人教版八年级下册17.1 勾股定理完整版教学复习课件ppt

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1.复习与回顾本章的重要知识点; (重点)
2.勾股定理及其逆定理的用途和相互关系;
3.总结本章的重要思想方法及其应用;(难点)
4.勾股定理及逆定理的综合运用.(难点)
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；
（2）构造直角三角形；
（3）利用勾股定理等列方程；
二、勾股定理的实际应用
三、利用勾股定理表示无理数的方法:
（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.
（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.
四、折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法:(1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)；(2)用已知线数或含x的代数式表示出其他线段长；(3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程；(4)解这个方程，从而求出所求线段长.
一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.
题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.
勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2=c2.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
常见勾股数：3，4，5；6，8，10；5，12，13；8，15，17；7，24，25等等.
一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数. 如：3，4，5；6，8，10；9，12，15；12，16，20…
例1.在Rt△ABC中， ∠C=90°.（1）若a:b=1:2 ，c=5,求a;（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.
x2+(2x)2=52，
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得
(2x)2-x2=152，
【点睛】已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.
例2.已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.
【点睛】由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．
例3.以直角三角形的三边为边向外作正方形，如图①所示，三个正方形的面积分别为S1，S2，S3， 则有S1+S2___S3(填“>”“=”“<”).(1)分别以直角三角形的三边为直径向外作半圆，如图②所示，上述结论是否仍成立?说明理由.
例3.以直角三角形的三边为边向外作正方形，如图①所示，三个正方形的面积分别为S1，S2，S3， 则有S1+S2___S3(填“>”“=”“<”).(2)分别以直角三角形的三边为斜边向外作等腰直角三角形，(1)中的结论仍成立吗(直接写出结论，无需证明) ?
(3)(变式拓展)如图③,图中数字代表正方形的面积,∠ACB=120°，求正方形P的面积.
【1-3】设直角三角的两条直角边长分别为a和b,斜边长为c.(1)已知a=5，c=10， 求b;(2)已知a=8，b=15， 求c;(3)已知c=2.5，b=1.5，求a.
解：(1)根据勾股定理得
【1-4】如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积.
解：依题意，得S1=SA+SB=122+162=144+256=400S2=SC+SD=92+122=81+144=225所以，SE=S1+S2=400+225=625
例4.如图，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高BD是4米，两树相距8米（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行多少米？
例5.如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东35°的方向，航速是12海里/时，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？
例6.有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处,问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是2m,高AB是5m,π取3）?
解：油罐的展开图如图，则AB′为梯子的最短距离. ∵AA′=2×3×2=12, A′B′=5,在Rt△AA′B′中，由勾股定理得即梯子最短需13米.
【分析】立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.
【2-2】如图，有一个圆柱体，它的高为12厘米，底面半径为3厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A点相对的B处的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π的值取3)
例6.如图，数轴上点A所表示的数为a，求a的值.
解：∵图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为 ，即－1到A的距离是 ，∴点A所表示的数为 .
【点睛】求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，因而所表示的数不是斜边长.
例7.如图，在平面直角坐标系中有两点A(-3,5)，B(1,2)求A,B两点间的距离.
解：如图，过点A作x轴的垂线,过点B作x,y轴的垂线.相交于点C,连接AB.∴AC=5-2=3，BC=3+1=4，在Rt△ABC中，由勾股定理得∴A,B两点间的距离为5.
【点睛】两点之间的距离公式：一般地，设平面上任意两点
例8.如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，求AB边上的高.
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.
【点睛】此类网格中求格点三角形的高的题，常用的方法是利用网格求面积，再用面积法求高.
例9.如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.
解：在Rt△ABF中,由勾股定理得 BF2=AF2－AB2=102－82=36，∴BF=6cm.∴CF=BC－BF=4.设EC=xcm，则EF=DE=(8－x)cm ，在Rt△ECF中,根据勾股定理得 x2+42=(8－x)2，解得 x=3.即EC的长为3cm.
勾股定理的逆定理及其应用
解：∵ a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，∴ a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0.即 (a－3)²+ (b－4)²+ (c－5)²=0. ∴ a=3, b=4, c=5，即 a2+b2=c2.∴ △ABC是直角三角形.
例10.若△ABC的三边 a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC的形状.
解：AF⊥EF.理由如下：设正方形的边长为4a, 则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边．∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.
【4-1】下列各组数中，是勾股数的( )A.0.3，0.4，0.5 B.9，16，25C.5，12，13 D.10，15，18【4-2】下面三角形中是直角三角形的有( )①三角形三内角之比为1:2:3;②三角形三内角之比为3:4:5;③三角形三边之比为1:2:3;④三角形三边之比为3:4:5.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【4-3】说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？(1)两条直线平行，内错角相等；(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；(3)全等三角形的对应角相等.
解：(1)逆命题：内错角相等，两条直线平行，此命题成立；(2)逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，此命题不成立；(3)逆命题：对应角相等的两个三角形是全等三角形，此命题不成立.
勾股定理及其逆定理综合应用
解：根据题意，PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18，QR=30.∵ 242+182=302，即PQ2+PR2=QR2∴ ∠QPR=90°由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1=45°.因此∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.
例15.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
【点睛】解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体到局部)；标注有用信息,明确已知和所求；应用数学知识求解.
【5-1】如图,有一块地，已知∠ADC=90°，AD=4m， CD=3m，AB=13m，BC=12m.求这块地的面积.
【5-2】如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？
分析：根据勾股定理的逆定理得△ABC是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求PD，然后再利用勾股定理便可求CD.
又∵该船只的速度为12.8海里/时，6.4÷12.8=0.5（小时）=30（分钟），∴需要30分钟进入我领海，即最早晚上10时58分进入我领海.