还剩11页未读，
继续阅读
2019届二轮复习（文）第十章第5节 古典概型学案（全国通用）
展开
第5节 古典概型
最新考纲 1.了解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率．
知 识 梳 理
1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
3．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝．
4．古典概型的概率公式
P(A)＝．
[常用结论与微点提醒]
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．正确的判断试验的类型是解决概率问题的关键．
诊 断 自 测
1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．( )
(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．( )
(3)从－3，－2，－1，0，1，2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．( )
(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率．( )
解析 对于(1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2)，三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括正反与反正两个基本事件，所以(2)不正确；对于(4)，应利用几何概型求概率，所以(4)不正确．
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．(2016·北京卷)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( )
A. B. C. D.
解析 甲被选中的概率为P＝＝＝.
答案 B
3．(必修3P127例3改编)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( )
A. B. C. D.
解析 所有基本事件的个数为6×6＝36，点数之和为5的基本事件有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)共4个，故所求概率为P＝＝.
答案 B
4．从1，2，3，4，5，6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为奇数的概率是 ．
解析 和为奇数的两个数为一奇一偶，故所求概率为P＝＝＝.
答案
5．(2017·嘉兴一模)从3名男同学、2名女同学中任选2人参加知识竞赛，则选到的2名同学中至少有1名男同学的概率是 ．
解析 所求概率为P＝1－＝.
答案
6．(2018·温州模拟)在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学 中任选3门，若同学甲必选物理，则甲的不同选法种数为 ，乙、丙两名同学都选物理的概率是 ．
解析 同学甲必选物理，则甲的不同选法种数为：C＝15，
乙、丙两名同学从7门学 中任选3门，基本事件总数n＝CC，
乙、丙两名同学都选物理，包含的基本事件个数m＝CC，
∴乙、丙两名同学都选物理的概率是P＝＝＝.
答案 15
考点一 基本事件与古典概型的判断
【例1】 袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．
(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
解 (1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法．
又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，
故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型．
(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，
又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为，而白球有5个，
故一次摸球摸到白球的可能性为，
同理可知摸到黑球、红球的可能性均为，
显然这三个基本事件出现的可能性不相等，
所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型．
规律方法 古典概型需满足两个条件：①对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；②对于所有不同的试验结果而言，它们出现的可能性是相等的．
【训练1】 (1)下列问题中是古典概型的是( )
A．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率
B．掷一颗质地不均匀的骰子，求出现1点的概率
C．在区间[1，4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率
D．同时掷两颗骰子，求向上的点数之和是5的概率
(2)将一枚硬币抛掷三次共有 种结果．
解析 (1)A，B两项中的基本事件的发生不是等可能的；
C项中基本事件的个数是无限多个；
D项中基本事件的发生是等可能的，且是有限个．
(2)设出现正面为1，反面为0，则共有(1，1，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(1，0，0)，(0，1，1)，(0，1，0)，(0，0，1)，(0，0，0)8种结果．
答案 (1)D (2)8
考点二 简单的古典概型的概率
【例2】 (1)(2017·全国Ⅱ卷)从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )
A. B. C. D.
(2)(一题多解)(2017·山东卷)从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )
A. B. C. D.
解析 (1)从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：
基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，故所求概率P＝＝.
(2)法一 ∵9张卡片中有5张奇数卡片，4张偶数卡片，且为不放回地随机抽取，
∴P(第一次抽到奇数，第二次抽到偶数)＝×＝，
P(第一次抽到偶数，第二次抽到奇数)＝×＝.
∴P(抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝＋＝.
法二 依题意，得P(抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝＝.
答案 (1)D (2)C
规律方法 计算古典概型的概率可分三步：
(1)算出基本事件的总个数n；
(2)求出事件A所包含的基本事件个数m；
(3)代入公式求出概率P.解题时可根据需要灵活选择列举法、列表法或树形图法．
【训练2】 (1)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( )
A. B. C. D．1
(2)(2016·江苏卷)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ．
解析 (1)从袋中任取2个球共有C＝105种取法，其中恰好1个白球1个红球共有CC＝50种取法，所以所取的球恰好1个白球1个红球的概率为＝.
(2)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有36种，其中点数之和不小于10的有(6，6)，(6，5)，(6，4)，(5，6)，(5，5)，(4，6)，共6种，故所求概率为1－＝.
