高中数学苏教版 (2019)必修 第二册第11章 解三角形11.1 余弦定理优秀当堂检测题

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册第11章 解三角形11.1 余弦定理优秀当堂检测题，共4页。

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一、选择题


1．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于( )


A．30° B．60°


C．120°D．150°


B [∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，


∴b2＋c2－a2＝bc，


∴cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(1,2)，∴A＝60°.]


2．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cs C＝eq \f(13,14)，则最大角的余弦值是( )


A．－eq \f(1,5)B．－eq \f(1,6)


C．－eq \f(1,7)D．－eq \f(1,8)


C [由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcs C＝82＋72－2×8×7×eq \f(13,14)＝9，所以c＝3，故a最大，


所以最大角的余弦值为cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(72＋32－82,2×7×3)＝－eq \f(1,7).]


3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq \f(c2－a2－b2,2ab)>0，则△ABC( )


A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形


C．一定是钝角三角形D．是锐角或直角三角形


C [由eq \f(c2－a2－b2,2ab)>0得－cs C>0，所以cs C<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形．]


4．已知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( )


A．90°B．120°


C．135° D．150°


B [设最小边为5，则三角形的三边分别为5,7,8，设边长为7的边对应的角为θ，则由余弦定理可得49＝25＋64－80cs θ，解得cs θ＝eq \f(1,2)，∴θ＝60°.则最大角与最小角的和为180°－60°＝120°.]


5．已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝1，b＝3，则c的取值范围是( )


A．(2,4) B．(2eq \r(2)，3]


C．[3，eq \r(10))D．(2eq \r(2)，eq \r(10))


D [由题意得20，且c2＋1－9>0，且1＋9－c2>0, 所以2eq \r(2)

二、填空题


6．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.


0 [∵b2＝a2＋c2－2accs B＝a2＋c2－2accs 120°


＝a2＋c2＋ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝0.]


7．在△ABC中，若b＝1，c＝eq \r(3)，C＝eq \f(2π,3)，则a＝________.


1 [∵c2＝a2＋b2－2abcs C，∴(eq \r(3))2＝a2＋12－2a×1×cs eq \f(2π,3)，∴a2＋a－2＝0，即(a＋2)(a－1)＝0，∴a＝1，或a＝－2(舍去)．∴a＝1.]


8．在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，则AC边上的中线长为________．


7 [由条件知：cs A＝eq \f(AB2＋AC2－BC2,2·AB·AC)＝eq \f(92＋82－72,2×9×8)＝eq \f(2,3)，


设中线长为x，由余弦定理知：


x2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(AC,2)))eq \s\up12(2)＋AB2－2·eq \f(AC,2)·ABcs A＝42＋92－2×4×9×eq \f(2,3)＝49，所以x＝7.


所以AC边上的中线长为7.]


三、解答题


9．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2eq \r(3)x＋2＝0的两根，2cs (A＋B)＝1.


(1)求角C的度数；


(2)求AB的长．


[解] (1)∵cs C＝cs [π－(A＋B)]＝－cs (A＋B)＝－eq \f(1,2)，且C∈(0，π)，∴C＝eq \f(2π,3).


(2)∵a，b是方程x2－2eq \r(3)x＋2＝0的两根，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝2\r(3)，,ab＝2，))


∴AB2＝b2＋a2－2abcs 120°＝(a＋b)2－ab＝10，


∴AB＝eq \r(10).


10．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，b＝eq \r(19)，求c.


[解] 在△ABC中，∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，


∴B＝60°.


由余弦定理，


得b2＝a2＋c2－2accs B＝(a＋c)2－2ac (1＋cs B)


(eq \r(19))2＝82－2aceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2)))，


∴ac＝15，∵a＋c＝8, 解得c＝3或5.





1．在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且b2＝ac，则B的取值范围是( )


A．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))) B．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，π))


C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，π))


A [cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(a－c2＋ac,2ac)


＝eq \f(a－c2,2ac)＋eq \f(1,2)≥eq \f(1,2)，


∵0

2．(多选题)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2＋c2－b2))tan B＝eq \r(3)ac，则角B的值为( )


A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,3) C．eq \f(5π,6) D．eq \f(2π,3)


BD [根据余弦定理可知a2＋c2－b2＝2accsB，


代入化简可得2accsB·eq \f(sinB,csB)＝eq \r(3)ac, 即sinB＝eq \f(\r(3),2)，


因为0

3．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，则第三边c的长为________．


4 [5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0，


∴x1＝eq \f(3,5)，x2＝－2(舍去)，∴cs C＝eq \f(3,5).


根据余弦定理，


c2＝a2＋b2－2abcs C＝52＋32－2×5×3×eq \f(3,5)＝16，


∴c＝4，即第三边长为4.]


4．△ABC为钝角三角形，a＝3，b＝4，c＝x，则x的取值范围是________.


(1，eq \r(7))∪(5,7) [①若x>4，则x所对的角为钝角，


∴eq \f(32＋42－x2,2×3×4)<0且x<3＋4＝7，∴5

②若x<4，则4对的角为钝角，


∴eq \f(32＋x2－42,2×3×x)<0且3＋x>4，∴1

∴x的取值范围是(1，eq \r(7))∪(5,7)．]


5．在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求三边长．


[解] 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b＝4，,a＋c＝2b，)) 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝b＋4，,c＝b－4.))


∴a＞b＞c，∴A＝120°，


∴a2＝b2＋c2－2bccs 120°，


即(b＋4)2＝b2＋(b－4)2－2b(b－4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))，


即b2－10b＝0，解得b＝0(舍去)或b＝10.


当b＝10时，a＝14，c＝6.