数学苏教版 (2019)10.3 几个三角恒等式精品课时训练

这是一份数学苏教版 (2019)10.3 几个三角恒等式精品课时训练，共6页。

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一、选择题


1．若A＋B＝120°，则sin A＋sin B的最大值是( )


A．1 B．eq \r(2) C．eq \r(3) D.eq \f(\r(6),2)


C [sin A＋sin B＝2sineq \f(A＋B,2)cseq \f(A－B,2)


＝eq \r(3)cseq \f(A－B,2)≤eq \r(3)，∴最大值为eq \r(3).]


2．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的最大值是( )


A．eq \f(1,2)B．1


C．eq \r(2)D．eq \r(3)


B [y＝2sin xcseq \f(π,3)＝sin x≤1，∴最大值为1.]


3．eq \f(sin 35°－sin 25°,cs 35°－cs 25°)＝( )


A．eq \f(\r(3),3)B．－eq \f(\r(3),3)


C．eq \r(3)D．－eq \r(3)


D [原式＝eq \f(2sin 5°cs 30°,－2sin 30°sin 5°)＝－eq \f(cs 30°,sin 30°)


＝－eq \r(3).]


4．设π<α<3π，cs α＝m，cseq \f(α,2)＝n，cseq \f(α,4)＝p，下列各式中正确的是( )


A．n＝－ eq \r(\f(1＋m,2)) B．n＝ eq \r(\f(1＋m,2))


C．p＝ eq \r(\f(1＋n,2)) D．p＝－ eq \r(\f(1＋n,2))


A [∵eq \f(π,2)

因此cs eq \f(α,4)的符号不能确定．]


5．若α是第三象限角且sin(α＋β)cs β－sin βcs(α＋β)＝－eq \f(5,13)，则taneq \f(α,2)＝( )


A．－5B．5


C．－eq \f(1,5)D．eq \f(1,5)


A [易知sin α＝－eq \f(5,13)，α为第三象限角，


∴cs α＝－eq \f(12,13).


∴tan eq \f(α,2)＝eq \f(sin\f(α,2),cs \f(α,2))＝eq \f(2sin \f(α,2)cs \f(α,2),2cs2\f(α,2))


＝eq \f(sin α,1＋cs α)＝eq \f(－\f(5,13),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13))))＝－5.]


二、填空题


6．若cs(α＋β)cs(α－β)＝eq \f(1,3)，则cs2α－sin2β＝________.


eq \f(1,3) [cs(α＋β)cs(α－β)＝eq \f(1,2)(cs 2α＋cs 2β)


＝eq \f(1,2)[(2cs2α－1)＋(1－2sin2β)]＝cs2α－sin2β.


∴cs2α－sin2β＝eq \f(1,3).]


7．若cs2α－cs2β＝m，则sin(α＋β)sin(α－β)＝________.


－m [sin(α＋β)sin(α－β)＝－eq \f(1,2)(cs 2α－cs 2β)＝－eq \f(1,2)(2cs2α－1－2cs2β＋1)＝cs2β－cs2α＝－m.]


8．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))cs x的最小值是________．


－eq \f(3,4) [y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))cs x＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))))


＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－\f(1,2)))＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－eq \f(1,4)，


当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＝－1时，y取得最小值为－eq \f(3,4).]


三、解答题


9．求函数f(x)＝sin xeq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin x－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))))的最小正周期与最值．


[解] f(x)＝sin xeq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin x－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))))


＝sin x·2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))


＝－sin xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))


＝－eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))))


＝－eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋eq \f(1,4).


∴最小正周期为T＝eq \f(2π,2)＝π.


∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))∈[－1,1]，


∴f(x)max＝eq \f(3,4)，f(x)min＝－eq \f(1,4).


10．已知3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))，求证：sin 2α＝1.