答案 (1)B (2)
考点三 复杂的古典概型的概率
【例3】 一个盒子里装有大小均匀的6个小球，其中有红球4个，编号分别为1，2，3，4，白球2个，编号分别为4，5，从盒子中任取3个小球(假设取到任何一个小球的可能性相同)．
(1)取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率为 ；
(2)在取出的3个小球中，小球编号最大值为4的概率为 ．
解析 (1)基本事件总数为n＝C＝20，
取出的3个小球中，含有编号为4的小球的基本事件个数为m＝CC＋CC＝16，
∴取出的3个球中，含有编号为4的小球的概率P＝＝＝.
(2)小球编号最大值为4的基本事件个数为CC＋CC＝9，
所以，小球编号最大值为4的概率P＝.
答案 (1) (2)
规律方法 (1)求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．
(2)注意区别排列与组合，以及计数原理的正确使用．
【训练3】 (2018·舟山调研)某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．
(1)A中学至少有1名学生入选代表队的概率为 ；
(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，则参赛女生人数不少于2人的概率为 ．
解析 (1)由题意，参加集训的男、女生各有6名．
参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝，
因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为
1－＝.
(2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A，记“参赛女生有2人”为事件B，“参赛女生有3人”为事件C.
则P(B)＝＝，P(C)＝＝.
由互斥事件的概率加法公式，
得P(A)＝P(B)＋P(C)＝＋＝，
故所求事件的概率为.
答案 (1) (2)
基础巩固题组
一、选择题
1．(2017·天津卷)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )
A. B. C. D.
解析 选取两支彩笔的方法有10种，含有红色彩笔的选法为4种，由古典概型公式，满足题意的概率P＝＝.
答案 C
2．集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )
A. B. C. D.
解析 从A，B中任意取一个数，共有C·C＝6种情形，两数和等于4的情形只有(2，2)，(3，1)两种，∴P＝＝.
答案 C
3．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是( )
A. B. C. D.
解析 从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件数有C＝10种．根据三角形三边关系能构成三角形的只有(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)共3个基本事件，故所求概率为P＝＝.
答案 A
4．(2018·杭州高级中学模拟)4封不同信件放入4个写好地址的信封中，其中全装错的概率为( )
A. B. C. D.
解析 将4封不同信件放入4个写好地址的信封中有A＝24种不同的放法．其中全装错有3×3＝9种不同的放法，所以由古典概型可知，全装错的概率为P＝＝.
答案 B
5．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为( )
A. B. C. D.
解析 由古典概型计算公式，所求概率为＝.
答案 C
6．(2017·台州调研)一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a>b，b
解析 选出一个三位数有A＝24种情况，取出一个凹数有C×2＝8种情况，所以，所求概率为P＝＝.
答案 C
7．如图，三行三列的方阵中有九个数aij(i＝1，2，3；j＝1，2，3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是( )
A. B. C. D.
解析 从九个数中任取三个数的不同取法共有C＝84种，因为取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有C·C·C＝6种，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1－＝.
答案 D
8.（2018·宁波调研）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（ ）
A. B. C. D.
解析 依题意，要使3位女生中有且只有两位女生相邻，需先将两名女生捆绑，然后排两名男生，最后将捆绑的两名女生与剩下的一名女生去插空，共有（CA）·A·A种排法，所求概率P＝＝.
答案 B
二、填空题
9.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 Ｗ.
解析 这两只球颜色相同的概率为＝，故两只球颜色不同的概率为1－＝.
答案
10.（2016·上海卷）某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为 Ｗ.
解析 甲同学从四种水果中选两种，选法种数有C，乙同学的选法种数为C，则两同学的选法种数为C·C，两同学各自所选水果相同的选法种数为C，由古典概型概率计算公式可得，甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为P＝＝.
答案
11.（2018·诸暨质检）用1，2，3，4，5这五个数字组成各位上数字不同的四位数，其中千位上是奇数，且相邻两位上的数之差的绝对值都不小于2（比如1 524）的概率＝ Ｗ.
解析 用1，2，3，4，5五个数字排成各位上数字不同的四位数，有A＝120个，而相邻两位上的数字之差的绝对值不小于2，且千位上是奇数的数有：1 352，1 425，1 524，3 142，3 152，3 514，3 524，5 142，5 241，5 314，共10个，故其概率为P＝＝.
