苏教版 (2019)第10章 三角恒等变换10.3 几个三角恒等式一等奖ppt课件

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1.半角公式(1)公式:
(2)本质:①半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的.②半角公式给出了求 的正弦、余弦、正切的另一种方式,即只需知道cs α的值及相应α的条件,便可求出sin ,cs ,tan .(3)应用:①求值;②化简;③证明.
【思考】(1)半角公式中的正负号能否去掉?该如何选择?提示:不能.①若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两个符号;②若给出α的具体范围(即某一区间)时,则先求 所在范围,然后根据 所在范围选用符号.
(2)半角公式对α∈R都成立吗?为什么?提示:公式 对α∈R都成立,但公式 要求α≠(2k+1)π(k∈Z).
2.积化和差、和差化积公式(1)积化和差公式cs αcs β=______________________________________;sin αsin β=___________________________;sin αcs β=___________________________;cs αsin β= __________________________.
(2)和差化积公式sin x+sin y= ______________________;sin x-sin y= ______________________;cs x+cs y= ______________________;cs x-cs y= ______________________.
【思考】(1)积化和差公式是由什么公式推导出来的?提示:两角和与差的正弦、余弦公式.(2)和差化积公式是如何推导出来的?提示:如果令x=α+β,y=α-β ,则α= ,β= ,从而可以由积化和差公式得到和差化积公式.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1) (　　)(2)存在α∈R,使得cs cs α.(　　)(3)对于任意α∈R,sin sin α都不成立.(　　)(4)若α是第一象限角,则tan .(　　)(5)sin xsin y= [cs(x-y)-cs(x+y)].(　　)
提示:(1)×.只有当 (k∈Z),即-π+4kπ≤α≤π+4kπ(k∈Z)时, (2)√.当 时,上式成立,但一般情况下不成立.(3)×.当α=2kπ(k∈Z)时,上式成立,但一般情况下不成立.(4)√.若α是第一象限角,则 是第一、三象限角,此时tan 成立.(5)√.积化和差公式.
2.(教材二次开发:例题改编)若cs α= ,α∈(0,π),则cs 的值为(　　) 【解析】选C.由题意知 ∈ ,所以cs >0,
3.sin 20°·cs70°+sin10°·sin50°的值为(　　) 【解析】选B.sin20°·cs70°+sin10°·sin50°= + [cs(10°-50°)-cs(10°+50°)]= (sin90°-sin50°)+ (cs40°-cs60°)= - sin 50°+ cs 40°= - sin 50°+ sin 50°= .
4.设α∈(π,2π),则 等于________. 【解析】 因为α∈(π,2π),所以 所以sin >0,故原式=sin .答案:sin
类型一　求值问题(数学运算)【题组训练】1.设5π<θ<6π,cs =a,那么sin 等于(　　) 2.已知α∈ ,cs α= ,则tan =(　　)A.3B.-3C. D.-
3.已知tan α= ,且α为第一象限角,则sin 的值为(　　)A.- B. C.± D.±
【解析】1.选D.若5π<θ<6π,则 2.选D.因为α∈ ,且cs α= ,所以 , 3.选C.因为tan α= ,所以 .又sin2α+cs2α=1,所以 因为α为第一象限角,所以 为第一、三象限角,且 所以
【解题策略】利用半角公式求值的思路(1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常常借助半角公式求解.(2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围.
(3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用 其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,常先利用 计算.(4)下结论:结合(2)求值.
【补偿训练】已知 ,450°<α<540°,求sin α及tan 的值.【解析】 所以sin α= ,所以 所以 解得tan =2或 因为450°<α<540°,所以225°< <270°,所以tan >1,所以tan =2.综上可知sin α= ,tan =2.
类型二　三角函数式的化简(数学运算)【典例】化简:(180°<α<360°).【思路导引】利用二倍角公式及半角公式解决,注意角度的范围.
【解析】原式= 又因为180°<α<360°,所以90°< <180°,所以cs <0,所以原式= =cs α.
【解题策略】 化简问题中的“三变”(1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式.(2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.(3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径.如升幂、降幂、配方、开方等.
【跟踪训练】1.化简: π<α< .
【解析】原式因为π<α< ,所以 所以 所以原式
2.已知 <θ<2π,试化简: 【解析】因为 <θ<2π,所以 所以 从而sin +cs <0,sin -cs >0.所以原式=
【补偿训练】若α∈ ,则 等于(　　)A.cs α-sin α　　　　B.cs α+sin αC.-cs α+sin αD.-cs α-sin α【解析】选B.因为α∈ ,所以sin α<0,cs α>0,则 =|cs α|-|sin α|=cs α-(-sin α)=cs α+sin α.
