高中数学苏教版 (2019)必修 第二册11.2 正弦定理优秀巩固练习

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册11.2 正弦定理优秀巩固练习，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．在△ABC中，b＋c＝eq \r(2)＋1，C＝45°，B＝30°，则( )


A．b＝1，c＝eq \r(2) B．b＝eq \r(2)，c＝1


C．b＝eq \f(\r(2),2)，c＝1＋eq \f(\r(2),2)D．b＝1＋eq \f(\r(2),2)，c＝eq \f(\r(2),2)


A [∵eq \f(b＋c,sin B＋sin C)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(\r(2)＋1,sin 45°＋sin 30°)＝2，∴b＝1，c＝eq \r(2).]


2．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有( )


A．无解B．两解


C．一解D．解的个数不确定


B [∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，


∴sin B＝eq \f(b,a)sin A＝eq \f(24,18)sin 45°＝eq \f(2\r(2),3)＞eq \f(\r(2),2).


又∵a＜b，∴B有两个解，即此三角形有两解．]


3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝eq \r(3)bsin A，则sin B＝( )


A．eq \r(3) B．eq \f(\r(3),3) C．eq \f(\r(6),3) D．－eq \f(\r(6),3)


B [由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，


所以sin A＝eq \r(3)sin Bsin A，故sin B＝eq \f(\r(3),3).]


4．在△ABC中，A＝60°，a＝eq \r(13)，则eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)等于( )


A．eq \f(8\r(3),3) B．eq \f(2\r(39),3)


C．eq \f(26\r(3),3)D．2eq \r(3)


B [由a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C得eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝2R＝eq \f(a,sin A)＝eq \f(\r(13),sin 60°)＝eq \f(2\r(39),3).]


5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝eq \f(π,2)，a＝eq \r(6)，sin2B＝2sin Asin C，则△ABC的面积S＝( )


A．eq \f(3,2)B．3


C．eq \r(6)D．6


B [由sin2B＝2sin Asin C及正弦定理，得b2＝2ac，①


又B＝eq \f(π,2)，所以a2＋c2＝b2.②


联立①②解得a＝c＝eq \r(6)，所以S＝eq \f(1,2)×eq \r(6)×eq \r(6)＝3.]


二、填空题


6．下列条件判断三角形解的情况，正确的是________(填序号)．


①a＝8，b＝16，A＝30°，有两解；


②b＝18，c＝20，B＝60°，有一解；


③a＝15，b＝2，A＝90°，无解；


④a＝40，b＝30，A＝120°，有一解．


④ [①中a＝bsin A，有一解；②中csin Bb，有一解；④中a>b且A＝120°，有一解．综上，④正确．]


7．已知三角形ABC的三边为a，b，c和面积S＝a2－(b－c)2，则cs A＝________.


eq \f(15,17) [由已知得S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc


＝－2bccs A＋2bc.


又S＝eq \f(1,2)bcsin A，∴eq \f(1,2)bcsin A＝2bc－2bccs A．


∴4－4cs A＝sin A，平方得17cs2A－32cs A＋15＝0.


∴(17cs A－15)(cs A－1)＝0.


∴cs A＝1(舍去)或cs A＝eq \f(15,17).]


8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cs A＝eq \f(4,5)，cs C＝eq \f(5,13)，a＝1，则b＝________.


eq \f(21,13) [在△ABC中，由cs A＝eq \f(4,5)，cs C＝eq \f(5,13)，可得sin A＝eq \f(3,5)，sin C＝eq \f(12,13)，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acs C＋cs Asin C＝eq \f(63,65)，由正弦定理得b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(21,13).]


三、解答题


9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝eq \r(3)acs B．


(1)求角B的大小；


(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．


[解] (1)由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝2R，R为△ABC外接圆半径．


又bsin A＝eq \r(3)acs B，


所以2Rsin Bsin A＝eq \r(3)·2Rsin Acs B．


又sin A≠0，


所以sin B＝eq \r(3)cs B，所以tan B＝eq \r(3).


又因为0

(2)由sin C＝2sin A及eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，得c＝2a.


由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B，


得9＝a2＋c2－ac，


所以a2＋4a2－2a2＝9，


解得a＝eq \r(3)，故c＝2eq \r(3).


10．在△ABC中，已知c＝10，eq \f(cs A,cs B)＝eq \f(b,a)＝eq \f(4,3)，求a，b及△ABC的内切圆半径．


[解] 由正弦定理知eq \f(sin B,sin A)＝eq \f(b,a)，


∴eq \f(cs A,cs B)＝eq \f(sin B,sin A).