答案
12.（一题多解）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）.
解析 法一 6节课的全排列为A种，相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的排法是：先排三节文化课，再利用插空法排艺术课，即为（ACAA＋2AA）种，由古典概型概率公式得P（A）＝＝.
法二 6节课的全排列为A种，先排三节艺术课有A种不同方法，同时产生四个空，再利用插空法排文化课共有A种不同方法，故由古典概型概率公式得P（A）＝＝.
答案
13.设集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P（a，b），记“点P（a，b）落在直线x＋y＝n上”为事件Cn（2≤n≤5，n∈N），若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为 Ｗ.
解析 点P的所有可能值为（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）.当n＝2时，P点可能是（1，1）；当n＝3时，P点可能是（1，2），（2，1）；当n＝4时，P点可能是（1，3），（2，2）；当n＝5时，P点可能是（2，3）.即事件C3，C4的概率最大，故n的所有可能值为3或4.
答案 3或4
能力提升题组
14.随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则（ ）
A.p1＜p2＜p3 B.p2＜p1＜p3
C.p1＜p3＜p2 D.p3＜p1＜p2
解析 随机掷两枚质地均匀的骰子，所有可能的结果共有36种.事件“向上的点数之和不超过5”包含的基本事件有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（4，1）共10种，其概率p1＝＝.事件“向上的点数之和大于5”与“向上的点数之和不超过5”是对立事件，所以“向上的点数之和大于5”的概率p2＝.因为朝上的点数之和不是奇数就是偶数，所以“点数之和为偶数”的概率p3＝.故p1
15.安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为（ ）
A. B. C. D.
解析 由题意，甲连续三天参加活动的所有情况为：第1 3天，第2 4天，第3 5天，第4 6天，共4种.
故所求事件的概率P＝＝.
答案 B
16.（2018·台州调考）有6个人入住某家庭旅馆的6个不同房间，其中有两个房间在一楼，两个房间在二楼，两个房间在三楼，若每人随机地入住这6个房间中的一个房间，则其中的甲、乙两人恰好在同一楼层的两个房间的概率为（ ）
A. B. C. D.
解析 每人随机入住这6个房间中的一个，共有A种不同入住方法，其中甲、乙两人恰好在同一楼层的两个房间的有3AA种，则所求概率为＝.
答案 B
17.高一某班级在学校数学嘉年华活动中推出了一款数学游戏，受到大家的一致追捧.游戏规则如下：游戏参与者连续抛掷一颗质地均匀的骰子，记第i次得到的点数为xi，若存在正整数n，使得x1＋x2＋…＋xn＝6，则称n为游戏参与者的幸运数字.
（1）游戏参与者的幸运数字为1的概率为 ；
（2）游戏参与者的幸运数字为2的概率为 Ｗ.
解析 （1）设“游戏参与者的幸运数字为1”为事件A，
由题意知x1＝6，抛掷了1次骰子，
相应的基本事件空间为ΩA＝{1，2，3，4，5，6}，共有6个基本事件，
而A＝{6}，只有1个基本事件，
所以P（A）＝.
（2）设“游戏参与者的幸运数字为2”为事件B，
由题意知x1＋x2＝6，抛掷了2次骰子，
相应的基本事件空间为ΩB＝{（x1，x2）|1≤x1≤6，1≤x2≤6，x1∈N，x2∈N}，共有36个基本事件，
而B＝{（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）}，共有5个基本事件，
所以P（B）＝.
答案 （1） （2）
18.（2018·金丽衢十二校二联）用黑白两种颜色随机地染如下表格中6个格子，每个格子染一种颜色，则有 个不同的染色方法，出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的概率为 .
解析 （1）用黑白两种颜色随机地染表格中的6个格，每个格子染一种颜色有26＝64种不同的染色方法；（2）分三类：第一类，第1格染黑色，第2格染白色，由表知有6种不同染法；第二类，第1，2格染黑色，第3格染白色，由表知有6种不同染法；第三类，当第1，2，3格均为黑色，则第4，5，6格中的颜色可任意选，共有23＝8种不同染法.综上，由分类加法计数原理知满足条件的不同染色共有6＋6＋8＝20种，故所求概率为＝.
