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    2019届二轮复习(文)第十章第5节 古典概型学案(全国通用)
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    2019届二轮复习(文)第十章第5节 古典概型学案(全国通用)

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    第5节 古典概型
    最新考纲 1.了解古典概型及其概率计算公式;2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.

                       
    知 识 梳 理
    1.基本事件的特点
    (1)任何两个基本事件是互斥的.
    (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
    2.古典概型
    具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.
    (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.
    (2)每个基本事件出现的可能性相等.
    3.如果一次试验中可能出现的结果有n个,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是;如果某个事件A包括的结果有m个,那么事件A的概率P(A)=.
    4.古典概型的概率公式
    P(A)=.
    [常用结论与微点提醒]
    一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性,只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型.正确的判断试验的类型是解决概率问题的关键.
    诊 断 自 测
    1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
    (1)“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其基本事件是“发芽与不发芽”.(  )
    (2)掷一枚硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三个结果是等可能事件.(  )
    (3)从-3,-2,-1,0,1,2中任取一数,取到的数小于0与不小于0的可能性相同.(  )
    (4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点,这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率.(  )
    解析 对于(1),发芽与不发芽不一定是等可能,所以(1)不正确;对于(2),三个事件不是等可能,其中“一正一反”应包括正反与反正两个基本事件,所以(2)不正确;对于(4),应利用几何概型求概率,所以(4)不正确.
    答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
    2.(2016·北京卷)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为(  )
    A. B. C. D.
    解析 甲被选中的概率为P===.
    答案 B
    3.(必修3P127例3改编)掷两颗均匀的骰子,则点数之和为5的概率等于(  )
    A. B. C. D.
    解析 所有基本事件的个数为6×6=36,点数之和为5的基本事件有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)共4个,故所求概率为P==.
    答案 B
    4.从1,2,3,4,5,6这6个数字中,任取2个数字相加,其和为奇数的概率是 .
    解析 和为奇数的两个数为一奇一偶,故所求概率为P===.
    答案 
    5.(2017·嘉兴一模)从3名男同学、2名女同学中任选2人参加知识竞赛,则选到的2名同学中至少有1名男同学的概率是 .
    解析 所求概率为P=1-=.
    答案 
    6.(2018·温州模拟)在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学 中任选3门,若同学甲必选物理,则甲的不同选法种数为 ,乙、丙两名同学都选物理的概率是 .
    解析 同学甲必选物理,则甲的不同选法种数为:C=15,
    乙、丙两名同学从7门学 中任选3门,基本事件总数n=CC,
    乙、丙两名同学都选物理,包含的基本事件个数m=CC,
    ∴乙、丙两名同学都选物理的概率是P===.
    答案 15 

    考点一 基本事件与古典概型的判断
    【例1】 袋中有大小相同的5个白球,3个黑球和3个红球,每球有一个区别于其他球的编号,从中摸出一个球.
    (1)有多少种不同的摸法?如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型,该模型是不是古典概型?
    (2)若按球的颜色为划分基本事件的依据,有多少个基本事件?以这些基本事件建立概率模型,该模型是不是古典概型?
    解 (1)由于共有11个球,且每个球有不同的编号,故共有11种不同的摸法.
    又因为所有球大小相同,因此每个球被摸中的可能性相等,
    故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型.
    (2)由于11个球共有3种颜色,因此共有3个基本事件,分别记为A:“摸到白球”,B:“摸到黑球”,C:“摸到红球”,
    又因为所有球大小相同,所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为,而白球有5个,
    故一次摸球摸到白球的可能性为,
    同理可知摸到黑球、红球的可能性均为,
    显然这三个基本事件出现的可能性不相等,
    所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型.
    规律方法 古典概型需满足两个条件:①对于每次随机试验来说,只可能出现有限个不同的试验结果;②对于所有不同的试验结果而言,它们出现的可能性是相等的.
    【训练1】 (1)下列问题中是古典概型的是(  )
    A.种下一粒杨树种子,求其能长成大树的概率
    B.掷一颗质地不均匀的骰子,求出现1点的概率
    C.在区间[1,4]上任取一数,求这个数大于1.5的概率
    D.同时掷两颗骰子,求向上的点数之和是5的概率
    (2)将一枚硬币抛掷三次共有 种结果.
    解析 (1)A,B两项中的基本事件的发生不是等可能的;
    C项中基本事件的个数是无限多个;
    D项中基本事件的发生是等可能的,且是有限个.
    (2)设出现正面为1,反面为0,则共有(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0)8种结果.
    答案 (1)D (2)8
    考点二 简单的古典概型的概率
    【例2】 (1)(2017·全国Ⅱ卷)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(  )
    A. B. C. D.
    (2)(一题多解)(2017·山东卷)从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张,则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是(  )
    A. B. C. D.
    解析 (1)从5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张的情况如图:

