2021届二轮复习 考点七函数的图象性质及应用 理 作业（全国通用） 练习

考点七　函数的图象、性质及应用

一、选择题
1．若幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则f(8)的值为(　　)
A．4 B．
C．2 D．1
答案　C
解析　设f(x)＝xn，由条件知f(4)＝2，所以2＝4n，n＝，所以f(x)＝x，f(8)＝8＝2.故选C.
2．(2020·北京海淀一模)若x0是函数f(x)＝log2x－的零点，则(　　)
A．－1 C．1 答案　C
解析　因为f(x)＝log2x－在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝－1，f(2)＝，即f(1)·f(2)＜0，所以1 3．(2020·贵州贵阳适应性考试)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是(　　)
A．y＝x3 B．y＝|x－1|
C．y＝|x|－1 D．y＝2x
答案　C
解析　对于A，y＝x3是奇函数，不符合题意；对于B，y＝|x－1|，是非奇非偶函数，不符合题意；对于C，y＝|x|－1，既是偶函数又是在(0，＋∞)上单调递增的函数，符合题意；对于D，y＝2x不是偶函数，不符合题意，故选C.
4．(2020·山东师大附中二模)设x，y，z为正数，且log2x＝log3y＝log5z>1，则下列关系式成立的是(　　)
A．<< B．<<
C．<< D．＝＝
答案　A
解析　由log2x＝log3y＝log5z>1，得log2＝log3＝log5>0，结合图象可得<<，故选A.
5．(2020·山东栖霞模拟)已知函数f(x)和f(x＋2)都是定义在R上的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x，则f＝(　　)
A．2 B．2
C． D．
答案　B
解析　因为f(x＋2)是定义在R上的偶函数，所以f(－x＋2)＝f(x＋2)，即f(x)＝f(4－x)，又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝f(4＋x)，所以函数周期T＝4，所以f＝f＝f(4×252＋1.5)＝f(1.5)＝2，故选B.
6．已知a>0，且a≠1，函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图象可能是(　　)

答案　C
解析　y＝logax与y＝ax单调性相同，排除B；对于A，由y＝logax和y＝ax的图象可知a>1，由y＝x＋a的图象知01，矛盾．C符合题意，故选C.
7．已知函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－3,0) B．(－∞，－3]
C．[－2,0] D．[－3,0]
答案　D
解析　当a＝0时，f(x)＝－3x＋1，满足题意；当a>0时，函数f(x)的图象在其对称轴右侧单调递增，不满足题意；当a<0时，函数f(x)的图象的对称轴为x＝－，∵函数f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递减，∴－≤－1，解得－3≤a<0.综上可知，实数a的取值范围是[－3,0]．
8．(2020·天津十二重点中学高三联考)已知定义在R上的函数f(x－1)的图象关于x＝1对称，且当x>0时，f(x)单调递减，若a＝f(log0.53)，b＝f(0.5－1.3)，c＝f(0.76)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．c>a>b B．b>a>c
C．a>c>b D．c>b>a
答案　A
解析　因为函数f(x－1)的图象关于x＝1对称，所以函数f(x)的图象关于x＝0对称，所以f(x)是定义在R上的偶函数，因为log0.53＝－log23∈(－2，－1)，0.5－1.3＝21.3>2,0.76∈(0,1)，所以0.760时，f(x)单调递减，所以f(0.76)>f(log23)>f(0.5－1.3)，即c>a>b.
二、填空题
9．(2020·玉溪模拟)函数f(x)＝的定义域为________．
答案　[3，＋∞)
解析　要使函数f(x)＝的解析式有意义，x需满足解得x∈[3，＋∞)．故函数f(x)＝的定义域为[3，＋∞)．
10．已知函数y＝4ax－9－1(a>0且a≠1)恒过定点A(m，n)，则logmn＝________.
答案　
解析　依题意知，当x－9＝0，即x＝9时，y＝4－1＝3，故定点为(9,3)，所以m＝9，n＝3，故logmn＝log93＝.
11．(2020·南通阶段测试)函数y＝log2(2x－x2)的单调递增区间为________．
答案　(0,1]
解析　由题意可知函数定义域为(0,2)，
将y＝log2(2x－x2)变形为y＝log2t和t＝2x－x2，可知x∈(0,1]时，t单调递增，又y＝log2t单调递增，可得y＝log2(2x－x2)的单调递增区间为(0,1]．
12．(2020·东北三省三校三模)若函数f(x)＝在(－∞，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________．
答案　(0,3]
解析　∵函数f(x)＝在(－∞，＋∞)上单调递增，∴
解得0 三、解答题
13．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若－1 解　(1)当x<0时，－x>0，
由题意知f(－x)＝loga(－x＋1)，
又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
∴当x<0时，f(x)＝loga(－x＋1)，
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝
(2)∵－1 ∴loga ①当a>1时，原不等式等价于解得a>2；
②当0 解得0 综上，实数a的取值范围为∪(2，＋∞)．
14．(2020·北京模拟)同学们，你们是否注意到：在雨后的清晨，沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷上空，横跨深涧的观光索道的电缆．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．下面我们来研究一类与悬链线有关的函数，这类函数的表达式为f(x)＝aex＋be－x(其中a，b是非零常数，无理数e＝2.71828…)．
(1)当a＝1，f(x)为偶函数时，求b；
(2)如果f(x)为R上的单调函数，请写出一组符合条件的a，b值；
(3)如果f(x)的最小值为2，求a＋b的最小值．
解　(1)当a＝1时，f(x)＝ex＋be－x，
∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
即e－x＋bex＝ex＋be－x，则b＝1.
(2)当a＝1，b＝－1时，f(x)＝ex－e－x为R上的单调递增函数．
(3)当ab≤0时，f(x)为单调函数，此时函数没有最小值，若f(x)有最小值为2，则必有a>0，b>0，
此时f(x)＝aex＋be－x≥2＝2＝2，
即＝1，∴ab＝1，
∴a＋b≥2＝2(当且仅当a＝b＝1时“＝”成立)，
即a＋b的最小值为2.

