高考复习《向量的有关概念》课时作业5.1

这是一份高考复习《向量的有关概念》课时作业5.1，共7页。

1．(2020·济南调研)以下命题：①|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关；②两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；④单位向量都是共线向量．
其中，正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
C ②④错误．
2．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )
A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同
C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|·a
B 对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．
3．(2020·湖北孝感模拟)设D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点，则eq \(DA,\s\up6(→))＋2eq \(EB,\s\up6(→))＋3eq \(FC,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→)) B.eq \f(3,2)eq \(AD,\s\up6(→))
C.eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→)) D.eq \f(3,2)eq \(AC,\s\up6(→))
D 因为D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点，所以eq \(DA,\s\up6(→))＋2eq \(EB,\s\up6(→))＋3eq \(FC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→)))＋2×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))＋3×eq \f(1,2)×(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \f(3,2)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(3,2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(AC,\s\up6(→))，故选D.
4．已知eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq \(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq \(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，则下列一定共线的三点是( )
A．A，B，C B．A，B，D
C．B，C，D D．A，C，D
B 因为eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3eq \(AB,\s\up6(→))，又eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))有公共点A，所以A，B，D三点共线．
5．(2020·原创冲刺卷)在平行四边形ABCD中，F是BC的中点，eq \(CE,\s\up6(→))＝－2eq \(DE,\s\up6(→))，若eq \(EF,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AD,\s\up6(→))，则x＋y＝( )
A．1 B．6
C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,3)
C 因为四边形ABCD是平行四边形，
所以eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，
因为eq \(CE,\s\up6(→))＝－2eq \(DE,\s\up6(→))，所以eq \(ED,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(DC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))，
连接AF，在△AEF中，
所以eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))
＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))，
又因为eq \(EF,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AD,\s\up6(→))，
所以x＝eq \f(2,3)，y＝－eq \f(1,2)，所以x＋y＝eq \f(1,6).
6．(一题多解)(2020·郑州质检)若O为△ABC所在平面内一点，且满足(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))·(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))－2eq \(OC,\s\up6(→)))＝0，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．正三角形 D．等腰直角三角形
A 法一(特殊点法)
取点O在点C处，则eq \(OC,\s\up6(→))＝0，(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))·(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))－2eq \(OC,\s\up6(→)))＝0可化为(eq \(CA,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→)))·(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))＝eq \(CA,\s\up6(→))2－eq \(CB,\s\up6(→))2＝0，即eq \(CA,\s\up6(→))2＝eq \(CB,\s\up6(→))2，所以|eq \(CA,\s\up6(→))|＝|eq \(CB,\s\up6(→))|，又三角形中是否有直角不确定，所以△ABC为等腰三角形，故选A.
法二(向量的加减法运算)
因为(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))·(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))－2eq \(OC,\s\up6(→)))＝0，所以eq \(BA,\s\up6(→))·(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))＝0，所以边AB的中线垂直于AB，即△ABC为等腰三角形，又三角形中是否有直角不确定，故选A.
7．已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下列结论正确的是________．(填序号)
①a∥b；②a⊥b；③|a|＝|b|；④a＋b＝a－b.
解析 根据向量加法、减法的几何意义可知，|a＋b|与|a－b|分别为以向量a，b为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a＋b|＝|a－b|，所以该平行四边形为矩形，所以a⊥b.
答案 ②
8．(2020·青岛质检)已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且eq \(BC,\s\up6(→))＝a，eq \(CA,\s\up6(→))＝b，给出下列命题：①eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a－b；②eq \(BE,\s\up6(→))＝a＋eq \f(1,2)b；③eq \(CF,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b；④eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝0.
其中正确命题的序号为________．
解析 eq \(BC,\s\up6(→))＝a，eq \(CA,\s\up6(→))＝b，
eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)a－b，
eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(→))＝a＋eq \f(1,2)b，
eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(－a＋b)＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝－b－eq \f(1,2)a＋a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)a＝0.
所以正确命题的序号为②③④.
答案 ②③④
9.
如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC，若eq \(AC,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AD,\s\up6(→))(m，n∈R)，则m－n＝________．
解析 由于BD＝2DC，则eq \(BC,\s\up6(→))＝－3eq \(CD,\s\up6(→))，
其中eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))，
那么eq \(BC,\s\up6(→))＝－3eq \(CD,\s\up6(→))可转化为
eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝－3(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))，
可以得到－2eq \(AC,\s\up6(→))＝－3eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))，
即eq \(AC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,2)eq \(AD,\s\up6(→))，则m＝－eq \f(1,2)，n＝eq \f(3,2)，
那么m－n＝－eq \f(1,2)－eq \f(3,2)＝－2.
答案 －2
10．(2020·郑州模拟)设e1与e2是两个不共线向量，eq \(AB,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq \(CB,\s\up6(→))＝ke1＋e2，eq \(CD,\s\up6(→))＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为________．
解析 由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BD,\s\up6(→)).
又eq \(AB,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq \(CB,\s\up6(→))＝ke1＋e2，eq \(CD,\s\up6(→))＝3e1－2ke2，
所以eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)
＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，
所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，
又e1与e2不共线，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3＝λ（3－k），,2＝－λ（2k＋1），))解得k＝－eq \f(9,4).