    基本事件总数为25,第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10,故所求概率P==.
    (2)法一 ∵9张卡片中有5张奇数卡片,4张偶数卡片,且为不放回地随机抽取,
    ∴P(第一次抽到奇数,第二次抽到偶数)=×=,
    P(第一次抽到偶数,第二次抽到奇数)=×=.
    ∴P(抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)=+=.
    法二 依题意,得P(抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)==.
    答案 (1)D (2)C
    规律方法 计算古典概型的概率可分三步:
    (1)算出基本事件的总个数n;
    (2)求出事件A所包含的基本事件个数m;
    (3)代入公式求出概率P.解题时可根据需要灵活选择列举法、列表法或树形图法.
    【训练2】 (1)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为(  )
    A. B. C. D.1
    (2)(2016·江苏卷)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是 .
    解析 (1)从袋中任取2个球共有C=105种取法,其中恰好1个白球1个红球共有CC=50种取法,所以所取的球恰好1个白球1个红球的概率为=.
    (2)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,所有等可能的结果有36种,其中点数之和不小于10的有(6,6),(6,5),(6,4),(5,6),(5,5),(4,6),共6种,故所求概率为1-=.
    答案 (1)B (2)
    考点三 复杂的古典概型的概率
    【例3】 一个盒子里装有大小均匀的6个小球,其中有红球4个,编号分别为1,2,3,4,白球2个,编号分别为4,5,从盒子中任取3个小球(假设取到任何一个小球的可能性相同).
    (1)取出的3个小球中,含有编号为4的小球的概率为 ;
    (2)在取出的3个小球中,小球编号最大值为4的概率为 .
    解析 (1)基本事件总数为n=C=20,
    取出的3个小球中,含有编号为4的小球的基本事件个数为m=CC+CC=16,
    ∴取出的3个球中,含有编号为4的小球的概率P===.
    (2)小球编号最大值为4的基本事件个数为CC+CC=9,
    所以,小球编号最大值为4的概率P=.
    答案 (1) (2)
    规律方法 (1)求较复杂事件的概率问题,解题关键是理解题目的实际含义,把实际问题转化为概率模型,必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和,或者先求其对立事件的概率,进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解.
    (2)注意区别排列与组合,以及计数原理的正确使用.
    【训练3】 (2018·舟山调研)某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.
    (1)A中学至少有1名学生入选代表队的概率为 ;
    (2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,则参赛女生人数不少于2人的概率为 .
    解析 (1)由题意,参加集训的男、女生各有6名.
    参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为=,
    因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为
    1-=.
    (2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A,记“参赛女生有2人”为事件B,“参赛女生有3人”为事件C.
    则P(B)==,P(C)==.
    由互斥事件的概率加法公式,
    得P(A)=P(B)+P(C)=+=,
    故所求事件的概率为.
    答案 (1) (2)