一、选择题
1．(2020·安徽A10联盟最后一卷)设a＝log23，b＝log45，c＝2 ，则(　　)
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．a>b>c
答案　A
解析　∵a＝log23＝log49>log45＝b，且c>2>a，
∴c>a>b，故选A.
2．(2020·河南郑州第三次质检)我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数f(x)＝的图象大致是(　　)

答案　D
解析　因为函数f(x)＝，4x－1≠0，∴x≠0.f(－x)＝＝≠f(x)，所以函数f(x)不是偶函数，故排除A，B；又因为f(3)＝，f(4)＝，∴f(3)>f(4)，而C中图象在x>0时是递增的，故排除C.故选D.
3．(2020·广东七校联考)给出四个函数，分别满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，②g(x＋y)＝g(x)·g(y)，③h(x·y)＝h(x)＋h(y)，④m(x·y)＝m(x)·m(y)．又给出四个函数的图象，那么正确的匹配方案可以是(　　)


A．①—甲，②—乙，③—丙，④—丁
B．①—乙，②—丙，③—甲，④—丁
C．①—丙，②—甲，③—乙，④—丁
D．①—丁，②—甲，③—乙，④—丙
答案　D
解析　①f(x)＝x，这个函数可使f(x＋y)＝f(x)＋f(y)成立，∵f(x＋y)＝x＋y，x＋y＝f(x)＋f(y)，∴f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，故①—丁．②寻找一类函数g(x)，使得g(x＋y)＝g(x)·g(y)，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)具有这种性质，令g(x)＝ax，g(y)＝ay，则g(x＋y)＝ax＋y＝ax·ay＝g(x)·g(y)，故②—甲．③寻找一类函数h(x)，使得h(x·y)＝h(x)＋h(y)，对数函数具有这种性质，令h(x)＝logax，h(y)＝logay，则h(x·y)＝loga(xy)＝logax＋logay＝h(x)＋h(y)，故③—乙．④令m(x)＝x2，这个函数可使m(xy)＝m(x)·m(y)成立，∵m(x)＝x2，∴m(x·y)＝(xy)2＝x2y2＝m(x)·m(y)，故④—丙．故选D.
4．(2020·山东威海二模)已知函数f(x)＝ln x＋ln (a－x)的图象关于直线x＝1对称，则函数f(x)的值域为(　　)
A．(0,2) B．[0，＋∞)
C．(－∞，2] D．(－∞，0]
答案　D
解析　∵函数f(x)＝ln x＋ln (a－x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(1＋x)＝f(1－x)，即ln (1－x)＋ln (a－1＋x)＝ln (1＋x)＋ln (a－1－x)，∴(1－x)(a－1＋x)＝(1＋x)(a－1－x)，整理得(a－2)x＝0恒成立，∴a＝2，∴f(x)＝ln x＋ln (2－x)，定义域为(0,2)．又f(x)＝ln x＋ln (2－x)＝ln (2x－x2)，∵0 5．设函数f(x)＝若对任意x∈[m，m＋1]不等式f(3m－2x) A．(－∞，－5) B．(－5，＋∞)
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
答案　A

