2021届二轮复习 三角函数的图象与性质 课时作业（全国通用） 练习

第1讲 三角函数的图象与性质

专题强化训练

1．(2020·嵊州模拟)已知sin(π＋α)＝－，则cos的值为(　　)

A.       B．－　　　　C.　　　　D．－

解析：选B.因为sin(π＋α)＝－＝－sin α，

所以cos＝－sin α＝－.

2．(2020·湖州市高三期末考试)为了得到函数y＝sin的图象，只需将y＝cos 2x的图象上每一点(　　)

A．向右平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向左平移个单位长度

解析：选B.因为y＝cos 2x＝sin＝sin，所以y＝sin＝sin

＝sin，

所以为了得到函数y＝sin的图象，只需将y＝cos 2x的图象上每一点向右平移个单位长度即可．故选B.

3．已知tan＝3，则sin 2α的值为(　　)

A．－          B.          C．－ D.

解析：选B.因为tan＝＝3，所以tan α＝.

所以sin 2α＝2sin αcos α＝＝＝＝.

4．(2020·金华模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f的值为(　　)

A．－        B．－       C．－ D．－1

解析：选D.由图象可得A＝，最小正周期T＝4×＝π，则ω＝＝2.又f＝sin＝－，得φ＝，则f(x)＝sin，f＝sin＝sin＝－1，故选D.

5．(2020·宁波市北京朝阳期末模拟)已知函数f(x)＝sin xcos 2x，则下列关于函数f(x)的结论中，错误的是(　　)

A．最大值为1

B．图象关于直线x＝－对称

C．既是奇函数又是周期函数

D．图象关于点中心对称

解析：选D.因为函数f(x)＝sin xcos 2x，当x＝时，f(x)取得最大值为1，故A正确；当x＝－时，函数f(x)＝1，为函数的最大值，故图象关于直线x＝－对称；故B正确；函数f(x)满足f(－x)＝sin(－x)·cos(－2x)＝－sin xcos 2x＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，再根据f(x＋2π)＝sin(x＋2π)cos[－2(x＋2π)]＝sin xcos 2x，故f(x)的周期为2π，故C正确；由于f＋f(x)＝－cos x·cos(3π－2x)＋sin xcos 2x＝cos xcos 2x＋sin xcos 2x＝cos 2x(sin x＋cos x)＝0不一定成立，故f(x)图象不一定关于点中心对称，故D不正确，故选D.

6．已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最大值与最小正周期相同，则函数f(x)在[－1，1]上的单调递增区间为(　　)

A. B.

C. D.

解析：选D.由T＝＝，又f(x)的最大值为2，所以＝2，

即ω＝，

所以f(x)＝2sin.

当2kπ－≤πx－≤2kπ＋，

即2k－≤x≤2k＋，k∈Z时函数f(x)单调递增，

则f(x)在[－1，1]上的单调递增区间为.

7．(2020·温州调研)已知函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围为(　　)

A. B.

C. D.

解析：选B.因为x∈，所以ωx＋∈，因为函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，

所以

又ω>0，所以0<ω≤，选B.

8．(2020·宁波市高三调研)已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x|，则f(x)的值域是(　　)

A．[－1，1] B.

C. D.

解析：选C.f(x)＝

作出[0，2π]区间内f(x)的图象，如图所示，

由f(x)的图象，可得f(x)的值域为.

9．(2020·宁波市北京朝阳期末模拟)已知函数f(x)＝asin 2x＋(a＋1)cos 2x，a∈R，则函数f(x)的最小正周期为______，振幅的最小值为________．

解析：函数f(x)＝asin 2x＋(a＋1)cos 2x，a∈R，

化简可得：f(x)＝sin(2x＋θ)＝·sin(2x＋θ)，其tan θ＝.

函数f(x)的最小正周期T＝＝π.

振幅为 ，

当a＝－时，可得振幅的最小值.

答案：π　

10．已知－<α<0，sin α＋cos α＝，则sin α－cos α＝________．

解析：sin α＋cos α＝，平方可得sin2α＋2sin α·cos α＋cos2α＝，即2sin α·cos α＝－，因为(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝，又－<α<0，所以sin α<0，cos α>0，所以sin α－cos α<0，

所以sin α－cos α＝－.

答案：－

11．已知f(x)＝sin 2x－cos 2x，若对任意实数x∈，都有|f(x)|<m，则实数m的取值范围是________．

解析：因为f(x)＝sin 2x－cos 2x＝

2sin，x∈，所以∈，所以2sin∈(－，1]，所以|f(x)|＝<，所以m≥.

答案：[，＋∞)

12．函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．

解析：因为 f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1＝＋sin 2x＋1＝sin 2x－cos 2x＋＝

sin(2x－)＋，所以函数f(x)的最小正周期T＝π.令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解之可得函数f(x)的单调递减区间为

(k∈Z)．

答案：π　(k∈Z)

13．(2020·太原市模拟试题)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)，若方程f(x)＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为________．

解析：因为f(x)＝2sin，方程2sin＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，即sin＝－在(0，π)上有且只有四个实数根．设t＝ωx－，因为0<x<π，所以－<t<ωπ－，所以<ωπ－≤，解得<ω≤.

