专题13 坐标系与参数方程-2021届高考数学重点专题强化卷
展开2021届高考数学重点专题强化卷
专题13 坐标系与参数方程
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．椭圆上的点到直线的距离的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
设点的坐标为，其中，
则点到直线的距离
，当时，等号成立.
因为，所以.
所以当时，取得最小值.
故选：C.
2．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线变为曲线，则曲线的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：由题意，点在曲线上，
，
又，，
所以曲线的对称中心是.
故选：B
3．当时，参数方程（t为参数）表示的图形是（ ）
A．双曲线的一部分 B．椭圆（去掉一个点）
C．抛物线的一部分 D．圆（去掉一个点）
【答案】B
【详解】
时，可令，即有：
，即，
∴，不过点，
故选：B
4．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝k（x+1）与曲线（θ为参数）在第一象限恰有两个不同的交点，则实数k的取值范围为（ ）
A．（0，1） B．（0，） C．[，1） D．
【答案】D
【详解】
对曲线的方程消参可得：，即，，
作图如下：
若直线与曲线在第一象限内相切时，设其斜率为，
设直线与曲线在第一象限的切点为，且
因为，，故可得，
则，即，解得（舍去）.
故此时切点坐标为，对应直线的斜率.
当直线过点时，设其斜率为，
故可得.
数形结合可知，当直线与曲线C在第一象限内有两个交点时，
斜率的取值范围为，即为.
故选：.
5．（理）在极坐标系中,圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）
A． 和 B．和
C．和 D．和
【答案】B
【详解】
如图所示，在极坐标系中圆是以为圆心，1为半径的圆．
故圆的两条切线方程的普通方程分别为，
所以圆的两条切线方程的极坐标方程分别为，．
故选：．
6．已知直线与圆，则上各点到的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
将圆化成在平面直角坐标系下的形式，
圆 ，圆心 为 ，半径 .
已知直线，那么，圆心到直线的距离为 ，故直线与圆相离，所以上各点到的距离的最小值为.
故选：A.
7．已知在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为 ，M是曲线C上的动点．以原点O为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，若曲线的极坐标方程为，则点M到点T的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由曲线的极坐标方程为，可得曲线的直角坐标方程为，
由于点为曲线的一个动点，故设点，
则点到直线的距离：
所以当时，距离最大 ，点到直线的距离的最大值为；
故答案选A
8．已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴非负半轴建立平面直角坐标系，则曲线经过伸缩变换后，得到的曲线是（ ）
A．直线 B．椭圆 C．圆 D．双曲线
【答案】C
【详解】
解：由极坐标方程，
可得：，即，
曲线经过伸缩变换，可得，代入曲线可得：，
∴伸缩变换得到的曲线是圆．
故选：C．
9．在极坐标系中，已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，则圆的极坐标方程为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
在中，令，得，
所以圆的圆心坐标为（2，0）.
因为圆经过点，
所以圆的半径，
于是圆过极点，
所以圆的极坐标方程为.
故选A
10．点对应的复数为，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
分析：先求出点P的直角坐标，P到原点的距离r，根据点P的位置和极角的定义求出极角，从而得到点P的极坐标．
详解：点P对应的复数为，则点P的直角坐标为，点P到原点的距离，
且点P第二象限的平分线上，故极角等于，故点P的极坐标为，
故选A．
点睛：本题考查把直角坐标化为极坐标的方法，复数与复平面内对应点间的关系，求点P的极角是解题的难点．
11．已知圆的方程为，点是圆上的任一点，则不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：令，，，
，
令，
则，，
令，
当时，，
因为不等式恒成立，
所以，
即，解得：，
所以实数的取值范围为.
