专题1 集合与常用逻辑用语-2021届高考数学重点专题强化卷
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专题1 集合与常用逻辑用语
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知集合，， 那么等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
由题意．
故选：A．
2．已知全集为实数集，集合，，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
,
，
.
故选：C.
3．给出下列两个命题：命题：空间任意三个向量都是共面向量；命题：“”是“”的充要条件，那么下列命题中为真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
平行于同一平面的向量叫共面向量，故空间任意三个向量不一定都是共面向量，例如在三条两两垂直的直线上取向量，则不共面，故命题错，为假命题；
由解得，由解得，故“”不是“”的充要条件，故命题错，为假命题；
所以为真命题.
故，，为假命题，为真命题
故选:D.
4．已知等比数列的首项，公比为，前项和为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
由S3+S5＞2S4，可得a5＞a4，由等比数列的通项公式得 ，且，所以，得q＞1或∴“q＞1”是“S3+S5＞2S4”的充分不必要条件．
故选A．
5．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
依题意
，
则，
当时，，故函数在上单调递增，
当时，；
而函数在上单调递减，
故，
则只需，
故，解得，
故实数的取值范围为.
故选：C.
6．下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．，使得成立．
B．命题：任意，都有，则：存在，使得．
C．命题“若且，则且”的逆命题为真命题．
D．若数列是等比数列，则是的必要不充分条件．
【答案】D
【详解】
由，得，其判别式，此方程无解，故A选项错误.对于B选项，全称命题的否定是特称命题，应改为，故B选项错误.对于C选项，原命题的逆命题是“若且，则且”，如，满足且但不满足且，所以为假命题.对于D选项，若，为等比数列，，但；另一方面，根据等比数列的性质，若，则.所以是的必要不充分条件.故选D.
7．若，都是正整数，则成立的充要条件是
A． B．，至少有一个为1 C． D．且
【答案】B
【解析】
,当时,不等式成立,故排除三个选项,所以选.
8．高二一班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，物理、化学只选一科的学生都至少6人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】C
【详解】
把学生50人看出一个集合，选择物理科的人数组成为集合，
选择化学科的人数组成集合，选择生物颗的人数组成集合，
要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多，
除这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，
则其它个选择人数均为最少，即得到单选物理的最少6人，
单选化学的最少6人，单选化学、生物的最少3人，
单选物理、生物的最少3人，单选生物的最少4人，
以上人数最少42人，可作出如下图所示的韦恩图，
所以单选物理、化学的人数至多8人，
所以至多选择选择物理和化学这两门课程的学生人数至多人.
故选：C.
9．设集合，，记，则点集所表示的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题意得圆的圆心在圆上，当变化时，该圆绕着原点转动，集合A表示的区域是如图所示的环形区域．
由于原点到直线的距离为，所以直线恰好与圆环的小圆相切．
所以表示的是直线截圆环的大圆所得的弦长．
故点集所表示的轨迹长度为．选D．
10．已知命题：直线与直线之间的距离不大于1，命题：椭圆与双曲线有相同的焦点，则下列命题为真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】试题分析：对于命题，将直线平移到与椭圆相切，设这条平行线的方程为，联立方程组，消去得.由得，所以，椭圆上的点到直线最近距离为直线与的距离，所以命题为假命题，于是为真命题.对于命题，椭圆与双曲线有相同的焦点，故为真命题.从而为真命题，故选B.
考点：复合命题的真假；椭圆的性质；双曲线的性质.
11．集合，且、、恰有一个成立，若且,则下列选项正确的是( )
A．, B．,
C．, D．,
【答案】B
【详解】
试题分析：从集合的定义，，可知满足不等关系且，或且，或且，或且，这样可能有或或或，于是，，选B．
考点：不等关系．
12．已知函数，其中表示不超过实数的最大整数，关于有下述四个结论：
①的一个周期是； ②是非奇非偶函数；
③在单调递减； ④的最大值大于．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④ B．②④ C．①③ D．①②
【答案】A
【详解】
因为，
所以的一个周期是，①正确；
又，④正确；
又，
，
所以，，所以是非奇非偶函数，所以②正确；
当时，，，所以，所以，所以③错误；
综上所以正确的结论的序号是①②④，
故选：A．
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．已知函数，若命题“，且，使得”是假命题，则实数的取值范围是 .
【答案】.
【解析】
试题分析：根据题意分析可知，问题等价于命题“，且，使得”是真命题，
当时，问题等价于，设，∴，
∴在上单调递增，在上单调递减，∴，∴，
当时，问题等价于，若：，∵，∴，故不等式显然成立，若：则，综上实数的取值范围是.
考点：1.命题及其关系；2.导数的运用；3.恒成立问题.
14．已知，，函数存在零点．若：“且”为真命题，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
由题意得，因为 ，即
当时，取得最小值，此时 取得最大值，最大值为，所以；
设，则，要是的在存在零点，
则，解得，
所以实数的取值范围是.
15．已知函数，记，若集合，且恒成立，则的取值范围是______
【答案】
【详解】
由
且
∴，且，
又且有：，
∴，
故，而
∴
∴，有
，有
故
若令，则，解得
∴，即，而
即，所以
故答案为：
16．设集合其中均为整数}，则集合_____..
【答案】M={0，1，3，4}.
【详解】
由得，则，且指数均为整数，因此右边一定为偶数，则左边即，且即.
为整数，则为2的约数，则，.故M={0，1，3，4}.
故答案为M={0，1，3，4}.
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17(10分)．已知 若是的必要非充分条件，求实数的取值范围．
【答案】
【解析】
试题分析：先解不等式，得，再因式分解得；由逆否命题等价性得是的必要非充分条件，即p,最后结合数轴得不等式，解得实数的取值范围
试题解析：
是的必要非充分条件，，即.
点睛：充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．
2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．
18（12分）．已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求实数a的取值范围.
【答案】（1）或；（2）.
【详解】
（1）当时，，或，
∴或；
（2）因为，
所以或，解得或，
所以a的取值范围是．
19（12分）．设集合，、是的两个非空子集，且满足集合中的最大数不大于集合中的最小数，记满足条件的集合对的个数为.
（1）求的值；
（2）求的表达式.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）当时，.
若，则的可能情况为：、、；
若或，则.
综上所述，；
（2）若集合中的最大元素为，则集合的其余元素可在、、、中任取若干个（包含不取），
此时，集合的个数为集合的子集个数，
集合中的元素只能在、、、、中任取若干个（至少取一个），
此时，集合的个数为集合的真子集个数，
所以，的个数为，
当依次取、、、、时，可分别得到集合对的个数，
因此，.
20（12分）．函数的定义域为,定义域为.
（1）求；
（2）若, 求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）要使函数有意义，
则需，即，
解得或，
所以；
（2）由题意可知，因为，所以，
由，可求得集合，
若，则有或，
解得或，
所以实数的取值范围是.
21（12分）．设，命题“方程有实数根”， 命题“对任意实数，恒成立”.
（1）若为真命题，求的最大值；
（2）若为真命题，且为假命题，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【详解】
（1）若为真命题, 则, 解得.
故的最大值是.
（2）若命题为真命题, 则解得.
若为真命题，且为假命题，则“真假”或“假真”，即
或,解得或
故的取值范围是.
22（12分）．（1）求解高次不等式的解集A；
（2）若的值域为B,AB=B求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【详解】
（1）①当时，原不等式成立．
②当时，原不等式等价于，
解得.
综上可得原不等式的解集为，
∴．
（2）由题意得函数在区间上单调递减，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，解得，
∴实数的取值范围是．
