高中9.1 向量概念教案及反思

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向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景．在本章中，学生将了解平面向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量的语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力．
1.教学重点：理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.
2.教学难点：理解平面向量的几何表示和基本要素.
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教材知识探究
老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，猫能否追到老鼠(如图)?
问题 猫能否追到老鼠？
提示 猫的速度再快也没用，因为方向错了.
老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有大小、有方向的量.
生活中还有许多既有大小又有方向的量，你能说出它们并指出其大小和方向吗？本节就来学习这方面的知识.
1.向量的定义及表示
(1)定义：既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)表示：
①有向线段：带有方向的线段，它包含三个要素：起点、方向、长度；
②向量的表示：
2.向量的有关概念
相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等向量
题型一 向量的概念
【例1】 下列说法正确的是( )
A.向量eq \(AB,\s\up6(→))与向量eq \(BA,\s\up6(→))的长度相等
B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C.若a∥b，b∥c，则a∥c
D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
解析 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；C选项，当b＝0时，a与c可能不共线；两个单位向量平行也可能反向，则不相等，故B，C，D都错误，A正确.故选A.
答案 A
【训练1】 下列说法中正确的是( )
A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
解析 不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确.
答案 D
题型二 相等向量与共线向量
两个向量共线不一定同向，但同向一定共线，同时相等向量的起点也不一定相同
【例2】 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c.
(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)与a共线的向量有哪些？
(3)请一一列出与a，b，c相等的向量.
解 (1)与a的长度相等、方向相反的向量有eq \(OD,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(FE,\s\up6(→)).
(2)与a共线的向量有eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))，eq \(FE,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(DO,\s\up6(→))，eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→)).
(3)与a相等的向量有eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(DO,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→))；与b相等的向量有eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(EO,\s\up6(→))，eq \(FA,\s\up6(→))；与c相等的向量有eq \(FO,\s\up6(→))，eq \(ED,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→)).
规律方法 相等向量与共线向量的探求方法
(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线.
(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再确定同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量.
【训练2】 如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.
(1)与向量eq \(ED,\s\up6(→))相等的向量为______；
(2)若|eq \(AB,\s\up6(→))|＝3，则向量eq \(EC,\s\up6(→))的模等于________.
解析 (1)在平行四边形ABCD和ABDE中，
∵eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，∴eq \(ED,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→)).
(2)由(1)知，eq \(ED,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，
∴E、D、C三点共线，|eq \(EC,\s\up6(→))|＝|eq \(ED,\s\up6(→))|＋|eq \(DC,\s\up6(→))|＝2|eq \(AB,\s\up6(→))|＝6.
答案 (1)eq \(AB,\s\up6(→))、eq \(DC,\s\up6(→)) (2)6
题型三 向量的表示及应用
【例3】 在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务.它首先从A点出发向西航行了200 km到达B点，然后改变航行方向，向西偏北50°航行了400 km到达C点，最后又改变航行方向，向东航行了200 km到达D点.此时，它完成了此片海域的巡逻任务.
(1)作出eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))；
(2)求|eq \(AD,\s\up6(→))|.
解 (1)如图所示，作出eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→)).
(2)由题意知AB∥CD，AB＝CD，
所以四边形ABCD是平行四边形，
所以AD＝BC＝400 km，所以|eq \(AD,\s\up6(→))|＝400 km.
规律方法 平面向量在实际生活中的应用
生活中很多问题可以归结为向量的问题，如力、速度、位移等，因此运用向量的知识进行解答可使问题简化，易于求解.解答时，一般先把实际问题用图示表示出来，然后围绕线段的长度(即向量的模)和方向(求某个角)进行求解.
【训练3】 一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地.
(1)作出eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))；
(2)求B地相对于A地的位置.
解 (1)向量eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))，如图所示.
(2)由题意知eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，
∴AD//BC，且AD=BC，则四边形ABCD为平行四边形，
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，则B地相对于A地的位置为“北偏东60°，长度为6千米”.
二、检测反馈
1.下列结论正确的个数是( )
①温度含零上和零下，所以温度是向量；
②向量的模是一个正实数；
③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
④若|a|>|b|，则a>b.
A.0 B.1 C.2 D.3
解析 ①错，温度只有大小，没有方向，是数量不是向量；②错，0的模等于0；③正确；④错，向量不能比较大小.
答案 B
2.如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(DC,\s\up6(→))的关系是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→)) B.|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(DC,\s\up6(→))|
C.eq \(AB,\s\up6(→))>eq \(DC,\s\up6(→)) D.eq \(AB,\s\up6(→))解析 |eq \(AB,\s\up6(→))|与|eq \(DC,\s\up6(→))|表示等腰梯形两腰的长度，故相等.
答案 B
3.有下列说法：
①向量eq \(CB,\s\up6(→))和向量eq \(BC,\s\up6(→))长度相等；
②向量0＝0；
③向量eq \(AB,\s\up6(→))大于向量eq \(CD,\s\up6(→))；
④单位向量都相等.
其中，正确的说法是________(填序号).
解析
答案 ①
4.在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a；
(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝eq \r(5)，并说出向量c的终点的轨迹是什么？
解 (1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等方向相同(作图略).
(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，eq \r(5)为半径的圆(作图略).
对于向量的相关概念问题，关键是把握好概念的内涵与外延，对于一些似是而非的概念一定要分辨清楚，如有向线段与向量，有向线段是向量的表示形式，并不等同于向量，还有如单位向量，单位向量只是从模的角度定义的，与方向无关.零向量的模为零，方向则是任意的.
我们在用有向线段表示向量时要注意两者的区别，有向线段是个几何图形，有起点、大小和方向，可以直观的表示向量，但不等于向量。课程目标
学科素养
1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.
2.理解平面向量的几何表示和基本要素.
a数学抽象:通过了解平面向量的实际背景及理解平面向量的意义，培养数学抽象素养.
b直观想象:通过学习相等向量的含义及平面向量的几何表示提升直观想象素养.
向量名称
定义
零向量
长度为0的向量，记作0
单位向量
长度等于1个单位长度的向量
平行向量
(共线向量)
方向相同或相反的非零向量，向量a，b平行，记作a∥b，
规定：零向量与任一向量平行
相等向量
长度相等且方向相同的向量；向量a，b相等，记作a＝b
序号
正误
原因
①
√
|eq \(CB,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|＝CB
②
×
0是一个向量，而0是一个数量
③
×
向量不能比较大小
④
×
单位向量的模均为1，但方向不一定相同