黑
白
黑
白
黑
白
黑
黑
白
白
黑
白
白
黑
黑
黑
黑
黑
白
白
黑
白
黑
黑
白
白
黑
白
白
黑
黑
黑
答案 20
最新考纲 1.了解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率．
知 识 梳 理
1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
3．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝．
4．古典概型的概率公式
P(A)＝．
[常用结论与微点提醒]
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．正确的判断试验的类型是解决概率问题的关键．
诊 断 自 测
1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．( )
(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．( )
(3)从－3，－2，－1，0，1，2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．( )
(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率．( )
解析 对于(1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2)，三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括正反与反正两个基本事件，所以(2)不正确；对于(4)，应利用几何概型求概率，所以(4)不正确．
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．(2016·北京卷)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( )
A. B. C. D.
解析 甲被选中的概率为P＝＝＝.
答案 B
3．(必修3P127例3改编)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( )
A. B. C. D.
解析 所有基本事件的个数为6×6＝36，点数之和为5的基本事件有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)共4个，故所求概率为P＝＝.
答案 B
4．从1，2，3，4，5，6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为奇数的概率是 ．
解析 和为奇数的两个数为一奇一偶，故所求概率为P＝＝＝.
答案
5．(2017·嘉兴一模)从3名男同学、2名女同学中任选2人参加知识竞赛，则选到的2名同学中至少有1名男同学的概率是 ．
解析 所求概率为P＝1－＝.
答案
6．(2018·温州模拟)在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学 中任选3门，若同学甲必选物理，则甲的不同选法种数为 ，乙、丙两名同学都选物理的概率是 ．
解析 同学甲必选物理，则甲的不同选法种数为：C＝15，
乙、丙两名同学从7门学 中任选3门，基本事件总数n＝CC，
乙、丙两名同学都选物理，包含的基本事件个数m＝CC，
∴乙、丙两名同学都选物理的概率是P＝＝＝.
答案 15
考点一 基本事件与古典概型的判断
【例1】 袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．
(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
解 (1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法．
又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，
故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型．
(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，
又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为，而白球有5个，
故一次摸球摸到白球的可能性为，
同理可知摸到黑球、红球的可能性均为，
显然这三个基本事件出现的可能性不相等，
所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型．
规律方法 古典概型需满足两个条件：①对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；②对于所有不同的试验结果而言，它们出现的可能性是相等的．
【训练1】 (1)下列问题中是古典概型的是( )
A．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率
B．掷一颗质地不均匀的骰子，求出现1点的概率
C．在区间[1，4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率
D．同时掷两颗骰子，求向上的点数之和是5的概率
(2)将一枚硬币抛掷三次共有 种结果．
解析 (1)A，B两项中的基本事件的发生不是等可能的；
C项中基本事件的个数是无限多个；
D项中基本事件的发生是等可能的，且是有限个．
(2)设出现正面为1，反面为0，则共有(1，1，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(1，0，0)，(0，1，1)，(0，1，0)，(0，0，1)，(0，0，0)8种结果．
答案 (1)D (2)8
考点二 简单的古典概型的概率
【例2】 (1)(2017·全国Ⅱ卷)从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )
A. B. C. D.
(2)(一题多解)(2017·山东卷)从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )
A. B. C. D.
解析 (1)从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：
基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，故所求概率P＝＝.
(2)法一 ∵9张卡片中有5张奇数卡片，4张偶数卡片，且为不放回地随机抽取，
∴P(第一次抽到奇数，第二次抽到偶数)＝×＝，
P(第一次抽到偶数，第二次抽到奇数)＝×＝.
∴P(抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝＋＝.
法二 依题意，得P(抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝＝.
答案 (1)D (2)C
规律方法 计算古典概型的概率可分三步：
(1)算出基本事件的总个数n；
(2)求出事件A所包含的基本事件个数m；
(3)代入公式求出概率P.解题时可根据需要灵活选择列举法、列表法或树形图法．
【训练2】 (1)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( )
A. B. C. D．1
(2)(2016·江苏卷)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ．
解析 (1)从袋中任取2个球共有C＝105种取法，其中恰好1个白球1个红球共有CC＝50种取法，所以所取的球恰好1个白球1个红球的概率为＝.
(2)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有36种，其中点数之和不小于10的有(6，6)，(6，5)，(6，4)，(5，6)，(5，5)，(4，6)，共6种，故所求概率为1－＝.