类型三　恒等式的证明(逻辑推理)　角度1　绝对恒等式的证明 【典例】求证: 【思路导引】左边切化弦,通分,变形,直至与右边相等.
【证明】因为左边= =cs αsin cs = sin αcs α= sin 2α=右边.所以原式成立.
【变式探究】若本例变为:求证: =tan x,试证明.【证明】因为左边= =sin x· =tan x=右边,所以原式成立.
角度2　条件恒等式的证明 【典例】已知0<α< ,0<β< ,且3sin β=sin(2α+β),4tan =1-tan2 .求证:α+β= .【思路导引】结合已知条件,求α+β的某个三角函数值,进而求出角的大小.
【证明】因为3sin β=sin(2α+β),即3sin(α+β-α)=sin(α+β+α),所以3sin(α+β)cs α-3cs(α+β)sin α=sin(α+β)cs α+cs(α+β)sin α,所以2sin(α+β)cs α=4cs(α+β)sin α,所以tan(α+β)=2tan α.又因为4tan =1-tan2 ,
所以tan α= ,所以tan(α+β)=2tan α=1.因为α+β∈ ,所以α+β= .
【解题策略】(1)证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异,有目的的化繁为简、左右归一.(2)三角恒等式的证明主要有两种类型:绝对恒等式与条件恒等式.①证明绝对恒等式要根据等式两边的特征,化繁为简,左右归一,通过三角恒等式变换,使等式的两边化异为同.②条件恒等式的证明则要认真观察,比较已知条件与求证等式之间的联系,选择适当途径.常用代入法、消元法、两头凑等方法.
【题组训练】 1.求证:2sin4x+ sin22x+5cs4x- (cs 4x+cs 2x)=2(1+cs2x).
【证明】左边= =2(1+cs2x)=右边.所以原等式成立.
2.已知sin β=msin(2α+β)(m≠1),求证:tan(α+β)= tan α.
【证明】由β=(α+β)-α,2α+β=(α+β)+α得 即sin(α+β)cs α-cs(α+β)sin α 即(1-m)sin(α+β)cs α=(1+m)cs(α+β)sin α.两边同除以(1-m)cs(α+β)cs α,得tan(α+β)= tan α(m≠1),即原等式成立.
类型四　积化和差、和差化积公式的应用(逻辑推理)【典例】已知cs α-cs β= ,sin α-sin β=- ,求sin(α+β)的值.【思路导引】利用和差化积公式,对所求式子进行变形,利用所给条件求解.
【解析】因为cs α-cs β= ,所以 ①又因为sin α-sin β=- ,所以 ②因为sin ≠0,所以由①②,得-tan =- ,即tan = .所以sin(α+β)=
【解题策略】1.积化和差公式的功能与关键(1)功能:①把三角函数的一种形式(积的形式)转化为另一种形式(和差的形式).②将角度化为特殊角求值或化简,将函数式变形以研究其性质.(2)关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的三角函数相约或相消,从而化为特殊角的三角函数.
2.和差化积公式应用时的注意事项(1)在应用和差化积公式时,必须是一次同名三角函数方可施行,若是异名,必须用诱导公式化为同名,若是高次函数,必须用降幂公式降为一次.(2)根据实际问题选用公式时,应从以下几个方面考虑:①运用公式之后,能否出现特殊角;②运用公式之后,能否提取公因式,能否约分,能否合并或消项.
【跟踪训练】求sin220°+cs250°+sin 20°cs 50°的值.【解析】原式= (sin 70°-sin 30°)=1+ (cs 100°-cs 40°)+ sin 70°- = (-2sin 70°sin 30°)+ sin 70°= sin 70°+ sin 70°= .
1.已知cs α= ,α∈ ,则sin 等于(　　) 【解析】选A.由题知 ,所以sin >0,sin =
2.已知sin α-cs α=- ,则sin 2α的值为(　　) 【解析】选C.因为sin α-cs α=- ,(sin α-cs α)2=1-2sin α·cs α=1-sin 2α= ,所以sin 2α=- .
3. 的值为(　　) 【解析】选C.原式=
4.函数y= sin 2x+cs2x的最小正周期为________. 【解析】因为y= sin 2x+cs2x= sin 2x+ cs 2x+ = 所以函数的最小正周期T= =π.答案:π