2021届二轮复习 三角 函数的图象与性质文 作业(全国通用) 练习
展开专题过关检测(十) 三角函数的图象与性质
A级——“12+4”提速练
1.函数f(x)=的值域是( )
A.(-2,2) B.[-2,2]
C.(-1,3) D.[-1,3]
解析:选C 因为f(x)==2cos x+1,且x≠kπ,所以值域为(-1,3).
2.(2020·昆明诊断)在平面直角坐标系中,角α的始边与x轴的正半轴重合,终边与单位圆交于点P,则sin=( )
A. B.-
C. D.-
解析:选A 由题意,得sin α=,cos α=-,所以sin=sin αcos +cos αsin =.故选A.
3.已知函数f(x)=3sin的最小正周期为T,则将函数f(x)的图象向左平移个单位后,所得图象对应的函数为( )
A.y=-3sin B.y=-3cos
C.y=3sin D.y=3cos
解析:选D T==π,y=3sin=3sin=3cos,故选D.
4.(2020·广东七校联考)函数f(x)=tan的单调递增区间是( )
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
解析:选B 由-+kπ<-<+kπ,k∈Z,得2kπ-<x<2kπ+,k∈Z,则函数f(x)=tan的单调递增区间是,k∈Z,故选B.
5.已知向量a=,向量b=(1,1),函数f(x)=a·b,则下列说法正确的是( )
A.f(x)是奇函数
B.f(x)的一条对称轴为直线x=
C.f(x)的最小正周期为2π
D.f(x)在上为减函数
解析:选D 因为f(x)=a·b=sin4+cos4=2-2sin2cos2=1-sin2x=,
所以f(x)是偶函数,x=不是其对称轴,最小正周期为π,在上为减函数,故选D.
6.设ω>0,函数y=sin-1的图象向左平移个单位后与原图象重合,则ω的最小值是( )
A. B.
C. D.3
解析:选D 因为图象向左平移个单位后与原图象重合,
所以是一个周期的整数倍,即=·k,ω=3k,k∈Z.
所以ω的最小值是3.
7.如图所示,函数y=tan的部分图象与坐标轴分别交于点D,E,F,则△DEF的面积等于( )
A. B.
C.π D.2π
解析:选A 在y=tan中,令x=0,得y=tan =1,故OD=1.
又函数y=tan的最小正周期为T=,所以EF=.
所以S△DEF=×EF×OD=××1=.故选A.
8.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象如图所示,为了得到g(x)=cos 2x的图象,则只需将f(x)的图象( )
A.向右平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
解析:选D 由题设所提供的图象信息可知A=1,=-=,即T=π,故ω==2,所以f(x)=sin(2x+φ),将代入可得sin=0,即+φ=π,所以φ=,故f(x)=sin,
而g(x)=cos 2x=sin=sin,故选D.
9.(2020·郑州第一次质量预测)已知函数f(x)=sin(ωx+θ)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为,若将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到偶函数g(x)的图象,则函数f(x)的一个单调递减区间为( )
A. B.
C. D.
解析:选B 由题意知函数f(x)的最小正周期T=2×=π,所以ω==2,所以f(x)=sin(2x+θ),平移后所得图象对应的解析式为y=sin=sin,则由+θ=+kπ,k∈Z,得θ=kπ+,k∈Z,结合-≤θ≤,得θ=,所以f(x)=sin,于是由2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,则当k=0时,函数f(x)在上单调递减,由此可知f(x)的一个单调递减区间可以是,故选B.
10.(2020·昆明质检)将函数y=sin的图象向左平移个单位长度,所得图象对应的函数在区间[-m,m]上单调递增,则m的最大值为( )
A. B.
C. D.
解析:选A 函数y=sin的图象向左平移个单位长度后,所得图象对应的函数解析式y=sin=cos,由-π+2kπ≤2x-≤2kπ(k∈Z),得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),所以当k=0时函数的一个单调递增区间是,所以m的最大值为.故选A.
11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),若f(x)在区间上是单调函数,且f(-π)=f(0)=-f,则ω的值为( )
A. B.或2
C. D.1或
解析:选B 因为f(x)在上单调,所以≥,即T≥π.若T=π,则ω=2;若T>π,因为f(-π)=f(0)=-f,所以直线x=-是f(x)的图象的一条对称轴,且在区间上f(x)图象的对称中心是,所以=-=,所以T=3π,ω==.故选B.