故选：C
12．在直角坐标系中，曲线的方程为：，直线的参数方程为：（为参数），若直线与曲线相交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
把代入，得，整理，得，所以
因为为MN中点，所以，即，得，
所以，故选D。
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．在极坐标系中，已知，，则，两点之间的距离为__________．
【答案】
【详解】
根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，点，的直角坐标为： ，
故答案为．
14．在极坐标系中，曲线的方程为，直线的方程为，，若与交于，两点，为极点，则________．
【答案】
【详解】
由题可得，曲线C的直角坐标方程为，
即，
故曲线C表示一个落在第一象限的圆，
则可设，，
由，可得，
从而，
即，
故．
故答案为：.
15．若直线始终平分曲线的周长，则的最小值为______.
【答案】
【详解】
消去曲线的参数可得，可知该曲线是以为圆心，半径为1的圆，
因为直线始终平分该圆周长，则圆心在直线上，
代入得，
，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：.
【点睛】
本题考查直线与圆的关系，考查基本不等式求最值，属于中档题.
16．在平面直角坐标系中，圆，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，直线的极坐标方程为，直线交圆于两点，为中点.若，则________.
【答案】或
【详解】
由题意圆的一般方程为，化为极坐标方程，
将代入得，成立，
设对应的极径是，则，，∴，
∴，
，，
，∴（舍去），
又，∴或．
∴或．
故答案为：或．
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17（10分）．已知圆的极坐标方程为：．
（1）将极坐标方程化为普通方程；
（2）若点在该圆上，求的最大值和最小值．
【答案】（1）；（2）最大值为3，最小值为．
【详解】
解：（1）由圆的极坐标方程为：，
可得，
即，
所以直角坐标方程为．
（2）圆的方程为，
所以圆的参数方程为（为参数，），
因为点在该圆上，所以，
所以
∵，∴的最大值为1，最小值为，
所以的最大值为3，最小值为．
18（12分）．在平面直角坐标系中，直线的方程为：，直线上一点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求出曲线的直角坐标方程并指出曲线是什么曲线；
（2）直线与曲线相交于、两点，求的值.
【答案】（1），圆；（2）.
【详解】
（1）曲线是一个圆.
由得，
即，整理得.
（2）易知直线的斜率为，所以其倾斜角，
所以直线的参数方程为（为参数）.
将直线的参数方程代入曲线中整理得：
，易得，设该方程的两根分别为和，
则，，
所以.
19（12分）．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，圆的方程为.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线及圆的极坐标方程；
（2）若直线与圆交于两点，求的值.
【答案】（1），；（2） .
【详解】
解：（1）由直线的参数方程，
得其普通方程为，
∴直线的极坐标方程为.
又∵圆的方程为，
将代入并化简得，
∴圆的极坐标方程为.
（2）将直线：，
与圆：联立，得
，
整理得，∴.
不妨记点A对应的极角为，点B对应的极角为，且.
于是，.
20（12分）．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数且)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线上的点的极径的最小值；
（2）直线(为参数)，已知点，若直线与曲线有唯一公共点，求.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）对曲线消去参数，得，
化为极坐标方程为，其中，
所以，
当时取等号，所以；
（2）将直线的参数方程代入中并整理，
得，
解得，
因为该直线过点，
所以.
21（12分）．已知曲线，是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点绕点逆时针旋转得到点，设点的轨迹方程为曲线.
（Ⅰ）求曲线，的极坐标方程；
（Ⅱ）射线与曲线，分别交于，两点，定点，求的面积.
【答案】（1）：，：（2）
【详解】
（1）曲线，把公式代入可得：
曲线的极坐标方程为.
设，则，则有.
所以，曲线的极坐标方程为.
（2）到射线的距离为，
射线与曲线交点，
射线与曲线交点
∴
故
22（12分）．在直角坐标系中，直线的参数方程为，，（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为.
求证：直线与圆必有两个公共点；
已知点的直角坐标为，直线与圆交于，两点，若，求的值.
【答案】证明见解析；.
【详解】
解：由，，得曲线的直角坐标方程为.
方法一：将代入，
得，
，
方程有两个不等的实数解.
直线与圆必有两个公共点.
方法二：直线过定点，在圆内，
直线与圆必有两个公共点.
记，两点对应的参数分别为，，
由可知，，
，
.