答案 －eq \f(9,4)
11．(2020·清华大学自主招生能力测试)O为△ABC内一点，且eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋2eq \(OC,\s\up6(→))＝0，则△OBC和△ABC的面积比eq \f(S△OBC,S△ABC)＝________．
解析
如图所示，设AB的中点为M，连接OM，则eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝2eq \(OM,\s\up6(→))，∴eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋2eq \(OC,\s\up6(→))＝2eq \(OM,\s\up6(→))＋2eq \(OC,\s\up6(→))＝0，∴点O为线段MC的中点，则S△OBC＝eq \f(1,2)S△MBC＝eq \f(1,4)S△ABC，所以eq \f(S△OBC,S△ABC)＝eq \f(1,4).
答案 eq \f(1,4)
12.
(2020·重庆调研)如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示向量eq \(AO,\s\up6(→)).
解 由D，O，C三点共线，可设eq \(DO,\s\up6(→))＝k1eq \(DC,\s\up6(→))＝k1(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))＝k1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(1,2)a))＝－eq \f(1,2)k1a＋k1b(k1为实数)，
同理，可设eq \(BO,\s\up6(→))＝k2eq \(BF,\s\up6(→))＝k2(eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))
＝k2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)b－a))＝－k2a＋eq \f(1,2)k2b(k2为实数)，①
又eq \(BO,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DO,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)k1a＋k1b))
＝－eq \f(1,2)(1＋k1)a＋k1b，②
所以由①②，得－k2a＋eq \f(1,2)k2b＝－eq \f(1,2)(1＋k1)a＋k1b，
即eq \f(1,2)(1＋k1－2k2)a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)k2－k1))b＝0.
又a，b不共线，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)（1＋k1－2k2）＝0，,\f(1,2)k2－k1＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k1＝\f(1,3)，,k2＝\f(2,3).))
所以eq \(BO,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b.
所以eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＝a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)a＋\f(1,3)b))＝eq \f(1,3)(a＋b)．
[技能过关提升]
13．(2020·福建福州一中模拟)已知△ABC和点M满足eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))＝0.若存在实数m，使得eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝meq \(AM,\s\up6(→))成立，则m＝________．
解析 由eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))＝0知，点M为△ABC的重心，设点D为边BC的中点，则eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，所以eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝3eq \(AM,\s\up6(→))，故m＝3.
答案 3
14．(一题多解)(2020·滁州模拟)已知A1，A2，A3为平面上三个不共线的定点，平面上点M满足eq \(A1M,\s\up6(→))＝λ(eq \(A1A2,\s\up6(→))＋eq \(A1A3,\s\up6(→)))(λ是实数)，且eq \(MA1,\s\up6(→))＋eq \(MA2,\s\up6(→))＋eq \(MA3,\s\up6(→))是单位向量，则这样的点M有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
C
法一 由题意得，eq \(MA1,\s\up6(→))＝－λ(eq \(A1A2,\s\up6(→))＋eq \(A1A3,\s\up6(→)))，eq \(MA2,\s\up6(→))＝eq \(MA1,\s\up6(→))＋eq \(A1A2,\s\up6(→)) ，eq \(MA3,\s\up6(→))＝eq \(MA1,\s\up6(→))＋eq \(A1A3,\s\up6(→))，
∴eq \(MA1,\s\up6(→))＋eq \(MA2,\s\up6(→))＋eq \(MA3,\s\up6(→))＝(1－3λ)(eq \(A1A2,\s\up6(→))＋eq \(A1A3,\s\up6(→)))，如图所示，设D为A2A3的中点，∴(1－3λ)(eq \(A1A2,\s\up6(→))＋eq \(A1A3,\s\up6(→)))是与eq \(A1D,\s\up6(→))共起点且共线的一个向量，显然直线A1D与以A1为圆心的单位圆有两个交点，故λ有两个值，即符合题意的点M有两个，故选C.
法二 以A1为原点建立平面直角坐标系，
设A2(a，b)，A3(m，n)，则eq \(A1A2,\s\up6(→))＋eq \(A1A3,\s\up6(→))＝(a＋m，b＋n)，
∴M(λ(a＋m)，λ(b＋n))，
∴eq \(MA1,\s\up6(→))＝(－λ(a＋m)，－λ(b＋n))，
eq \(MA2,\s\up6(→))＝(a－λ(a＋m)，b－λ(b＋n))，
eq \(MA3,\s\up6(→))＝(m－λ(a＋m)，n－λ(b＋n))，
∴eq \(MA1,\s\up6(→))＋eq \(MA2,\s\up6(→))＋eq \(MA3,\s\up6(→))＝((1－3λ)(a＋m)，(1－3λ)(b＋n))．
∵eq \(MA1,\s\up6(→))＋eq \(MA2,\s\up6(→))＋eq \(MA3,\s\up6(→))是单位向量，
∴(1－3λ)2[(a＋m)2＋(b＋n)2]＝1，
∵A1，A2，A3是平面上三个不共线的定点，
∴(a＋m)2＋(b＋n)2>0，所以关于λ的方程有两解，
故满足条件的M有两个，故选C.