八年级数学下册知识点汇聚测试卷：勾股定理初级测试（含详解）

勾股定理

一、选择题(每小题4分,共12分)

1.(2013·黔西南州中考)一直角三角形的两边长分别为3和4.则第三边的长为

(　　)

A.5　   B.　   C.　   D.5或

2.如图,有一块直角三角形纸板ABC,两直角边AC=6cm,BC=8cm.现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且点C落到点E处,则CD等于(　　)

A.2cm   B.3cm   C.4cm   D.5cm

3.(2013·资阳中考)如图,点E在正方形ABCD内,满足

∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是(　　)

A.48 　　　B.60

C.76 　　　D.80[来源:学科网ZXXK]

二、填空题(每小题4分,共12分)

4.(2013·莆田中考)如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A,B,C,D的面积分别为2,5,1,2.则最大的正方形E的面积是　　　　　.

5.如图,等腰△ABC中,AB=AC,AD是底边上的高,若AB=5cm,BC=6cm,则AD=

　　　　cm.

[来源:学科网ZXXK]

6.(2013·桂林中考)如图,在△ABC中,CA=CB,AD⊥BC,BE⊥AC,AB=5,AD=4,则AE=　　　　.

[来源:学科网ZXXK]

三、解答题(共26分)[来源:学§科§网Z§X§X§K]

7.(8分)已知,如图,在△ABC中,∠C=90°,∠1=∠2,CD=15,BD=25,求AC的长.

8.(8分)在△ABC中,AB=15,AC=20,BC边上的高AD=12,试求BC边的长.

【拓展延伸】

9.(10分)有一块直角三角形的绿地,量得两直角边长分别为6m,8m.现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长.(图2,图3备用)

[来源:学&科&网Z&X&X&K]

答案解析

1.【解析】选D.(1)当两边均为直角边时,由勾股定理得,第三边长为5;(2)当4为斜边时,由勾股定理得,第三边长为,故选D.

2.【解析】选B.由题意可知,△ACD和△AED关于直线AD对称,因而△ACD≌△AED.所以AE=AC=6cm,CD=ED,ED⊥AB,设CD=ED=xcm,则在Rt△ABC中,由勾股定理可得AB2=AC2+BC2=62+82=100,得AB=10cm,

在Rt△BDE中,有x2+(10-6)2=(8-x)2.

解得x=3.

【归纳整合】运用勾股定理解决折叠问题,往往融方程与几何图形于一体,具有较强的综合性.解决与折叠有关的问题时,要寻找出折叠前后的不变量(即相等的线段、相等的角),同时要注意方程思想的应用.

3.【解析】选C.∵∠AEB=90°,AE=6,BE=8,

∴在Rt△ABE中,AB2=AE2+BE2=100,

∴S阴影部分=S正方形ABCD-S△ABE=AB2-×AE×BE=100-×6×8=76.

4.【解析】如图,根据勾股定理的几何意义,可得A,B的面积和为S1,C,D的面积和为S2,S1+S2=S3,即S3=2+5+1+2=10.

答案:10

5.【解析】根据等腰三角形的三线合一可得:BD=BC=×6=3(cm),在直角三角形ABD中,

由勾股定理得:AB2=BD2+AD2,

所以AD===4(cm).

答案:4

6.【解析】在Rt△ADB中,根据勾股定理,得DB===3.

∵AD⊥BC,BE⊥AC,

∴∠ADB=∠BEA=90°,

∵CA=CB,∴∠EAB=∠DBA,

又∵AB=BA,

∴△ADB≌△BEA,∴AE=BD=3.

答案:3

7.【解析】过D作DE⊥AB,垂足为E,

∵∠1=∠2,∴CD=DE=15,

在Rt△BDE中,BE=

==20,

∵CD=DE,AD=AD,

∴Rt△ACD≌Rt△AED,

∴AC=AE.

在Rt△ABC中,由勾股定理得

AB2=AC2+BC2,即(AC+20)2=AC2+(15+25)2,

解得AC=30.

8.【解析】三角形中某边上的高既可在三角形内部,又可在三角形外部,故此题应分两种情况来考虑.

(1)当BC边上的高AD在△ABC的内部时,如图1,由勾股定理,得BD2=AB2-AD2=152-122=81,得BD=9,CD2=AC2-AD2=202-122=256,得CD=16.则BC=BD+CD=25;

(2)当BC边上的高AD在△ABC的外部时,如图2,由勾股定理可求得CD=16,BD=9.这时BC=CD-BD=7.

综上所述BC边的长为25或7.

9.【解析】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8m,BC=6m,由勾股定理得AB=10m,扩充部分为Rt△ACD,扩充成等腰△ABD,应分以下三种情况:

①如图1,当AB=AD=10m时,

∵AC⊥BD,∴CD=CB=6m,

∴△ABD的周长=10+10+2×6=32(m).

②如图2,当AB=BD=10m时,

∵BC=6m,∴CD=10-6=4(m),

∴AD===4(m),

∴△ABD的周长=10+10+4=(20+4)m.

③如图3,当AB为底时,设AD=BD=xm,

则CD=x-6(m),由勾股定理得:

AD===x,

解得,x=m.∴△ABD的周长为m.