专题12 复数-2021届高考数学重点专题强化卷

2021届高考数学重点专题强化卷专题12 复数一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．已知复数满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意可得：，则.故选A.2．（   ）A． B．4 C． D．【答案】D【详解】由复数的运算法则可得：.本题选择D选项.3．已知复数满足，则的最大值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】设，则，所以，复数在复平面内对应的点的轨迹方程为，如下图所示：圆的圆心坐标为，半径长为，表示圆上的点到定点的距离，因此，的最大值为.故选：A.4．复数的虚部为（    ）A．0 B． C．1 D．2【答案】C【详解】，故复数的虚部为.故选：C.5．已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则的共轭复数为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】复数，在复平面内对应的点分别为，，故，，，故.故选：.6．已知复数满足，其中是虚数单位，则复数在复平面中对应的点到原点的距离为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意知复数在复平面中对应的点到原点的距离为故选：B7．已知复数，在复平面内对应的点关于虚轴对称，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可得：，则.故选D.8．设有下面四个命题，其中的真命题为（   ）A．若复数，则 B．若复数满足，则或C．若复数满足，则 D．若复数满足，则【答案】A【详解】设,则由，得,因此,从而A正确；设, , 则由，得,从而B错误；设, 则由，得，因此C错误；设, , 则由，得，因此D错误；综上选A.9．设，则“”是“复数为纯虚数”的(　　)A．充分必要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：先化简“复数为纯虚数”，再利用充要条件的定义判断.详解：因为复数为纯虚数，所以因为“x=1”是“x=1”的充要条件，所以“”是“复数为纯虚数”的充分必要条件.故答案为A.点睛：（1）本题主要考查纯虚数的概念，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数为纯虚数不要把下面的b≠0漏掉了.10．已知复数在复平面上对应的点为，则A．是实数 B．是纯虚数C．是实数 D．是纯虚数【答案】C【解析】由题意得复数z=1−i，所以z+1=2−i，不是实数，所以选项A错误；也不是纯虚数，所以选项B错误；=1是实数，所以选项C正确；不是纯虚数，所以选项D错误.故选C．11．设复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（ ）A．    B．5    C．    D．【答案】A【解析】试题分析：∵在复平面内关于虚轴对称，，∴，∴.考点：复平面与复数的运算.12．已知复数，且，则的最大值为（　　）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：∵复数，且，∴，∴．设圆的切线，则，化为，解得．∴的最大值为．故选C．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）13．设复数满足，使得关于的方程有实根，则这样的复数的和为________【答案】【详解】解：设，（且）则原方程变为所以，①且，②；（1）若，则解得，当时①无实数解，舍去；从而，此时，故满足条件；（2）若，由②知，或，显然不满足，故，代入①得，所以综上满足条件的所以复数的和为故答案为：14．已知复数，且满足（其中为虚数单位），则____.【答案】【详解】，所以，所以.故答案为：-815．已知复数在复平面上对应的点在曲线上运动，则的最小值等于__________.【答案】2【详解】设，则，当且仅当时取等号，故答案为：2．16．对于给定的复数，若满足的复数对应的点的轨迹是椭圆，则的取值范围是________【答案】.【详解】由于满足条件的复数对应的点的轨迹是椭圆，则，即复数在复平面内对应的点到点的距离小于，所以，复数在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，半径长为的圆的内部，的取值范围是，故答案为.三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17（10分）．在复平面内复数、所对应的点为、，为坐标原点，是虚数单位.（1），，计算与；（2）设，（），求证：，并指出向量、满足什么条件时该不等式取等号.【答案】（1），；（2）证明详见解析，当时.【详解】解：（1），所以证明（2），，，所以，当且仅当时取“”，此时.18（12分）．设虚数z满足．（1）计算的值；（2）是否存在实数a，使？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）存在，【详解】解：（1）设则∵∴∴∴∴∴（2）设假设存在实数a使则有∴∵∴由（1）知∴19（12分）．复数，满足的虚部是2，对应的点A在第一象限.（1）求；（2）若在复平面上对应点分别为，求.【答案】（1）z=1+i,（2）【解析】试题分析; （1）利用已知条件列出方程组求解即可．（2）求出复数的对应点的坐标，然后通过三角形求解即可．试题解析:（1）依题意得，结合x>0,y>0知，x=1,y=1（2）由（1）值z=1+i, , 所以A（1,1），B（0,2），C（1，-1）有AB=，AC=2，BC= 由余弦定理可得cos∠ABC=20（12分）．设虚数满足为实常数，，为实数）.（1）求的值； （2）当，求所有虚数的实部和；（3）设虚数对应的向量为（为坐标原点），，如，求的取值范围.【答案】（1）（2）见解析（2）见解析【详解】解：（1）是虚数，则，， （或）（2）是虚数，则，的实部为；当 当（3）解：①恒成立，由得，当时，；当时，. ②如则当 当21（12分）．已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根，，且（为虚数单位），，求实数的值．【答案】或【解析】略由题设，得，，方程的两虚根为，，于是，由，得或．22（12分）．复数（）.（1）若为纯虚数求实数的值，及在复平面内对应的点的坐标；（2）若在复平面内对应的点位于第三象限，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）.【详解】解：因为，所以（1）若为纯虚数，则，解得：，此时，在复平面内对应的点的坐标为：，所以为纯虚数时实数，在复平面内对应的点的坐标为：（2）若在复平面内对应的点位于三象限，则，解得所以在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围：.