数f(x)＝|2x－t|的“不动区间”，

所以函数f(x)＝|2x－t|和函数g(x)＝|2－x－t|在[1,2]上单调性相同，

因为y＝2x－t和函数y＝2－x－t的单调性相反，

所以(2x－t)(2－x－t)≤0在[1,2]上恒成立，

即2－x≤t≤2x在[1,2]上恒成立，解得≤t≤2.

答案：

3．已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象过点(1,13)，且函数对称轴方程为x＝－.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)设函数g(x)＝·|x|，求g(x)在区间[t,2]上的最小值H(t)；

(3)探究：函数y＝f(x)的图象上是否存在这样的点，使它的横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由．

解：(1)因为f(x)＝x2＋bx＋c的对称轴方程为x＝－，所以b＝1.

又f(x)＝x2＋bx＋c的图象过点(1,13)，

所以1＋b＋c＝13，所以c＝11.

所以f(x)的解析式为f(x)＝x2＋x＋11.

(2)由(1)得，

g(x)＝(x－2) ·|x|＝

结合图象可知：当1≤t<2，g(x)min＝t2－2t；

当1－≤t<1，g(x)min＝－1；

当t<1－，g(x)min＝－t2＋2t.

综上，H(t)＝

(3)如果函数y＝f(x)的图象上存在符合要求的点，设为P(m，n2)，

其中m为正整数，n为自然数，

则m2＋m＋11＝n2，从而4n2－(2m＋1)2＝43，

即[2n＋(2m＋1)][2n－(2m＋1)]＝43.

注意到43是质数，且2n＋(2m＋1)＞2n－(2m＋1)，2n＋(2m＋1)＞0，

所以解得m＝10，n＝11，

因此，函数y＝f(x)的图象上存在符合要求的点，它的坐标为(10,121)．

4．已知函数f(x)＝＋.

(1)求函数f(x)的定义域和值域；

(2)设F(x)＝·[f2(x)－2]＋f(x)(a为实数)，求F(x)在a<0时的最大值g(a)；

(3)对(2)中g(a)，若－m2＋2pm＋≤g(a)对a<0时所有的实数a及p∈[－1,1]恒成立，求实数m的取值范围．

解：(1)由1＋x≥0且1－x≥0，得－1≤x≤1，

所以函数f(x)的定义域为[－1,1]．

又f2(x)＝2＋2∈[2,4]，

由f(x)≥0得值域为[，2]．

(2)令t＝f(x)＝＋，

则＝t2－1，

所以F(x)＝m(t)＝a＋t＝at2＋t－a，t∈[，2]．

由题意知g(a)即为函数m(t)＝at2＋t－a，t∈[，2]的最大值．

注意到直线t＝－是抛物线m(t)＝at2＋t－a的对称轴．

因为a<0时，函数y＝m(t)，t∈[，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，

①若t＝－∈(0，]，即a≤－，

则g(a)＝m()＝.

②若t＝－∈(，2]，即－<a≤－，

则g(a)＝m＝－a－.

③若t＝－∈(2，＋∞)，即－<a<0，

则g(a)＝m(2)＝a＋2.

综上，有g(a)＝

(3)易得g(a)min＝，

由－m2＋2pm＋≤g(a)对a<0恒成立，

即要使－m2＋2pm＋≤g(a)min＝恒成立⇒m2－2pm≥0，

令h(t)＝－2mp＋m2，

对所有的p∈[－1,1]，h(p)≥0成立，

只需

解得m≥2或m＝0或m≤－2，

故实数m的取值范围是(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．