答案 (1)B (2)
考点三 复杂的古典概型的概率
【例3】 一个盒子里装有大小均匀的6个小球，其中有红球4个，编号分别为1，2，3，4，白球2个，编号分别为4，5，从盒子中任取3个小球(假设取到任何一个小球的可能性相同)．
(1)取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率为 ；
(2)在取出的3个小球中，小球编号最大值为4的概率为 ．
解析 (1)基本事件总数为n＝C＝20，
取出的3个小球中，含有编号为4的小球的基本事件个数为m＝CC＋CC＝16，
∴取出的3个球中，含有编号为4的小球的概率P＝＝＝.
(2)小球编号最大值为4的基本事件个数为CC＋CC＝9，
所以，小球编号最大值为4的概率P＝.
答案 (1) (2)
规律方法 (1)求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．
(2)注意区别排列与组合，以及计数原理的正确使用．
【训练3】 (2018·舟山调研)某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．
(1)A中学至少有1名学生入选代表队的概率为 ；
(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，则参赛女生人数不少于2人的概率为 ．
解析 (1)由题意，参加集训的男、女生各有6名．
参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝，
因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为
1－＝.
(2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A，记“参赛女生有2人”为事件B，“参赛女生有3人”为事件C.
则P(B)＝＝，P(C)＝＝.
由互斥事件的概率加法公式，
得P(A)＝P(B)＋P(C)＝＋＝，
故所求事件的概率为.
答案 (1) (2)
基础巩固题组
一、选择题
1．(2017·天津卷)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )
A. B. C. D.
解析 选取两支彩笔的方法有10种，含有红色彩笔的选法为4种，由古典概型公式，满足题意的概率P＝＝.
答案 C
2．集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )
A. B. C. D.
解析 从A，B中任意取一个数，共有C·C＝6种情形，两数和等于4的情形只有(2，2)，(3，1)两种，∴P＝＝.
答案 C
3．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是( )
A. B. C. D.
解析 从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件数有C＝10种．根据三角形三边关系能构成三角形的只有(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)共3个基本事件，故所求概率为P＝＝.
答案 A
4．(2018·杭州高级中学模拟)4封不同信件放入4个写好地址的信封中，其中全装错的概率为( )
A. B. C. D.
解析 将4封不同信件放入4个写好地址的信封中有A＝24种不同的放法．其中全装错有3×3＝9种不同的放法，所以由古典概型可知，全装错的概率为P＝＝.
答案 B
5．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为( )
A. B. C. D.
解析 由古典概型计算公式，所求概率为＝.
答案 C
6．(2017·台州调研)一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a>b，b
解析 选出一个三位数有A＝24种情况，取出一个凹数有C×2＝8种情况，所以，所求概率为P＝＝.
答案 C
7．如图，三行三列的方阵中有九个数aij(i＝1，2，3；j＝1，2，3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是( )
A. B. C. D.
解析 从九个数中任取三个数的不同取法共有C＝84种，因为取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有C·C·C＝6种，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1－＝.
答案 D
8.（2018·宁波调研）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（ ）
A. B. C. D.
解析 依题意，要使3位女生中有且只有两位女生相邻，需先将两名女生捆绑，然后排两名男生，最后将捆绑的两名女生与剩下的一名女生去插空，共有（CA）·A·A种排法，所求概率P＝＝.
答案 B
二、填空题
9.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 Ｗ.
解析 这两只球颜色相同的概率为＝，故两只球颜色不同的概率为1－＝.
答案
10.（2016·上海卷）某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为 Ｗ.
解析 甲同学从四种水果中选两种，选法种数有C，乙同学的选法种数为C，则两同学的选法种数为C·C，两同学各自所选水果相同的选法种数为C，由古典概型概率计算公式可得，甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为P＝＝.
答案
11.（2018·诸暨质检）用1，2，3，4，5这五个数字组成各位上数字不同的四位数，其中千位上是奇数，且相邻两位上的数之差的绝对值都不小于2（比如1 524）的概率＝ Ｗ.
解析 用1，2，3，4，5五个数字排成各位上数字不同的四位数，有A＝120个，而相邻两位上的数字之差的绝对值不小于2，且千位上是奇数的数有：1 352，1 425，1 524，3 142，3 152，3 514，3 524，5 142，5 241，5 314，共10个，故其概率为P＝＝.
答案
12.（一题多解）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）.