即sin Acs A＝sin Bcs B，


∴sin 2A＝sin 2B．


又∵a≠b且A，B∈(0，π)，


∴2A＝π－2B，即A＋B＝eq \f(π,2).


∴△ABC是直角三角形且C＝eq \f(π,2)，


由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝102，,\f(b,a)＝\f(4,3)，))得a＝6，b＝8.


∴内切圆的半径为r＝eq \f(a＋b－c,2)＝eq \f(6＋8－10,2)＝2.





1．在△ABC中，A＝eq \f(π,3)，BC＝3，则△ABC的两边AC＋AB的取值范围是( )


A．[3eq \r(3)，6]B．(2,4eq \r(3))


C．(3eq \r(3)，4eq \r(3))D．(3,6]


D [∵A＝eq \f(π,3)，∴B＋C＝eq \f(2,3)π.


∴AC＋AB＝eq \f(BC,sin A)(sin B＋sin C)


＝eq \f(3,\f(\r(3),2))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin B＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)π－B))))


＝2eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)sin B＋\f(\r(3),2)cs B))


＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,6)))，


∴B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)π))，


∴B＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5,6)π))，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,6)))∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，


∴AC＋AB∈(3,6]．]


2．(多选题)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是( )


A．若tan A＋tan B＋tan C>0，则△ABC是锐角三角形


B．若acs A＝bcs B，则△ABC是等腰直角三角形


C．若bcs C＋ccs B＝b，则△ABC是直角三角形


D．若eq \f(a,cs A)＝eq \f(b,cs B)＝eq \f(c,cs C)，则△ABC是等边三角形


AD [对于A，∵tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)，


∴tan A＋tan B＋tan C＝tan (A＋B)(1－tan Atan B)＋tan C＝－tan Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－tan Atan B))＋tan C＝tan Atan Btan C>0，


又由A，B，C是△ABC的内角，故内角都是锐角，故A正确；


对于B，若acs A＝bcs B，则sin Acs A＝sin Bcs B，则2sin Acs A＝2sin Bcs B，则


sin2A＝sin2B，则A＝B或A＋B＝90°，△ABC是等腰三角形或直角三角形，故B错误；


对于C，bcs C＋ccs B＝b，sin B＝sin Bcs C＋sin Ccs B＝sin(B＋C)＝sin A，即A＝B，则△ABC是等腰三角形，故C不正确；


对于D，若eq \f(a,cs A)＝eq \f(b,cs B)＝eq \f(c,cs C)，则eq \f(sin A,cs A)＝eq \f(sin B,cs B)＝eq \f(sin C,cs C)，则tan A＝tan B＝tan C，


A＝B＝C，即△ABC是等边三角形，故D正确．故选AD．]


3．在Rt△ABC中，C＝90°，且A，B，C所对的边a，b，c满足a＋b＝cx，则实数x的取值范围是________．


(1，eq \r(2)] [∵a＋b＝cx，∴x＝eq \f(a＋b,c)＝eq \f(sin A＋sin B,sin C)＝sin A＋cs A＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,4))).


∵A∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴A＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3,4)π))，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,4)))∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))，∴x∈(1，eq \r(2)]．]


4．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sin B＝________.


eq \f(3\r(3),14) [由正弦定理，得eq \f(AB,sin C)＝eq \f(BC,sin A)，即sin C＝eq \f(AB·sin A,BC)＝eq \f(5sin 120°,7)＝eq \f(5\r(3),14).


可知C为锐角，∴cs C＝eq \r(1－sin2C)＝eq \f(11,14).


∴sin B＝sin(180°－120°－C)＝sin(60°－C)＝sin 60°·cs C－cs 60°·sin C＝eq \f(3\r(3),14).]


5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csin A＝acs C．


(1)求角C的大小；


(2)求eq \r(3)sin A－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,4)))的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．


[解] (1)由正弦定理及已知条件得sin Csin A＝sin Acs C．因为00，从而sin C＝cs C，则C＝eq \f(π,4).


(2)由(1)知，B＝eq \f(3π,4)－A，于是eq \r(3)sin A－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,4)))＝eq \r(3)sin A－cs(π－A)＝eq \r(3)sin A＋cs A＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,6))).


因为0

从而当A＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即A＝eq \f(π,3)时，2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,6)))取得最大值2.


综上所述，eq \r(3)sin A－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,4))) 的最大值为2，此时A＝eq \f(π,3)，B＝eq \f(5π,12).