    基础巩固题组
    一、选择题
    1.(2017·天津卷)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(  )
    A. B. C. D.
    解析 选取两支彩笔的方法有10种,含有红色彩笔的选法为4种,由古典概型公式,满足题意的概率P==.
    答案 C
    2.集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是(  )
    A. B. C. D.
    解析 从A,B中任意取一个数,共有C·C=6种情形,两数和等于4的情形只有(2,2),(3,1)两种,∴P==.
    答案 C
    3.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是(  )
    A. B. C. D.
    解析 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数的基本事件数有C=10种.根据三角形三边关系能构成三角形的只有(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5)共3个基本事件,故所求概率为P==.
    答案 A
    4.(2018·杭州高级中学模拟)4封不同信件放入4个写好地址的信封中,其中全装错的概率为(  )
    A. B. C. D.
    解析 将4封不同信件放入4个写好地址的信封中有A=24种不同的放法.其中全装错有3×3=9种不同的放法,所以由古典概型可知,全装错的概率为P==.
    答案 B
    5.现有5人参加抽奖活动,每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张,直到3张中奖票都被抽出时活动结束,则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为(  )
    A. B. C. D.
    解析 由古典概型计算公式,所求概率为=.
    答案 C
    6.(2017·台州调研)一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当a>b,b A. B. C. D.
    解析 选出一个三位数有A=24种情况,取出一个凹数有C×2=8种情况,所以,所求概率为P==.
    答案 C
    7.如图,三行三列的方阵中有九个数aij(i=1,2,3;j=1,2,3),从中任取三个数,则至少有两个数位于同行或同列的概率是(  )