解析 法一 6节课的全排列为A种，相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的排法是：先排三节文化课，再利用插空法排艺术课，即为（ACAA＋2AA）种，由古典概型概率公式得P（A）＝＝.
法二 6节课的全排列为A种，先排三节艺术课有A种不同方法，同时产生四个空，再利用插空法排文化课共有A种不同方法，故由古典概型概率公式得P（A）＝＝.
答案
13.设集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P（a，b），记“点P（a，b）落在直线x＋y＝n上”为事件Cn（2≤n≤5，n∈N），若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为 Ｗ.
解析 点P的所有可能值为（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）.当n＝2时，P点可能是（1，1）；当n＝3时，P点可能是（1，2），（2，1）；当n＝4时，P点可能是（1，3），（2，2）；当n＝5时，P点可能是（2，3）.即事件C3，C4的概率最大，故n的所有可能值为3或4.
答案 3或4
能力提升题组
14.随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则（ ）
A.p1＜p2＜p3 B.p2＜p1＜p3
C.p1＜p3＜p2 D.p3＜p1＜p2
解析 随机掷两枚质地均匀的骰子，所有可能的结果共有36种.事件“向上的点数之和不超过5”包含的基本事件有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（4，1）共10种，其概率p1＝＝.事件“向上的点数之和大于5”与“向上的点数之和不超过5”是对立事件，所以“向上的点数之和大于5”的概率p2＝.因为朝上的点数之和不是奇数就是偶数，所以“点数之和为偶数”的概率p3＝.故p1
15.安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为（ ）
A. B. C. D.
解析 由题意，甲连续三天参加活动的所有情况为：第1 3天，第2 4天，第3 5天，第4 6天，共4种.
故所求事件的概率P＝＝.
答案 B
16.（2018·台州调考）有6个人入住某家庭旅馆的6个不同房间，其中有两个房间在一楼，两个房间在二楼，两个房间在三楼，若每人随机地入住这6个房间中的一个房间，则其中的甲、乙两人恰好在同一楼层的两个房间的概率为（ ）
A. B. C. D.
解析 每人随机入住这6个房间中的一个，共有A种不同入住方法，其中甲、乙两人恰好在同一楼层的两个房间的有3AA种，则所求概率为＝.
答案 B
17.高一某班级在学校数学嘉年华活动中推出了一款数学游戏，受到大家的一致追捧.游戏规则如下：游戏参与者连续抛掷一颗质地均匀的骰子，记第i次得到的点数为xi，若存在正整数n，使得x1＋x2＋…＋xn＝6，则称n为游戏参与者的幸运数字.
（1）游戏参与者的幸运数字为1的概率为 ；
（2）游戏参与者的幸运数字为2的概率为 Ｗ.
解析 （1）设“游戏参与者的幸运数字为1”为事件A，
由题意知x1＝6，抛掷了1次骰子，
相应的基本事件空间为ΩA＝{1，2，3，4，5，6}，共有6个基本事件，
而A＝{6}，只有1个基本事件，
所以P（A）＝.
（2）设“游戏参与者的幸运数字为2”为事件B，
由题意知x1＋x2＝6，抛掷了2次骰子，
相应的基本事件空间为ΩB＝{（x1，x2）|1≤x1≤6，1≤x2≤6，x1∈N，x2∈N}，共有36个基本事件，
而B＝{（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）}，共有5个基本事件，
所以P（B）＝.
答案 （1） （2）
18.（2018·金丽衢十二校二联）用黑白两种颜色随机地染如下表格中6个格子，每个格子染一种颜色，则有 个不同的染色方法，出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的概率为 .
解析 （1）用黑白两种颜色随机地染表格中的6个格，每个格子染一种颜色有26＝64种不同的染色方法；（2）分三类：第一类，第1格染黑色，第2格染白色，由表知有6种不同染法；第二类，第1，2格染黑色，第3格染白色，由表知有6种不同染法；第三类，当第1，2，3格均为黑色，则第4，5，6格中的颜色可任意选，共有23＝8种不同染法.综上，由分类加法计数原理知满足条件的不同染色共有6＋6＋8＝20种，故所求概率为＝.
黑
白
黑
白
黑
白
黑
黑
白
白
黑
白
白
黑
黑
黑
黑
黑
白
白
黑
白
黑
黑
白
白
黑
白
白
黑
黑
黑
答案 20
相关资料
更多