12.已知函数f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0),若f(x1)=2,f(x2)=0,且|x1-x2|的最小值为2π,则f=( )
A. B.
C.-1 D.-
解析:选C f(x)=sin ωx-cos ωx=2sin,
易知该函数的最大值为2,又f(x1)=2,f(x2)=0,且|x1-x2|的最小值为2π,
所以函数f(x)的最小正周期T=4×2π=8π.
所以=8π,即ω=,f(x)=2sin,
所以f=2sin=-1,故选C.
13.若角α的终边经过点P,则sin αtan α的值是________.
解析:OP=r= =1,
所以点P在单位圆上,sin α=-,tan α=-,
所以sin α·tan α=×=.
答案:
14.已知sin θ+cos θ=,θ∈(0,π),则sin θcos(π-θ)=________;tan θ=________.
解析:因为sin θ+cos θ=,
所以(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=,
所以sin θcos θ=-,
所以sin θcos(π-θ)=-sin θcos θ=;
又(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=,
因为θ∈(0,π),所以sin θ>0,cos θ<0,
即sin θ-cos θ>0,所以sin θ-cos θ=.
联立解得sin θ=,cos θ=-.
所以tan θ=-.
答案: -
15.(2020·湖南五市十校联考)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图所示,则f(2 019)的值为________.
解析:由题图易知,函数f(x)的最小正周期T=4×=6,所以ω==,所以f(x)=Asin,将(0,1)代入,可得Asin φ=1,所以f(2 019)=f(6×336+3)=f(3)=Asin=-Asin φ=-1.
答案:-1
16.已知函数f(x)=cos,其中x∈,若f(x)的值域是,则m的最大值是________.
解析:由x∈,可知≤3x+≤3m+,
∵f=cos =-,
且f=cos π=-1,
∴要使f(x)的值域是,
需要π≤3m+≤,即≤m≤,
即m的最大值是.
答案:
B级——拔高小题提能练
1.(2020·安徽五校联考)若任意x∈R都有f(x)+2f(-x)=3cos x-sin x,则函数f(x)的图象的对称轴方程为( )
A.x=kπ+,k∈Z B.x=kπ-,k∈Z
C.x=kπ+,k∈Z D.x=kπ-,k∈Z
解析:选A 由f(x)+2f(-x)=3cos x-sin x ①,用-x代换①式中的x得,f(-x)+2f(x)=3cos(-x)-sin(-x)=3cos x+sin x ②,联立①②解得f(x)=sin x+cos x=sin,所以f(x)的图象的对称轴方程为x+=kπ+,k∈Z,即x=kπ+,k∈Z,故选A.
2.(2020·西安五校联考五校协作体考试)若函数f(x)=sin(ω>0)在区间(π,2π)内没有最值,则ω的取值范围是( )
A.∪ B.∪
C. D.
解析:选B 因为ω>0,π<x<2π,所以ωπ+<ωx+<2ωπ+,又函数f(x)=sin在区间(π,2π)内没有最值,所以函数f(x)=sin在区间(π,2π)上单调,所以2ωπ+-=ωπ<π,0<ω<1,则<ωπ+<.
当<ωπ+<时,则2ωπ+≤,所以0<ω≤;
当≤ωπ+<时,则2ωπ+≤,所以≤ω≤.故选B.
3.已知函数f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0),若方程f(x)=-1在(0,π)上有且只有4个实数根,则实数ω的取值范围为( )
A. B.
C. D.
解析:选B 因为f(x)=sin ωx-cos ωx=2sin,
作出函数f(x)的大致图象与直线y=-1,如图所示.
令2sin=-1,得ωx-=-+2kπ或ωx-=+2kπ,k∈Z,
所以x=+或x=+,k∈Z,
设直线y=-1与曲线y=f(x)在(0,+∞)上从左到右的第4个交点为A,第5个交点为B,
易知xA=+,xB=+,
因为方程f(x)=-1在(0,π)上有且只有4个实数根,
所以xA<π≤xB,即+<π≤+,
解得<ω≤.
4.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则ω=________,函数f(x)的单调递增区间为________.
解析:由图象知=-=,则周期T=π,即=π,则ω=2,f(x)=2sin(2x+φ).由五点对应法得2×+φ=2kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,则f(x)=2sin.令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得-+kπ≤x≤kπ+,k∈Z,即函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
答案:2 ,k∈Z
5.已知定义域为R的函数f(x)既是奇函数,又是周期为3的周期函数,当x∈时,f(x)=sin πx,则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数是________.
解析:因为函数f(x)的定义域为R,周期为3,
所以f(0)=f=f=0,
画出函数f(x)的图象如图所示,由图象可知,
在[0,6]上的零点为0,1,,2,3,4,,5,6,
所以共有9个零点.
答案:9