答案：

14．(2020·温州市北京朝阳期末数学模拟)设奇函数f(x)＝，则a＋c的值为________，不等式f(x)＞f(－x)在x∈[－π，π]上的解集为________．

解析：因为f(x)是奇函数，

所以f(0)＝0，

即f(0)＝acos 0－sin 0＋c＝a＋c＝0，

即a＋c＝0，

则f(x)＝，

若x＜0，则－x＞0，

则f(－x)＝acos x＋sin x－a

＝－cos x－bsin x－a，

则a＝－1，b＝－，c＝1.

则f(x)＝，

若0≤x≤π，

则由f(x)＞f(－x)得－cos x－sin x＋1＞cos x＋sin x－1，

即cos x＋sin x＜1，即cos＜，

因为0≤x≤π，所以－≤x－≤，

则＜x－≤，即＜x≤π.

若－π≤x＜0，

则由f(x)＞f(－x)得cos x－sin x－1＞

－cos x＋sin x＋1，

即cos x－sin x＞1，即cos＞，

因为－π≤x＜0，所以－≤x＋＜，

则－＜x＋＜，即－＜x＜0，

综上不等式的解集为∪.

答案：0　∪

15．(2020·台州市高三期末评估)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且x＝为f(x)图象的一条对称轴．

(1)求ω和φ的值；

(2)设函数g(x)＝f(x)＋f，求g(x)的单调递减区间．

解：(1)因为f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，

由T＝＝π，所以ω＝2，

由2x＋φ＝kπ＋，k∈Z，

所以f(x)的图象的对称轴为x＝＋－，k∈Z.

由＝＋－，得φ＝kπ＋.又|φ|≤，则φ＝.

(2)函数g(x)＝f(x)＋f＝sin＋sin 2x＝

sin 2x＋cos 2x＋sin 2x＝sin.

所以g(x)的单调递减区间为，k∈Z.

16．(2020·宁波诺丁汉大学附中高三期中)已知函数f(x)＝sin(x∈R，ω＞0)的图象如图，P是图象的最高点，Q是图象的最低点，且|PQ|＝.

(1)求函数y＝f(x)的解析式；

(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位后得到函数y＝g(x)的图象，当x∈[0，2]时，求函数h(x)＝f(x)·g(x)的最大值．

解：(1)过P作x轴的垂线PM，过Q作y轴的垂线QM，则由已知得|PM|＝2，|PQ|＝，由勾股定理得|QM|＝3，所以T＝6，

又T＝，所以ω＝，

所以函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝sin.

(2)将函数y＝f(x)图象向右平移1个单位后得到函数y＝g(x)的图象，

所以g(x)＝sinx.

函数h(x)＝f(x)·g(x)＝sinsin x

＝sin2x＋sinxcos x

＝＋sin x

＝sin＋.

当x∈[0，2]时，x－∈，

所以当x－＝，

即x＝1时，h(x)max＝.

17．(2020·“绿色联盟”模拟)已知函数f(x)＝sin x·(cos x＋sin x)．

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)若关于x的方程f(x)＝t在区间内有两个不相等的实数解，求实数t的取值范围．

解：(1)f(x)＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，故函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.

(2)关于x的方程f(x)＝t在区间内有两个不相等的实数解，等价于y＝f(x)与y＝t的图象在区间内有两个不同的交点．因为x∈，所以2x－∈.

因为y＝sin x在上是增函数，在上是减函数，

所以f(x)在上是增函数，在上是减函数．

又因为f(0)＝0，f＝1＋，

f＝，

所以≤t＜1＋，故实数t的取值范围为.

18．已知定义在区间上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，当x≥时，f(x)＝－sin x.

(1)作出y＝f(x)的图象；

(2)求y＝f(x)的解析式；

(3)若关于x的方程f(x)＝a有解，将方程中的a取一确定的值所得的所有解的和记为Ma，求Ma的所有可能的值及相应的a的取值范围．

解：(1)y＝f(x)的图象如图所示．

(2)任取x∈，

则－x∈，

因为函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，

则f(x)＝f，又当x≥时，f(x)＝－sin x，

则f(x)＝f＝－sin＝－cos x，

即f(x)＝

(3)当a＝－1时，f(x)＝a的两根为0，，则Ma＝；当a∈时，f(x)＝a的四根满足x1<x2<<x3<x4，由对称性得x1＋x2＝0，x3＋x4＝π，则Ma＝π；当a＝－时，

f(x)＝a的三根满足x1<x2＝<x3，由对称性得x3＋x1＝，则Ma＝；当a∈时，f(x)＝a的两根为x1，x2，由对称性得Ma＝.

综上，当a∈时，Ma＝π；

当a＝－时，Ma＝；

当a∈∪{－1}时，Ma＝.