解析　作出函数f(x)的大致图象如图所示：
由图象可知函数f(x)在R上单调递减，
∵f(3m－2x) ∴3m－2x>x＋m，即x ∵x∈[m，m＋1]，∴(m＋1) 6．若函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是(　　)
A．f(bx)≤f(cx) B．f(bx)≥f(cx)
C．f(bx)>f(cx) D．不能确定
答案　A
解析　由f(x＋1)＝f(1－x)知f(x)＝x2－bx＋c的对称轴为直线x＝1，故＝1，解得b＝2.由f(0)＝3，得c＝3.当x≥0时，3x≥2x≥1，f(3x)≥f(2x)；当x<0时，3x<2x<1，f(3x)>f(2x)．综上，f(cx)≥f(bx)．故选A.
7．若函数f(x)＝的值域为R，则f(2)的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　当x≤2时，f(x)∈[－1，＋∞)，依题意可得当x>2时，函数f(x)的取值必须包含(－∞，－1)，如图所示，可知函数在区间(2，＋∞)上单调递减，得0
8．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件该产品需另投入的成本为G(x)(单位：万元)，当年产量不足80千件时，G(x)＝x2＋10x；当年产量不小于80千件时，G(x)＝51x＋－1450.已知每件产品的售价为0.05万元．通过市场分析，该工厂生产的产品能全部售完，则该工厂在这一产品的生产中所获年利润的最大值是(　　)
A．1150万元 B．1000万元
C．950万元 D．900万元
答案　B
解析　∵每件产品的售价为0.05万元，
∴x千件产品的销售额为0.05×1000x＝50x万元．
①当0 ∴当x＝60时，L(x)取得最大值，且最大值为L(60)＝950万元；
②当x≥80时，L(x)＝50x－51x－＋1450－250＝1200－≤1200－2＝1200－200＝1000，当且仅当x＝，即x＝100时，L(x)取得最大值1000万元．
由于950<1000，∴当年产量为100千件时，该工厂在这一产品的生产中所获年利润最大，最大年利润为1000万元．故选B.
二、填空题
9．已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域为________．
答案　(0,2)
解析　由题意得∴
∴0 10．函数y＝2x－的值域是________．
答案　
解析　令t＝≥0，则x＝t2＋1.所以y＝2(t2＋1)－t＝2t2－t＋2＝22＋.因为t≥0，所以y≥.所以函数y＝2x－的值域是.
11．(2020·沈阳质检汉中第二次检测)已知函数f(x)＝方程f(x)－a＝0有三个实数解，则a的取值范围是________．
答案　(1,2)
解析　方程f(x)－a＝0有三个实数解，等价于函数y＝f(x)和y＝a图象有三个交点，因此先画出函数图象，如图，

通过图象可知当a∈(1,2)时，函数y＝f(x)和函数y＝a有三个交点，即a的取值范围是(1,2)．
12．(2020·河南鹤壁高中模拟二)已知函数f(x)＝(x2－4x)(ex－2－e2－x)＋x＋1在区间[－1,5]的值域为[m，M]，则m＋M＝________.
答案　6
解析　y＝(x2－4)(ex－e－x)＋x在[－3,3]上为奇函数，图象关于原点对称，又f(x)＝(x2－4x)(ex－2－e2－x)＋x＋1＝[(x－2)2－4](ex－2－e2－x)＋x－2＋3是将上述函数图象向右平移2个单位，并向上平移3个单位得到，所以f(x)图象关于(2,3)对称，则m＋M＝6.
三、解答题
13．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)．
(1)若f(x)的定义域和值域是[1，a]，求实数a的值；
(2)若f(x)在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．
解　(1)因为f(x)＝(x－a)2＋5－a2(a>1)，
所以f(x)在[1，a]上是减函数，
又f(x)的定义域和值域均为[1，a]，
所以即解得a＝2.
(2)因为f(x)在(－∞，2]上是减函数，所以a≥2，
又x＝a∈[1，a＋1]，
且(a＋1)－a≤(a＋1)－2＝a－1，
所以f(x)max＝f(1)＝6－2a，
f(x)min＝f(a)＝5－a2，
因为对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，
总有|f(x1)－f(x2)|≤4，所以f(x)max－f(x)min≤4，
即(6－2a)－(5－a2)≤4，解得－1≤a≤3，
又a≥2，所以2≤a≤3.
综上，实数a的取值范围是[2,3]．
14．(2020·山东淄博摸底考试)设函数f(x)＝kax－a－x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数，且f(1)＝.
(1)若f(m2＋2m)＋f(m－4)>0，求m的取值范围；
(2)若g(x)＝a2x＋a－2x－2mf(x)在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m的值．
解　(1)由题意，得f(0)＝0，即k－1＝0，解得k＝1，
经检验满足函数f(x)是奇函数，
由f(1)＝，得a－a－1＝，
解得a＝2或a＝－(舍去)，
所以f(x)＝2x－2－x为奇函数且是R上的单调递增函数，
由f(m2＋2m)＋f(m－4)>0，得
f(m2＋2m)>f(4－m)，所以
m2＋2m>4－m，解得m<－4或m>1.
(2)g(x)＝22x＋2－2x－2m(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－2m(2x－2－x)＋2，
令t＝2x－2－x，由x≥1，得t≥21－2－1＝，
又y＝t2－2mt＋2，对称轴t＝m，
①m≥时，ymin＝m2－2m2＋2＝－2，
解得m＝2(m＝－2舍去)；
②m<时，ymin＝－3m＋2＝－2⇒m＝>(舍去)．
所以m＝2.