[证明] ∵3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))，


∴eq \f(3sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12))),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12))))＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12))),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12))))，


∴3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))，


∴eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin 2α－sin\f(π,6)))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin 2α＋sin\f(π,6)))，


∴3sin 2α－eq \f(3,2)＝sin 2α＋eq \f(1,2)，∴sin 2α＝1.





1．sin220°＋cs280°＋eq \r(3)sin 20°cs 80°的值是( )


A．eq \f(1,4) B．eq \f(1,3) C．eq \f(1,2) D．1


A [原式＝eq \f(1－cs 40°,2)＋eq \f(1＋cs 160°,2)＋eq \f(\r(3),2)(sin 100°－sin 60°)＝1－eq \f(1,2)(cs 40°＋cs 20°)＋eq \f(\r(3),2)cs 10°－eq \f(3,4)＝1－cs 30°cs 10°＋eq \f(\r(3),2)cs 10°－eq \f(3,4)＝eq \f(1,4).]


2．直角三角形中两锐角为A和B，则sin Asin B的最大值为( )


A．eq \f(1,4) B．eq \f(\r(3),4)


C．eq \f(1,2)D．eq \f(\r(6),4)


C [∵A＋B＝eq \f(π,2)，sin Asin B＝eq \f(1,2)[cs(A－B)－cs (A＋B)]＝eq \f(1,2)cs(A－B)，


又－eq \f(π,2)＜A－B＜eq \f(π,2)，


∴0＜cs(A－B)≤1，


∴sin Asin B有最大值eq \f(1,2).]


3．如图，实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等，设第i段弧所对的圆心角为αi(i＝1,2,3)，则cseq \f(α1,3)cseq \f(α2＋α3,3)－sineq \f(α1,3)·sineq \f(α2＋α3,3)＝________.





－eq \f(1,2) [设三段圆弧交于A，B，D三点，连接PA，PB，PD(图略)，则∠APB＋∠APD＋∠BPD＝2π，从而α1＋α2＋α3＝4π，所以cseq \f(α1,3)cseq \f(α2＋α3,3)－sineq \f(α1,3)sineq \f(α2＋α3,3)＝cseq \f(α1＋α2＋α3,3)＝cseq \f(4π,3)＝－eq \f(1,2).]


4．已知sin α＝eq \f(\r(5),5)，cs α＝eq \f(2\r(5),5)，则tan eq \f(α,2)等于________．


eq \r(5)－2 [因为sin α＝eq \f(\r(5),5)>0，cs α＝eq \f(2\r(5),5)>0，


所以α的终边落在第一象限，eq \f(α,2)的终边落在第一、三象限．所以tan eq \f(α,2)>0，故tan eq \f(α,2)＝eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))＝eq \r(\f(1－\f(2\r(5),5),1＋\f(2\r(5),5)))＝eq \r(5)－2.]


5．如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为eq \f(π,3)的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．





[解] 在直角三角形OBC中，OB＝cs α，BC＝sin α.


在直角三角形OAD中，eq \f(DA,OA)＝tan 60°＝eq \r(3).


∴OA＝eq \f(\r(3),3)DA＝eq \f(\r(3),3)sin α，


∴AB＝OB－OA＝cs α－eq \f(\r(3),3)sin α.


设矩形ABCD的面积为S，则


S＝AB·BC＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs α－\f(\r(3),3)sin α))sin α


＝sin αcs α－eq \f(\r(3),3)sin2α


＝eq \f(1,2)sin 2α－eq \f(\r(3),6)(1－cs 2α)


＝eq \f(1,2)sin 2α＋eq \f(\r(3),6)cs 2α－eq \f(\r(3),6)


＝eq \f(1,\r(3))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin 2α＋\f(1,2)cs 2α))－eq \f(\r(3),6)


＝eq \f(1,\r(3))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,6)))－eq \f(\r(3),6).


∵0<α

∴当2α＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即α＝eq \f(π,6)时，S取最大值eq \f(\r(3),6).


∴当α＝eq \f(π,6)时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为eq \f(\r(3),6).