    A. B. C. D.
    解析 从九个数中任取三个数的不同取法共有C=84种,因为取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有C·C·C=6种,所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1-=.
    答案 D
    8.(2018·宁波调研)2位男生和3位女生共5位同学站成一排,则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是(  )
    A. B. C. D.
    解析 依题意,要使3位女生中有且只有两位女生相邻,需先将两名女生捆绑,然后排两名男生,最后将捆绑的两名女生与剩下的一名女生去插空,共有(CA)·A·A种排法,所求概率P==.
    答案 B
    二、填空题
    9.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球、1只红球、2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为    W.
    解析 这两只球颜色相同的概率为=,故两只球颜色不同的概率为1-=.
    答案 
    10.(2016·上海卷)某食堂规定,每份午餐可以在四种水果中任选两种,则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为    W.
    解析 甲同学从四种水果中选两种,选法种数有C,乙同学的选法种数为C,则两同学的选法种数为C·C,两同学各自所选水果相同的选法种数为C,由古典概型概率计算公式可得,甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为P==.
    答案 
    11.(2018·诸暨质检)用1,2,3,4,5这五个数字组成各位上数字不同的四位数,其中千位上是奇数,且相邻两位上的数之差的绝对值都不小于2(比如1 524)的概率=     W.
    解析 用1,2,3,4,5五个数字排成各位上数字不同的四位数,有A=120个,而相邻两位上的数字之差的绝对值不小于2,且千位上是奇数的数有:1 352,1 425,1 524,3 142,3 152,3 514,3 524,5 142,5 241,5 314,共10个,故其概率为P==.
    答案 
    12.(一题多解)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节,则在课程表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为    (用数字作答).
    解析 法一 6节课的全排列为A种,相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的排法是:先排三节文化课,再利用插空法排艺术课,即为(ACAA+2AA)种,由古典概型概率公式得P(A)==.
    法二 6节课的全排列为A种,先排三节艺术课有A种不同方法,同时产生四个空,再利用插空法排文化课共有A种不同方法,故由古典概型概率公式得P(A)==.
    答案 
    13.设集合A={1,2},B={1,2,3},分别从集合A和B中随机取一个数a和b,确定平面上的一个点P(a,b),记“点P(a,b)落在直线x+y=n上”为事件Cn(2≤n≤5,n∈N),若事件Cn的概率最大,则n的所有可能值为    W.
    解析 点P的所有可能值为(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3).当n=2时,P点可能是(1,1);当n=3时,P点可能是(1,2),(2,1);当n=4时,P点可能是(1,3),(2,2);当n=5时,P点可能是(2,3).即事件C3,C4的概率最大,故n的所有可能值为3或4.
    答案 3或4
    能力提升题组
    14.随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1,点数之和大于5的概率记为p2,点数之和为偶数的概率记为p3,则(  )
    A.p1<p2<p3 B.p2<p1<p3
    C.p1<p3<p2 D.p3<p1<p2
    解析 随机掷两枚质地均匀的骰子,所有可能的结果共有36种.事件“向上的点数之和不超过5”包含的基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1)共10种,其概率p1==.事件“向上的点数之和大于5”与“向上的点数之和不超过5”是对立事件,所以“向上的点数之和大于5”的概率p2=.因为朝上的点数之和不是奇数就是偶数,所以“点数之和为偶数”的概率p3=.故p1 答案 C
    15.安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动,每天只需一人参加,其中甲参加三天活动,乙、丙、丁每人参加一天,那么甲连续三天参加活动的概率为(  )
    A. B. C. D.
    解析 由题意,甲连续三天参加活动的所有情况为:第1 3天,第2 4天,第3 5天,第4 6天,共4种.
    故所求事件的概率P==.
    答案 B
    16.(2018·台州调考)有6个人入住某家庭旅馆的6个不同房间,其中有两个房间在一楼,两个房间在二楼,两个房间在三楼,若每人随机地入住这6个房间中的一个房间,则其中的甲、乙两人恰好在同一楼层的两个房间的概率为(  )
    A. B. C. D.
    解析 每人随机入住这6个房间中的一个,共有A种不同入住方法,其中甲、乙两人恰好在同一楼层的两个房间的有3AA种,则所求概率为=.
    答案 B
    17.高一某班级在学校数学嘉年华活动中推出了一款数学游戏,受到大家的一致追捧.游戏规则如下:游戏参与者连续抛掷一颗质地均匀的骰子,记第i次得到的点数为xi,若存在正整数n,使得x1+x2+…+xn=6,则称n为游戏参与者的幸运数字.
    (1)游戏参与者的幸运数字为1的概率为    ;
    (2)游戏参与者的幸运数字为2的概率为    W.
    解析 (1)设“游戏参与者的幸运数字为1”为事件A,
    由题意知x1=6,抛掷了1次骰子,
    相应的基本事件空间为ΩA={1,2,3,4,5,6},共有6个基本事件,
    而A={6},只有1个基本事件,
    所以P(A)=.
    (2)设“游戏参与者的幸运数字为2”为事件B,
    由题意知x1+x2=6,抛掷了2次骰子,
    相应的基本事件空间为ΩB={(x1,x2)|1≤x1≤6,1≤x2≤6,x1∈N,x2∈N},共有36个基本事件,
    而B={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)},共有5个基本事件,
    所以P(B)=.
    答案 (1) (2)
    18.(2018·金丽衢十二校二联)用黑白两种颜色随机地染如下表格中6个格子,每个格子染一种颜色,则有    个不同的染色方法,出现从左至右数,不管数到哪个格子,总有黑色格子不少于白色格子的概率为     .

    解析 (1)用黑白两种颜色随机地染表格中的6个格,每个格子染一种颜色有26=64种不同的染色方法;(2)分三类:第一类,第1格染黑色,第2格染白色,由表知有6种不同染法;第二类,第1,2格染黑色,第3格染白色,由表知有6种不同染法;第三类,当第1,2,3格均为黑色,则第4,5,6格中的颜色可任意选,共有23=8种不同染法.综上,由分类加法计数原理知满足条件的不同染色共有6+6+8=20种,故所求概率为=.
































    答案 20 


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